线性系统课件2

1、吴亚丽1线性系统的时间域理论线性系统的时间域理论 线性系统时间域理论是以线性系统时间域理论是以时间域数学模时间域数学模型型为系统描述为系统描述,直接在时间域内直接在时间域内分析和综分析和综合合线性系统的线性系统的运动和特性运动和特性的一种理论和方的一种理论和方法。法。吴亚丽2提纲：提纲：l第二章：线性系统的状态空间描述l第三章：线性系统的运动分析l第四章：线性系统的能控性和能观测性l第五章：系统运动的稳定性l第六章：线性反馈系统的时间域综合吴亚丽3提纲：提纲：l第二章：线性系统的状态空间描述l第三章：线性系统的运动分析l第四章：线性系统的能控性和能观测性l第五章：系统运动的稳定性l第六章：线性

2、反馈系统的时间域综合本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴亚丽4本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴亚丽5 状态和状态空间 l系统动态过程的数学描述 吴亚丽6(1).系统的外部描述 外部描述常被称作为输出外部描述常被称作为输出输入

3、描述输入描述例如例如.对对SISO线性定常系统线性定常系统:时间域的外部描述时间域的外部描述:ubububyayayaynnnnn0)1 (1)1(10)1 (1)1(1)(复频率域描述即传递函数描述复频率域描述即传递函数描述 01110111)()()(asasasbsbsbsusysgnnnnn(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方需要由两个数学方程表征程表征 状态方程和输出方程状态方程和输出方程 .(3)外部描述和内部描述的比较 外部描述只是对系统的一种不完全描述外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内不

4、能反映黑箱内部结构的不能控或不能观测的部分部结构的不能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统能够完全反映系统的所有动力学特性的所有动力学特性. 2u1upuqy2yqynxxx,212/4,2/502/4,2/50基本概念基本概念(1)(1)状态状态：系统过去、现在和将来的状况系统过去、现在和将来的状况(2)(2)状态变量状态变量： 能够完全表征系统运动状态的能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：最小一组变量： 00( ). t tx tx ta表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态 0t. b0tt tu0tt 当当时的输入

5、时的输入给定，且上述给定，且上述时的行为。时的行为。 状态确定时，状态变量能完全确定系统状态确定时，状态变量能完全确定系统初始初始在在2u1upuqy2yqynxxx,21(5)(5)状态方程状态方程：描述系统状态与输入之间关系：描述系统状态与输入之间关系的方程（组）的方程（组）作为分量的向量，即作为分量的向量，即(3) (3) 状态向量状态向量：以系统的：以系统的 n n 个独立状态变量个独立状态变量为为(4) (4) 状态空间状态空间: : 以状态变量以状态变量 n维空间。维空间。标轴构成的标轴构成的坐坐)(,),(1txtxn)(,),(1txtxnTntxtxtX)(,),()(1输出

6、方程输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式系的数学表达式(6)(6)状态变量的特点：状态变量的特点：(1)(1)独立性独立性：状态变量之间线性独立：状态变量之间线性独立. . (2)(2)多样性多样性：状态变量的选取并不唯一，实：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案际上存在无穷多种方案. . (3) (3) 等价性等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异：两个状态向量之间只差一个非奇异 变换变换. .(4)(4)现实性现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量：状态变量通常取为涵义明确的物理量. .(5)(5)抽象性抽象性：状态变量可以没有

7、直观的物理意义：状态变量可以没有直观的物理意义. .本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴亚丽11l描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运动方程）.l包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）吴亚丽12l 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 )(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdt

8、diLdtduCRuLcLLcc1120eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1以上方程可表为形如 DuCXYBuAXX1/7,5/501/7,5/50l 连续系统典型例子：电路系统连续系统典型例子：电路系统)(teaRaLconstifFJ,aaaMaeaaaaMeaaaaieLiJfJcLcLRidtdJficecdtdiLiR1001DuCXYBuAXX2/7,6/502/7,6/50l 连续系统典型例子：机电系统连续系统典型例子：机电系统以上方程

9、可表为形如 连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构动态系统的结构1u2upu1x2xnx1y2yqy动力学部件输出部件连续时间线性系统的状态空间描述连续时间线性系统的状态空间描述 线性时不变系统 DuCXYBuAXX线性时变系统 utDXtCYutBXtAX)()()()(3/7,7/503/7,7/50连续时间线性系统的方块图连续时间线性系统的方块图 )(tB)(tC)(tDXYUX)(tA4/7,8/504/7,8/50直观、简明、形象地描述各个变量之间的关系。直观、简明、形象地描述各个变量之间的关系。假设某个国家,城市人口为107,乡村人口为9x10

10、7,每年4%的城市人口迁移去乡村, 2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为1% .设k为离散时间变量, x1(k)、x2(k)为第k年的城市人口和乡村人口, u(k)为第k年所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励5x104城市人口迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致5x104乡村人口去城市, y(k)为第k年全国人口数 )(10501. 1)(04. 001. 1)()02. 01 (01. 1) 1()(10501. 1)(02. 001. 1)()04. 01 (01. 1) 1(41224211kukxkxkxkukxkxkx5/7,9/505/7,9/5

11、0l 离散系统典型例子：人口分布问题离散系统典型例子：人口分布问题写成矩阵形式)()()()()() 1()()(11)()(1005. 51005. 5)()(9898. 00404. 00202. 09696. 0) 1() 1(21442121kDukCxkykHukGxkxkxkxkykukxkxkxkx亦可表为5/7,9/505/7,9/50l 离散系统典型例子：人口分布问题离散系统典型例子：人口分布问题离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性系统的状态空间描述离散时间线性时不变系统离散时间线性时不变系统 )()()()()()1(kDukCxkYkHukGxkX传输矩阵阵输出矩阵

12、阵输入矩阵阵系统矩阵阵:DpqCnqHpnGnn离散时间线性时变系统离散时间线性时变系统)()()()()()()()()()1(kukDkxkCkYkukHkxkGkX6/7,10/506/7,10/50离散系统状态空间描述的特点：离散系统状态空间描述的特点：一是:状态方程形式上的差分型属性（即：状态方程为差分方程。）二是:描述方程的线性属性。（状态方程和输出方程的右端，对状态x和输入u都 呈现为线性关系。）三是:变量取值时间的离散属性（所有变量只能在离散时刻k取值）。离散时间线性系统的方块图离散时间线性系统的方块图)(kH)(kC)(kD) 1( kx)(ky)(ku)(kx)(kG单位延

13、迟7/7,11/507/7,11/50l连续变量动态系统的分类连续变量动态系统的分类 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 设系统的状态空间描述为 ),(),(tuxgytuxfx向量函数 ),(),(),(),(),(),(),(),(2121tuxgtuxgtuxgtuxgtuxftuxftuxftuxfqn，若若f,g的全部或至少一个组的全部或至少一个组成元素为成元素为x、u的非线性函的非线性函数数,该系统称为该系统称为非线性系统非线性系统 。若若f,g的全部组成元为的全部组成元为x、u的线性函数的线性函数,该系统称为该系统称为线线性系统性系统 对于线性系统对于线性系统 utDXtC

14、YutBXtAX)()()()(非线性系统可以用泰勒展开方非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统。法化为线性系统。 1/2,12/501/2,12/50时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统 若向量若向量f,g不显含时间变量不显含时间变量t,该系统称为该系统称为时不变系统时不变系统 若向量若向量f,g显含时间变量显含时间变量t, 该系统称为该系统称为时变系统时变系统 连续时间系统和离散时间系统连续时间系统和离散时间系统 当且仅当系统的当且仅当系统的输入变量输入变量,状态变量和输出变量取值于连续状态变量和输出变量取值于连续时间点时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程反映变量间因

15、果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为该系统称为连续时间系统连续时间系统 确定性系统和不确定性系统确定性系统和不确定性系统 称一个系统为称一个系统为确定性系统确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入和扰动数还是系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化都是随时间按确定的规律而变化的的. 2/2,13/502/2,13/50本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴

16、亚丽23l由系统输入输出描述导出状态空间描述由系统输入输出描述导出状态空间描述 对于单输入对于单输入,单输出线性时不变系统单输出线性时不变系统,其微分方程描述其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其传递函数描述其传递函数描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以导出其状态空间描述为可以导出其状态空间描述为 1111RdRcRbRARxducxybuAxxnnnnn如何获得？如何获得？ l结论1 给定单输入给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述单输出线性时不变系统的输入输出

17、描述,ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1)m=n,即系统为真情形即系统为真情形ubxabbabbabbyuxaaaaXnnnnnnn)(,),(),(100010000000101111001210(2)mn,即系统为严真情形即系统为严真情形 xbbbyuxaaaaXmn0010001000000010101210011101111)()()(asasasbsbsbsbsUs

18、Ysgnnnmmmml结论2 给定单输入给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出应的状态空间描述可按如下两类情况导出 (1)m=0情形情形此时输入输出描述为此时输入输出描述为: ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(01110)(asasasbsgnnn选取选取n个状态变量个状态变量 ) 1(21nnyxyxyx其对应的状态空间描述为其对应的状态空间描述为: xyubxaaaaxn0,0, 10001000000010012100bs1s1s11xy2x1nxnxnx u1na2na0a1a其

19、对应的方框图描述为其对应的方框图描述为: (2)m0情形情形此时输入输出描述为此时输入输出描述为: ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnnuuuyuxxuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 a:令令其对应的状态空间描述为: uxyuxaaaaxnnn012112100,0, 11000000010其中其中00112211001122201110aaaabaababbnnnnnnnnnnnb:ubububyayaynn

20、nnnnn0)1(1)(0)1(1)(ubyaubyaubyaubynnnnn00)1(11)1(11)()()()(改写为改写为 令令 ubyaxxubyaxxubyxnnnnn11111121ubxxxxyubabbabbabbabxxxxaaaaxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnn1210011221112101211210001000100010001将将：则：则： 结论3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为： 01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm其极点即分母方程的根其极点即分母方程的根 n,

21、21为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：(1) mn，即系统为严真情形，即系统为严真情形 nissgksksksksgisinn, 2 , 1),)(lim)(2211对应的状态空间描述为对应的状态空间描述为 xyukkkxxnn1, 1, 12121(2) m=n，即系统为真情形，即系统为真情形 令nissgkasasasabbsabbsgsgbasasasbsbsbsbsgisinnnnnnnnnnnnnnnn, 2 , 1),)(lim)()()(01110011101110111对应的状态空间描述为：对应的

22、状态空间描述为：ubxyukkkxxnnn1,1,12121由方块图描述导出状态空间描述由方块图描述导出状态空间描述l例1 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述 451372sss21s解 上图等效为 21s45s12su1xy3x2x指定状态变量组后，列写变量指定状态变量组后，列写变量间的关系方程：间的关系方程：21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx写成矩阵形式 321321321011025211210504xxxyuxxxxxxl例2 设单输入单输出系统的传递函数为设单输入单输出系统的传递函数为 3322113211231113231)()()()()()(s

23、esesesesessssBsg试列写其状态空间表达式。试列写其状态空间表达式。 21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx解 可画出系统结构图如下可画出系统结构图如下 11s21s31s11s11s11e12e13e2e3eu1xy3x2x5x4x写出变量之间的关系写出变量之间的关系 534231321211153542431332122111xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx写成矩阵形式写成矩阵形式 54321321312115432132111543211110000000000000000100001xxxxxeeeeeyuxxxxxxxxxx也

24、可以画出结构图为也可以画出结构图为 11s11s11se1131s21se13e12uy11x12x13x2x3xe2e33322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg可写出系统的动态方程为 ueeeeexxxxxxxxxx32131211321312113211132131211000000000010000100003213121111100 xxxxxy例3)1 (11)()()(2121211211sszsssksszsssksssszsksG设画出结构图 uyk11ss21ss12zs 1x2x动态方程为 21122121210101

25、xxkyuzsxxssxx本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴亚丽对连续时间线性时不变系统对连续时间线性时不变系统 BuAxx)det()()(1AsIAsIAsI特征多项式预解矩阵特征矩阵(1) 特征多项式特征多项式0111)det()(sssAsIsnnn110,n均为实常数均为实常数 (2) 特征方程式特征方程式 00111sssnnn(3) 凯莱凯莱-哈密尔顿（哈密尔顿（Caley-Hamilton）定

26、理）定理 0)(0111IAAAAnnn对系统矩阵对系统矩阵A，有且仅有，有且仅有所有所有 21, ,nI A AA(,1,)iA in n 为线性无关，为线性无关，都可表示为它们的线性组合都可表示为它们的线性组合特征多项式相关概念特征多项式相关概念(4) 最小多项式 )()()()()(1ssPsAsIadjAsI)()(sPs 与的各个元多项式之间互质的各个元多项式之间互质 定义定义（s）为系统矩阵）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式的最小多项式，最小多项式（s）也满足凯莱）也满足凯莱-哈密哈密尔顿定理，即尔顿定理，即（A）=0 (5) 系统矩阵的循环性系统矩阵的循环性 如果系统矩阵如果

27、系统矩阵A的特征多项式的特征多项式(s)和最小多项式和最小多项式（s）之间只存在常数类型的）之间只存在常数类型的公因子公因子k，即，即 )()(sks则称系统矩阵则称系统矩阵A是循环的。是循环的。 (6) 特征多项式的计算特征多项式的计算 预解矩阵 基于迹计算的特征多项式迭代算法 nAtrRIARRAtrRIARRAtrRIARRAtrRIRnnnnnnnnnnnnn001103322222112111321 基于分解计算的特征多项式迭代算法0111)det()(sssAsIsnnnnnniiihhhhtrH22111特征值特征值”的根特征方程“系统特征值0)det(AsI(1) 特征值的代数

28、属性 系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值 (2) 特征值集 对n维线性时不变系统，有且仅有n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。 nAIC,0)det(|21(3) 特征值的形态 特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数 特征值相关概念与定义特征值相关概念与定义(5) 特征值的代数重数 代数重数i 代表特征值集中值为i 的特征值个数 (6) 特征值的几何重数 )(AIrankniii的几何重数(7) 特征值重数和类型的关系 对n 维线性时不变系统，若i A为单特征值，则其代数重数i和几何重数i之间必 有ii1(4) 特征值类型 系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种

29、类型 吴亚丽46特征向量和广义特征向量特征向量和广义特征向量 TiTiiTiiiiiiivnAvvAvnAvvA非零向量”的满足“的左特征向量的属于非零向量”的满足“的右特征向量的属于11特征向量相关概念与定义特征向量相关概念与定义(1) 特征向量的几何特性特征向量的几何特性 左零空间”的行向量的特征矩阵“右零空间”的列向量的特征矩阵“AIvAIviTiii(2) 特征向量的不唯一性特征向量的不唯一性 (3) 单特征值所属特征向量的属性单特征值所属特征向量的属性 对n维线性时不变系统，系统矩阵A的属于特征值1、2、n的相应一组特征向量v1、v2、vn为线性无关，当且仅当特征值1、2、n为两两互

30、异。 (4) 广义特征向量广义特征向量 对n维线性时不变系统，设i为nn维系统矩阵A的一个i重特征值，则 TikiTikiTiiiikiikiivnAIvAIvkAvnvAIvAIkA非零向量的满足级广义左特征向量的的属于非零向量的满足级广义右特征向量的的属于10)(, 0)(10)( , 0)(11本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴亚丽48l结论结论4 状态方程的约当规范形状态方程的约当规范形特征值为两两互

31、异的情形特征值为两两互异的情形对n个特征值1、2、n两两互异的n维线性时不变系统，基于n个特征向量构造变换阵p=v1、v2、vn，则状态方程 BuAxx可通过线性非奇异变换 xpx1而化为约当规范形 BPBuBxxn121,l结论结论5 特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形对包含重特征值的对包含重特征值的n维线性时不变系统，设系统的特征值维线性时不变系统，设系统的特征值 ),(,),(),(222111重重重重重重lll基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q，令，令 xQx1可将系统状态方程化为约当规范形：可将系统状态方程化为约当

32、规范形： BQBuBxJJBuQxAQQxl1111,其中，其中，Ji为相应于特征值为相应于特征值i 的约当块：的约当块：ikikiiiirrikiiiiiikikiiirkJJJJJ1)(21)(, 2 , 1,11吴亚丽52吴亚丽53吴亚丽54吴亚丽55吴亚丽56吴亚丽57本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴亚丽58l由状态空间描述导出传递函数矩阵由状态空间描述导出传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵 定义

33、定义单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即和输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即 )( )( )(susysg多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：换和输入变量拉普拉斯变换因果关系：)( )()( susGsy称称G(s)为系统的传递函数矩阵。为系统的传递函数矩阵。其中其中 )()()()()()()()( ,)()()( 1

34、11111sgsgsgsgsGsusususysysyqpqppq，(1) G(s)的函数属性的函数属性 传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。 (2) G(s)的真性和严真性的真性和严真性 当且仅当G(s)是真或严真时，G(s)才是物理上可实现的 零阵是严真的非零常阵是真的)(lim)()(lim)(sGsGsGsGss(3) G(s)的特征多项式和最小多项式的特征多项式和最小多项式 阶子式的最小公分母的所有的最小多项式阶子式的最小公分母、阶、阶、的所有的特征多项式1)()()(),min(21)()()(sGssGpqsGssGGG G(s)的相关性质的相关性质 (

35、5) G(s)的循环性的循环性 若 常数ksksGG),()(称G(s)是循环的 (6) G(s)正则性和奇异性正则性和奇异性 是非正则的为奇异满足方有理分式矩阵是正则的)()(0)(det)()(sGsGsGsGsG(4) G(s)的极点的极点 G(s)的极点定义为方程式 0)( sG的根 G(s)基于基于(A,B,C,D)的表达式的表达式考虑连续时间线性时不变系统考虑连续时间线性时不变系统 DuCxyBuAxx则则DBAsICsG1)()(设设G(s)的首一化特征多项式为的首一化特征多项式为G(s)，A的特征多项式为的特征多项式为(s)，若，若 )()(ssG必有必有 )(deg)(deg

36、ssG若系统能控能观测，则若系统能控能观测，则 )()(ssG表表G(s)的极点集合为的极点集合为G，A的特征值集合的特征值集合，若，若G，则，则G；若系统能控能观测，则若系统能控能观测，则G= 。l结论结论7 G(s)的实用计算关系式的实用计算关系式令 CBBCABCAECBBCABCAECBCABECBEsssAsIsnnnnnnnnnnnn12110231211210111)det()(则)(1)(012211EsEsEsEssGnnnn本章提纲本章提纲l状态和状态空间l线性系统的状态空间描述l系统输入输出模型导出状态空间描述l线性时不变系统的特征结构l状态方程的约当规范型l状态空间描述

37、导出传递函数矩阵l线性系统在坐标变换下的特性l组合系统的传递函数矩阵吴亚丽64l线性系统在坐标变换下的特性线性系统在坐标变换下的特性l结论结论8实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。 坐标变换的几何含义和代数表征坐标变换的几何含义和代数表征线性时不变系统状态空间描述为线性时不变系统状态空间描述为 DuCxyBuAxx：引入坐标变换引入坐标变换 xPx1则变换后系统的状态空间描述为则变换后系统的状态空间描述为 uDxCyuBxAx：DDCPCBPBAPPA,11则：则：l结论结论9 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。非奇异变换下保持不变。 定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间