解析几何中的对称问题

1、解析几何中的对称问题“知识拓展”栏目的探究课1、教学目标：（一）双基知识：识记对称问题中的对称点坐标公式与为求坐标而建立的方程组通式；双基技能：会熟练由条件建立相应方程（组）求知量，能熟练把条件变成相应的数学语言方程。（二）方程与方法：在推导公式的过程中领会分析几何问题的方法，结合图象抓等价条件。（三）数学思想：（1）了解数形结合的思想，图象特点与数量关系相互对应；（2）化归思想：新问题转化为旧问题。（四）体会知识与知识、问题与问题相互联系的学科特点。（五）培育理性精神；形成严谨思维的习惯。2、学生和数学内容分析（1）教材安排“距离”部分知识顺序是点到点的距离，点到直线距离，两条平行线之间的距

2、离，由浅入深，转化思想体现得淋漓尽致，而对称问题所研究的内容正好与此思路完全吻合，恰是学生进行模仿学习，自主研究的好素材。（2）直线作为解析几何学习的“开篇之作”，如果能让学生在初次认识时通过不同方面的应用加深对解析法的黎阿姐，这对学生熟练掌握解析法的思路是很有帮助的。（3）在解决对称问题时，会广泛用到直线方程，中点坐标，求距离等直线部分的重要知识，这是对前一部分知识进行回顾和提高的“天赐良机”，化复习无声无息处，化复习于应用知识解决新问题中，这能让学生产生成就感。（4）教材中有相应的习题：教材第115页B组第10题，并且后续部分的学习（比如圆锥曲线中点弦问题）也会遇到对称问题。（5）结合所教

3、学生的实际情况，笔者对教参、教材内容进行重排，从学生的知识基础和认知规律出发，鼓励学生自主地多角度思考问题和解决问题，让学生在思路比比较中学会对方法的选择，在分析解决问题中体会知识的转化使教学收到良好的效果。3、教学重点通过利用方程（组）求解对称问题，记住对称问题的相关结论，并能把其方法与结论应用起来解题。4、教学难点对称问题有关结论的推导与应用。5、针对重难点的教学构思以“问题驱动”原则设置问题串，由浅入深分层次进行，一定“让学生先行”，忌直接讲授，点拨时注意与学生的已有知识联系在已有知识中找到新知识“生长点”6、教学过程设计6.1 类比距离，引出课题教师：这节课将利用解析法来解决我们很熟悉

4、的对称问题，类比前几节我们对距离的研究，你觉得要研究哪些对称问题？学生活动：梳理知识，确定研究对称问题的思路；点关于点对称，点关于直线对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称。（设计意图：把新知识纳入旧知识体系，完善知识结构）6.2 体会转化，独立解决点关于点的对称问题1已知点A（x,y）和0（a,b），怎么求点A关于0点的对称点A'?学生活动：独立分析解决点关于点的对称本质是中点问题，点A和A的坐标为（2a-x,2b-y）。师生总结：转化思想是数学的核心思想，将复杂转化为简单，将未知转化为已知，虽然很多知识载体不一样，但其本质方法是一样的，问题的提出和解决奠定了本节数学思想基调一一

5、转化。（设计意图：为后面利用中点做一个铺垫）6.3 渐次深入，讨论展示点关于线的对称问题2一直点P（1,1），直线:y=x-1，求点P关于直线的对称点Q的坐标？学生活动：先进行条件分析，对称中有垂直也有相等，根据垂直和相等两个条件确定解题思路，然后学生自主探究，展示不同解题思路和过程。学生1：（解法1）如图1,设过点Py°且与直线：y=x-1垂直的直线方程为x+y+c=O，然后代入点P（1,1）,求出直线方程为x+y-2=0。因为Q在此直线上，可设Q坐标为（q,2-q），利用P、Q两点到直线的距离相等可得方程导=竺严，求得Q（2，0）学生2：（解法2）设Q（x,y），与学生1一样，求

6、出过点P”x_y_1=0且与直线上：y=x-1垂直的直线方程x+y-2=0,联立x+y_2=0求出交点为（3,-）该点是P、Q两点的中点，之后利用中点坐标公22式x；：1，求得Q（2,0）。学生3：（解法3）设Q（x,y），P、Q两点中点在直线总上，且P、Q两点到的距离相等于是122结果发现解不出师生总结：学生的解法精彩纷呈，对三种解法进行讨论，解法1利用了点到直线距离公式，但运算量大，没有中点公式简便；而解法3，由平面几何知识P、Q两点到的距离一样实际与P、Q中点在上是等价的，相当于只用了一个条件。师点评：要求得Q点坐标，需建立关于Q点横、纵坐标两个不同的方程，于是应从两个不同的角度去看对称

7、，对称中有“垂直”，有相等，这是对称的本质所在，由“垂直”可列一个方程口1=_1，由“相等”又可列一个方程=_1，这两个方程联x-122立可得x,y,P、Q中点在上，是P、Q到的距离相等的等价说法。问题3设M(xo,y0),求它关于直线：Ax+By+c=O(AB0)，对称点M'?学生活动：在师生总结的基础上，分两组分别运用解法2和解法3进行求解，两名学生板演。学生4：过点M(xo,y0)且与直线垂直的方程可设为B(x-x0)-A(y-y0)=0，Ax+By+c=0联立B(x-x。)-A(y-y°)=0，求得交点坐标(学生可能因计算能力“卡”在这一步)再由交点为MM中点求M'坐标学生5:设M'(x',y'