行列式经典例题

1、大学行列式经典例题解方法1例1计算兀素为aij=|ij|的n阶行列式.Cjcnj4|,nn-10n-2IIIIIIIIIIIIn_-1=（_1）心2心（门一1）0III-2其中第一步用的是从最后一行起，n列.方法201IIIn-1-11III110川n-2ri丰-1-1川1+4+i吕,2川,n+b+rn1n2川0n-1n-2川0逐行减前一行第二步用的每列加第0Dn-1IIIIII=(-1)n2n'(n-1)n-12n-3IIIn-1例2.设a,b,c是互异的实数，证明:01IIIn101IIIn110IIIn-2斤丄1-1III-1+i=B,n丄|仆,21I-1-qn1n-2III01

2、1III-1由题设知,-1川，故二na1=0,a2Dn二1，II(,a1n=0护c3的充要条件是a+b+c=0.证明：考察范德蒙行列式：bb2护=(c)(ba(a-y)(b-y)(c-y)=-;-:-;I.111abc行列式护护即为y2前的系数.于是111abc八护屛=ms+0+c)iiiabc=0所以/护J的充要条件是a+b+c=0.-10川0例3计算Dn=x-1川0anand川X-a解：方法1递推法按第1列展开，有-1X-1Dn=XDn+(-1)n+anX-1=XDn+an由于D1=x+a1,XD2=a2-1xa11,2，于是Dn=xDnj+an=x(xDn+an)+an=xDn/+02X

3、0n1fn2n斗n-1亠畀土亠anjX+an=xD1+a2x+an4x+an=xa1xanxan方法2第2列的x倍，第3列的X2倍，第n列的xn倍分别加到第1列上-10川0X-1山0xan4an4an-2IIIxa10x0精品文档0-100III0<Hx2c30x-10III03x+0+x+-1III0I-+2an+xan/+xan工+an4an工1an_3IIIx+ai0-1-1x-1按l"n展开x-1=亠亠亠=(-1)ndlfx-1+fxx-1nxn+a1xn，十|+anjlx+an利用性质,方法3将行列式化为上三角行列式.IIIIIIIII按J展开=an按rn展开方法4D

4、nann-1x"XU(-1)n1annJ2ann.1x-11*1IIIIII.色x2anIIIkn+亚+a1x+x)x0III00x-1III000-1III00,2n10xIII00bI-11faF+(1)a2卜卜ii卜I-00IIIx-100III0-100-1x002(T)and+(T)2n(aix)IIIIIIn=(-1)(-1)an+(-1)n'2(-1)2anxx00III0x精品文档2n(a1+x)x2n1n2+(-1)-(-1)a2x-+(-1)n1n=anan丄xa1X一x例4.计算n阶行列式：ai+ba2IIIanDn=a1a2+b2IIIan*h(bib

5、2川bn0)a2III解采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素a-i,a2（,an，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列,简后出现大量的零元素.适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化000III1ot+P1aa2IHan1a1a2IIIan升阶0a1Fa2IHan11-1bi0III0Dn=0aa2+b2IHan=-10b2III0+*+4rb1Hrn+卜rbFF0aa2IHan+bn-100IIIbna1a2an鱼-biqLjj=2,“l,n1bi0b2IIIIII=Mbn(1<IIIbn这个题的特殊情形是Dna1xa1a2a2xanan=xn'(x&q

6、uot;ajima1a2IIIan可作为公式记下来.例5.计算n阶“三对角”行列式川川DnIII精品文档上式右端第一个行列式等于aDn4，而第二个行列式解方法1递推法.aP00III00按q展开1a+PotPIII00Dn=(a+Q)Dn/+f*R000III1a+P(nd)按展开（很亠卩）D即有递推关系式Dn=(二">')DnJ_-*'Dn_2(n一3)Dn-：Dn=(DnDn_2)递推得到2Dn-：Dn=(Dn-：>Dn_2)=：(Dn_2-Dn卫)D2=01B=o(2+ap+p2，代入得Dn_口Dn二=pna+BDnDn."（2.1）由递推

7、公式得D：DnJ：n=：'（DnN*："）n=a2Dn2+：川n亠n=.n1n1B_a当详用寸nn4nd:n=a+a戸+”+aP+戸=<a（n卅，当a=伊寸Jn+1）a方法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式0山0000:-|1|00卜<II-4F011（013、aPIIIotPIIIaPIIIIH精品文档PaP0III01a+PaPIII00+1ia+P卜III01i+00r0III1a+P000III1000rifOtpOtpc-aci100川00P0川00PIII00=3ooIH1-于是得递推公式Dn=DnjLn，已与（2.1）式相同.方法3在方法1中得递推公

8、式又因为当二:"时aD2=Dn=（j】"）DndDOap2D1=：-=aPa+P=（圧'）2_=、*一2'、汀'0aP=（°+0）3-2aP（a+B）a+Pa4P4=w于是猜想Dn一，下面用数学归纳法证明.a-P当n=1时，等式成立，假设当n辽k时成立.当n=k+1是，由递推公式得Dk1=r-）Dk-?-Dk4,k1k2:k：2所以对于mN:等式都成立例6.计算n阶行列式:a2其中b=1+印+印送=a1n1、1+送，于是Dn=ca2川ann11+送i=2ai<Zai丿I7ai丿方法升阶（或加边）2解这道题有多种解法.方法1化为上三角行

9、列式11II11b1川1C£cjri_r印a2aj0a2Dn=rp+Fi=2,|l,nr4>j=2l,nb卜r印an0an111III1111III101+a11III1-1a10III0011+a2III1-10a2III0+I-FFFi£3,|ii,nr!+p011川1+an-100川an法升阶nDnIII丄Cj1aja1a?i=1ai方法3递推法将Dn改写为1a11川101a210 q qw1川1an按cn拆开1-a111III11+a1由于1a?IIIi1III1III01+a2川0irqrtr1HIan1+a11HI1a111+a2III1rra2+i44i#,|仆,n-411HI111111二玄念山and1+印1HI011+a2川0按cn展开*ir=anDn«4t+tr11川an因此Dn=a