基本均值不等式不等式知识点基础练习

1、日期：2012-时间:VIP免费欢迎下载学生姓名：任课教师：试卷审查教师：测试科目：涉及章节：教师评语：不等是知识点知识梳理1 .基本形式:a,bwR,则a2+b2>2ab;a>0,b>0,贝Ua+b之2序,当且仅当a=b时等号成立.2求最值：当ab为定值时，a+b,a2+b2有最小值；当a为或a2+b2为定值时,ab有最大值（a0b0）.3 .拓展：若a>0,b>0时,wmbab、他三丁，当且仅当a=b时等号成立.1122ab重难点突破1 .重点：理解基本不等式等号成立条件，掌握用基本不等式证明不2等式会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.2 .难点：利用基

2、本不等式扁wW求最大值、最小值23 .重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值二方法技巧讲解（1）灵活运用基本不等式处理不等关系问题1.已知正数x、y满足x+2y=1,求工+的最小值.xy点拨：:x、y为正数，且x+2y=1,VIP免费欢迎下载-1+1=(x+2y)(1+1)xyxy=3+21+->3+2V2,xy当且仅当2=x，即当x=J21,y=1W!时等号成立xy2.1+1的最小值为3+27!.xy(2)注意取等号的条件11问题2.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=(x+)(y+)的最小值为。xy点拨：111错斛1、因为对a>0,恒有a+>

3、;2，从而z=(x+)(y+一)之4,所以z的取小值是4。axy错解2、2x2y2-2xyz二xy22(xyxy)-2-2xyxy2=2(J21),所以2(72-1)01一1一专日因分析：斛一等3成乂的条件是x=且y=，即x=1且y=1,与x+y=1相矛盾。xy立的条件是2=xy,即xy=J2,与0<xy三1相矛盾。xy42解析：z=(x-)(y-)=xy-=xy-y刈xy-2xyxyxyxyxyxyxyo1211.0<t=xyM()=，由f(t)=t+在.0,一上单倜递减，故当t=时f=24t.44值史,所以当x=y=1时z有最小值受。424热点考点题型探析考点1利用基本不等式求

4、最值(或取值范围)题型1.当积ab为定值时，求和a+b最小值的最小值是解二等号成,令t=xy,贝Ut+-有最小tVIP免费欢迎下载28例1.已知x>0,y>0且满足£+_8=1，求x+y的最小值.xy例2.已知x>0,y>0,且3x+4y=12,求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值.例3.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是考点2利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例4已知a,b,cwR,求证：a2+b2+c22ab+bc+ca.VIP免费欢迎下载强化训练11 .右x>-1,则x=时,x+有最小值，最小值为.x1112 .

5、(2010华附)已知x,ywK,且x+4y=1,则一十一的最小值为xy3 .已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大1,求这三角形面积的最小值.4 .已知a,b为正数，求证：-a十'L>Va+而、b、a15 .设x>0,y>0且xwy,求证（x3+y33<仅2+y2126 .已知函数f(x)=-一+一，若f(x)+2x>0在(0,+8)上恒成立，求a的取值范围。ax7 .(2010梅县)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x).当年1 2厂量不足80千件时，C(x)=-x2+1

6、0x(万兀)；当年产量不小于80千件3I10000时,C(x)=51x+"-1450(万兀).每件商品售价为0.05万兀.通过市场分析，该厂生厂的商品能全x部售完.(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？VIP免费欢迎下载2 8例1【解题思路】利用十=1,构造均值不等式xy282y8x2y8x斛析：x+y=(x+y)1=(x+y)，(一+)=2+8+-+,x>0,y>0,'->0,>0xyxyxy2y8xoo28x+y210+2炳=18，当且仅当=一时等号成立，即y2=4

7、x2,y=2x,又一+=1,xyxyx=6,y=12.当x=6,y=12时，x+y有最小值18.例2解析:x>0,y>0,3x+4y=12,1/1®+4y)2,xy=，3x-4yw=3,1212<2)：.lgx+lgy=lgxy<lg3.x0,y0x=2由3乂+4丫=12解得3y=3x-4y2当x=2,y=3时，lgx+lgy取得最大值lg3.2例3解法一由a、bCR+,由重要不等式得a+b>2Tab,则ab=a+b+3>2ab+3,即ab24'茁一3>0=(<'ab-3)h/ab+1)>0nVOL>3,ab

8、>9.解法二a、b为正数，ab=a+b+3>333ab>0,两边立方得a3b3>34ab=a2b2>34,<ab>0,ab>9.解法三原条件式变为ab-3=a+b,a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab,a2+b2>2ab,.a2b2-6ab+9>4ab,即a2b2-10ab+9>0,(ab-1)(ab-9)>0,由式可知ab>3,ab>9.解法四把a、bCR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0,贝必=(3-ab)2-4ab>0,

9、VIP免费欢迎下载即(ab)2-10ab+9>0,.(ab-9)(ab-1)>0,ab-1=a+b+2>0成立，ab>9.例4【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体2.22222解析a+b>2ab,b+c之2bc,a+c之2ac,相加整理得a2b2c2uabbcca.当且仅当a=b=c时等号成立.强化训练11 .右x>-1,则x=时，x+有最小值，最小值为.x11.111解析：xA1,x+1A0,->0,x+=x+1+1>2(x+1)1x1x1x1,x11c,1、=21=1,当且仅当x+1=即x=0时(x+)min=1.x1x111

10、2.(2010华附)已知x,yWK,且x+4y=1,则一+_的最小值为xy解析：:x,ywR*,.11=x+4y+x+4y=5+fy+>9,当且仅当x=J,y时取等号.xyxyxy363.已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大1,求这三角形面积的最小值.解析：设直线l的方程+=1(a>0,b>0),则二ab=a+b+1,<a+b>2ab,ab21ab>2<ab+1,即(,茄)24病-2>0,解得Jab>2+6,21ab>1(2+,6)2,当a=b=2+J6时，三角形面积的最小值为5+2J62

11、24解析1：a>0,b>0,冬+后>21?=2心，b,b两式相加，得2d+2而,VIP免费欢迎下载解析2.+上一)ja+Jb)=a+b+*+二a十b+2JabbJb后jbba=(品+而)2.113322-5证明：由x>0,y>0且xwy,要证明(x+yF<(x+yF只需(x3十y3fc(x2+y2)即2x3y3<3x2y2(x2+y2)只需2xy:二x2y21 26斛析：因为f(x)+2x00在(0,+8)上恒成立，即十十2x之0ax1.1、 11一22(x十一)2(x十一)的取小值为4一44axxa1斛得a:二0或a_412_122507解析：(1)当0<x<80时，L(x)=0.05M1000xx2-10x-250=x2+40x331000010000当x之80时，L(x)=0.051000x-51x-+1450250=1200(x+)12cccc“-x240x-250,0二x：80.3L(x)二100001200-(x),x-80x950(万元);(2)当0<x<80时,L(x)=；(x