复数四则运算(共33张PPT)

1、复数的四则运算复数的四则运算知识回顾知识回顾(4) 复数的几何意义是什么？复数的几何意义是什么？类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？(1) 虚数单位虚数单位i(2) 复数的分类？复数的分类？(3) 复数相等的等价条件？复数相等的等价条件？二、问题引入：二、问题引入：三、知识新授：三、知识新授：1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则： 运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i; ; z

2、z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)+(b-d)i. .即即: : 两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是实部与实部，就是实部与实部， 虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(2)(2)复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律, ,即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有: :z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.复数的乘法：复数的乘法：(1)(1)复数乘法的法则复数乘法的法则 复数

3、的乘法与多项式的乘法是类似复数的乘法与多项式的乘法是类似的的, ,但必须在所得的结果中把但必须在所得的结果中把i i2 2换成换成-1,-1,并且把实部合并并且把实部合并. .即即: :(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)(2)复数乘法的运算定理复数乘法的运算定理 复数的乘法满足复数的乘法满足交换律交换律、结合律结合律以及乘法以及乘法对加法的对加法的分配律分配律. . 即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有：有： z z1 1z z2 2=z=z2 2z

4、z1 1; ; (z (z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3);); z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .四、例题应用：四、例题应用：例例1.1.计算计算 )43 ()2()65 (iii解解: :iiiii11)416()325()43()2()65()(1biabia）（22222)(2ibabiabia）（例例2 2：计算计算222ibabiabia22ba abiba222 复数的乘法与多项复数的乘法与多项式的乘法是类似的式的乘法是类似的. . 我们知道多项式的乘法用我们知道多项式的

5、乘法用乘法公式可迅速展开乘法公式可迅速展开, , 运算运算, ,类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算运用乘法公式来展开运算. .)2)(43)(21 (3iii）（iiiiii1520)2)(211()2)(43)(21 (注意注意 a+bi 与与 a- -bi 两复数的特点两复数的特点.一步到位一步到位! !(1)计算计算(a+bi)(a- -bi)思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么(1)定义定义: 实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数的两个复数的两个复数互为互为共轭复数共轭复数. .复数复数

6、z= =a+ +bi 的共轭复数记作的共轭复数记作?zz, zzabi即即?zzzzzzzzzz12121212, 另外不难证明另外不难证明:3. 共轭复数的概念、性质：共轭复数的概念、性质：(2)共轭复数的性质共轭复数的性质:.2-2bizzazz； 已知已知: : 求求: :iziz2,1212412121, () ,zzzzz练练 习：习： 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律, ,在复数集在复数集C C中仍然成立中仍然成立. .即对即对z z1 1,z,z2 2,z,z3 3CC及及m,nNm,nN* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n,

7、, (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .【探究】【探究】 i i 的指数变化规律的指数变化规律1,1,4321iiiiii_,_,_,_8765iiii你能发现规律吗？有怎样的规律？你能发现规律吗？有怎样的规律？ni414ni24ni34ni,1,i,1i)( , 03424144Nniiiinnnni1i1【例【例3】求值：求值：200932iiiiiiiiiiiiiiiiiii12009200820072006200587654320.）（）（）（解：原式常用结论：常用结论：2)1 (i;2

8、iii11i1; iii11; i. i例例4.4.设设,2321i求证：求证： ; 012. 13思考：思考： 在复数集在复数集C 内，你能将内，你能将 分解因式吗？分解因式吗？xy22( (x+yi)(x- -yi)五、课堂小结：五、课堂小结：1.复数加减法的运算法则：复数加减法的运算法则：(1)(1)运算法则运算法则: :设复数设复数z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2=c+di,=c+di, 那么：那么：z z1 1+z+z2 2=(a+c)+(b+d)i; =(a+c)+(b+d)i; z z1 1-z-z2 2=(a-c)+(b-d)i.=(a-c)+(b-d)i.(2)

9、(2)复数的加法满足复数的加法满足交换律交换律、结合律结合律, ,即对即对任何任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C,C,有有: :z z1 1+z+z2 2=z=z2 2+z+z1 1, ,(z(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3=z=z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3).).2.复数的乘法：复数的乘法：(1)(1)复数乘法的法则复数乘法的法则(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)(2)复数乘法的运算律：复数乘法的运算律： 复数的乘法满足复数的乘法满足交换

10、律交换律、结合律结合律以及乘法以及乘法对加法的对加法的分配律分配律. . 即对任何即对任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3有：有： z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1; ; (z (z1 1z z2 2)z)z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3);); z z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .3. 共轭复数的概念、性质：共轭复数的概念、性质： 设设z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么定义定义: 实部相等实部相等, ,虚部互为相反数虚部互为相反数的两个复数叫做互为的两个复数

11、叫做互为共轭复数共轭复数. .复数复数 z= =a+ +bi 的共轭复数记作的共轭复数记作, zzabi即即zzzzzzzz12121212, .2-2bizzazz；4. i i的指数变化规律：的指数变化规律：ni414ni24ni34ni,1,i,1i)( , 03424144Nniiiinnnn二、问题引入：二、问题引入：2)1 (i;2iii11i1;2iiiii11;22)1)(1 ()1 (2iiiii.22)1)(1 ()1 (2iiiii目标目标: : 分母实数化分母实数化;手段手段: :.Rzz三、知识新授：三、知识新授： 定义定义: 把满足把满足(c+di)(x+yi) =

12、a+bi (c+di0) 的的复复 数数 x+yi 叫做复数叫做复数 a+bi 除以复数除以复数 c+di 的的商商, 其中其中a,b,c, ,d,x,y都是实数都是实数, 记为记为()().abiabicdicdi 或或222222()()()()() ()()abi cdicdi cdiabiabicdicdiacbdbcad iacbdbcadicdcdcd 由刚才的求商过程可以形式上写成由刚才的求商过程可以形式上写成( (体会其中的过程体会其中的过程):):分母实数化分母实数化四、例题应用：四、例题应用：先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式化简成代数形式就得结果就得结果. 然后

13、然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子一般分子分母同时乘以分母的分母同时乘以分母的共轭复数共轭复数).,34)21 (. 2ziziz求满足复数例z=2+i.,2134iiz解：,25510)21)(21 ()21)(34(iiiiii拓展研究拓展研究:。两两个个虚虚数数的的差差还还是是虚虚数数虚虚数数两两个个纯纯虚虚数数的的差差还还是是纯纯。的的共共轭轭复复数数是是纯纯虚虚数数互互为为共共轭轭复复数数、是是实实数数，则则如如果果、下下列列命命题题中中正正确确的的是是例例)4()3(ZZ)2(ZZZZ)1(32121 (2)(2)互互为为共共轭轭复复数数。与与则则若若互互为为共共

14、轭轭复复数数。与与则则若若互互为为共共轭轭复复数数。与与则则若若互互为为共共轭轭复复数数。与与则则若若为为：、下下列列命命题题中中的的真真命命题题例例2121212121212121ZZ, 0ZZ)D(ZZ, 0ZZ)C(ZZ, 0ZZ)B(ZZ, 0ZZ)A(4 D D的值。求已知1,2150100zziz例例5:5:iiizzziziiz111)() 1() 1(1)()(1)(,2)1 (122521242542422原式解：例例6.、已知复数、已知复数z的平方根为的平方根为 3 + 4i ,求复数求复数 z ;、求复数、求复数 z =3 + 4i 的平方根的平方根.，由题意，知：2)43() 1 (iz.247i，设所求复数为)()2(RbRabia，则ibia43)(2，42322abba.-1-212baba，或解得：方程的所有根并求出的值角若方程有实数根，求锐的方程设关于例,)(0)2()(tan72Rixixx，解：设方程的实数根为tx ，且，则：0102tan0) 1()2tan(22tttittt.451tan1ot，.2121ixx，五、课堂小结：五、课堂小结：1、定义定义: 把满足把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的的复复 数数 x+yi 叫做复数叫做复数 a+bi 除以复数除以复数 c+di 的的商商