大学物理科学出版社第四版质点运动学

1、第一章质点运动学基本要求1. 掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。2. 能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。3. 能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。4. 理解伽利略坐标，速度变换。二、基本内容1.位置矢量（位矢）位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r表示。r的端点表示任意时刻质点的空间位置。r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。位矢是描述质点运动状态的物理量之一。注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即rrt；（2

2、）相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r可以是不相同的。它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法在直角坐标系Oxyz中rxiyjzkr22rrrxyzcosxr,cosyr,coszr质点运动时，rrt（运动方程矢量式）xxtyyt（运动方程标量式）。zzt精选rrttrtxiyj,r的模r|'x2y2。注意：（1）r与r：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。（2）r与s:s表示ttt时间内质点通过的路程，是标量，只有质

3、点沿直线运动时两者大小相同或t0时，rSo3.速度drv里是描述位置矢量随时间的变化dt在直角坐标系中drdx.dy.dz,.,vijkvxivyjvzkdtdtdtdtydx2dy，,dt出22dz：-222vxvyvzdt,v的方向:在直线运动中,v>0表示沿坐标轴正向运动，v<0表示沿坐标轴负向运动。在曲线运动中，v沿曲线上各点切线，指向质点前进的一方。注意：（1）瞬时性，质点在运动中的任一时刻的速度是不同的；（2）矢量性，速度为矢量，具有大小，方向，求解速度应同时求得其大小和方向；（3）相对性：运动是绝对的，但运动描述是相对的，所以必须明确参照系，坐标系，在确定的坐标系中求

4、质点的速度；（4）叠加性，因为运动是可叠加的，所以描述运动状态的物理量速度也是可叠加的；（5）要注意区别速度和速率，注意之与dtdrdr一,一出出与如的区别dt4.加速度a电，描述质点速度矢量随时间的变化，其中包括速度的大小和方向随时dt间的变化。不论速度的大小变化，或者是速度方向的变化，都有加速度。加速度为矢量。在直角坐标中，aaxiayjazk,其中精选dvxd2xax-2dtdt2aydvyd2y-dT充dvzazdtd2zdt2，a<a；a2a2。在自然坐标系中annatt,其中,v2dvan，at,dtJa2a2,a与切向的夹角arctananat加速度的方向与速度方向无直接关

5、系。在直线运动中,若a与v同向，则质点作加速运动，a与v反向，则质点作减速运动。在曲线运动中，a方向总是指向曲线凹的一侧的。5.圆周运动的角速度、角加速度角速度ddt角加速度ddtd2dt2角量与线量的关系:R,atR,anR26.加利略速度变换vvu其中v为运动物体相对固定参照系的速度，称为绝对速度；v为运动物体相对运动参照系的速度，称为相对速度；u为运动参照系相对固定参照系的速度，称为牵连速度。三、典型例题:【例11】如图11(a),在离水面高为h的岸边，有人通过滑轮用绳拉船靠岸，设人收绳的速率恒定为v0,求当船到滑轮的距离为l时，绳上A点距离为lc的C点速度?(x,h)(a)(b)精选例

6、11图解：分析：在收绳过程中，AB段内绳上各点的运动情况(轨迹、速度大小和方向)各不相同，绳上各点速度的大小和收绳速率也是两个不同的概念。下面用坐标法求解，以A为原点建立平面直角坐标系xoy如图11(b)dXc?dyc?卜jdtdt由图知：xclcsinc点的运动方程为ivXc?yc?一4小+、vdrcC点的速度Vcdt利用电也v0可得：dtdtdxcd.l2h2,l2h2lch2-lcccc出dtlli2i2h2dxccdtddtlchllc12V0将。代入O式得:vvcLh2cl2,l2h2)Vo?h(llc).2VoJ讨论:(1)0式表明，绳上不同点得速度大小、方向均不相同。当lcl时，

7、则Vj1V0?,l2h2此即船速，“一”号说明船的运行方向水平向左。(2)如果用极坐标法求解，则求得的速度的两个分量分别为径向分量和横向分量，其中径向分量是指速度沿绳方向的分量，其大小即为收绳速率。横向分量是指速度垂直于绳方向的分量。(3)从图11(b)的示意图中可以定性地看出，绳上各点(除B点)的运动轨迹为曲dVV线，可知绳上各点具有加速度。由加速度定义式V咀，运用Vc在直角坐标系中的表达dt式。不难求得绳上各点加速度大小和方向的定量表达式。说明：大学物理和中学物理的一个重要区别是开始把高等数学作为研究物理解决物理问题的一个重要手段，从而使学习的内容上了一个台阶。便于应用微积分运算的坐标法，

8、是在大学物理课程中定量研究物理问题的一个重要方法。这种方法的一个特点是解题过程的程序化，当物理量(如速度、加速度等)不是恒量而是随时间变化的一般情形时，运用坐标法解这类较复杂的问题显得尤为方便。精选【例12】如图12所示。一质点在xy平面内运动，其运动方程为(2t21)?(3t5)?(SI)。求t1.0s时，质点运动的速度、切向加速度的大小、法向加速度的大小和此时质点所在处轨道的曲率半径。例12图解：分析：已知运动方程的坐标表达式，用坐标法求解较为方便。dxVxVy出dydt4tV速度V4t?3?(SI)加速度v4?(SI)当t1.0s时，v14i3j(SI)-16t29(SI)由定义，切向加

9、速度为dvat一dtd.一2-16t/c、J16t9,(SI)dt.16t29当t1.0s时，at123.2ms而am.a2a；2.4ms2质点在该处轨道的曲率半径为1V1/V150Z4m10.4m追)2(出VC说明：运用高等数学中求曲线的曲率半径，要代入公式运算dtdt22dxdydxdydtdt2dt2dt比较繁琐(同学们自己完成)，这里运用法向加速度和切向加速度公式求解，要简捷得多。精选【例13】空中打靶如图13,当子弹从0点射出时，小球B(目标)开始自由下落，若要保证子弹在目标落地之前击中它，求子弹出射速度V0的方向和速度大小的范围。已知B点得高为H,距O点的水平距离为L。B丁T例13

10、图解：分析：子弹击中目标得必要条件是：(1) 子弹和靶的轨道在地面以上相交。(2) 子弹和靶同时到达交点。为此可用坐标法求解该题，但根据相对运动的理论运用矢量图解法解本题更为简洁:在任一时刻t,子弹的速度为vvvViVogt而靶作自由落体运动，速度为VVV2gt由相对运动速度公式，子弹相对于靶的速度VV1v2v0上式表明，子弹相对于靶作匀速直线运动，因此，为击中靶，最初枪必须瞄准射击,使一0的方向指向靶，即仰角应满足tgHLuivi相对靶，子弹沿OB直线运动，击中靶的时间为V0而靶自由下落到地面所用的时间为t0汽为保证子弹在靶落地之前击中，t应小于或等于t0,即:精选2HgH2L2v0得v0大

11、小范围为V0g22(HL)2H请同学们用坐标法解此题，并比较这两种解法，希望大学在熟练掌握坐标法这一基本方法的基础上能灵活运用矢量图解法求解一些特殊的问题。四、习题选解1-1从原点到P点的位置矢量r2i6j。而P点至UQ的位移r4i2j。求从原点到Q点的位置矢量，并作图表示。解:由位移定义Q(x,y)xiyj2i6j显然rQxiyjxrp1-2xiyj2i4j题1-1图设质点沿x轴运动,其运动方程为x3t2t3（式中x以m计，t以s计）。求（1）质点在3s末的速度和加速度；（2）质点在1.5s是作加速运动还是作减速运动；（3）第1s末到第3s末时间内的位移和路程。解：（1）dxv6tdtadv

12、武a6dt3t26t以t=3s代入上两式分别得v9ms12a12ms精选(2)t=1.5s代入v、a表达式分别得_21v6t3t2t63t2.25ms1a66t3ms2a与v反向，质点作减速运动。(3)位移x13x3x12m由v6t3t20得t10t22s即t=2s时质点瞬时静止，其后反向运动。故路程x13x2x1x2x36m1-3一质点在Oxy平面内运动，运动方程为x2t,y192t2SI。求:(1)质点的轨道方程；(2) t时刻质点的位置矢量，速度矢量；(3)什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直?(4)什么时刻质点离原点最近？求这一距离。解：(1)由x2t,y192t2消去t得轨道方

13、程为22xxy192-19(x>0)22(2)rtxtiytj2ti192t2jdx八而vx2dtvydydt4t故vvxivyj2i4tj(3) rv时xiyjvxivyj2xvxyvy2t2192t4t0,_,2,_,2_4t1192t4t2t180得t10,t23s,t33s舍去(4)r-x2y2(2t)222192t精选drc取极小值，由一08t2t180dt得t10,t23s,（舍去t33s）但r019mr36.08m故t=3s时质点离原点距离最近，其距离为6.08m。1-4一质点具有恒定加速度a6i4jSI。t0时，质点速度为零，位置矢量r010i。求(1)质点在任意时刻的速

14、度和位置矢量;(2)质点的轨迹方程。解：由题意知:ax6m2s,ay4m(1) axdvxdtdVxaxdtVx0dvxaxdtt6dt0Vx6tVxdxdtdxVxdt6tdtxdx10t6tdt0103t22103t2同理aydVydtdVy4dtvy0dVyvyy0dyt4dt0dydtt4tdt0即Vy4tdyvydt4tdt由此可得vVxivyjxiyj10(2) 轨道方程由x103t2,y2t26ti4tj3t2i2t2j2t2消t得一320x10-y即3y2x21-5消防水枪喷出的水的流量是q280lmin1。水的流速v26ms1。若水精选枪竖直向上喷射，水流上升的高度是多少？在

15、任一瞬间空中有多少开水？2解：竖直上抛的最大高度H至33.8m水上升到最大高度的时间，由2gVyv0gt(令Vy0,Vy为上升到最高则水在空中运动5.2si28012801min点的速度)得4.6711s60st5.2s喷向空中水Qqt4.67t（升）t5.2s喷向空中水Q24.3（升）1-6一升降机以加速度1.22ms2上升，当上升速度为2.44ms1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m0计算:(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间；(2)螺帽相对升降机外固定柱子下降的距离。解：以地面为参照系，坐标原点选在升降机以速度2.44.ms1上升时刻机外固定柱上对应升

16、降机地板所在处，向上为正(1)螺帽在t=0时，从yy02.74m处以初速为v°2.44ms1作上抛运动。其运动方程为,1,2GViVov°t2gt地板在t=0时，以初速v02.44ms1,从原点作加速运动，具方程为1O_y2Vot一at2螺帽落地时V1V2VoV。1 1212v°t-gtv°t-at121212atgtagt2 22精选tl-2y-0.705s.ag(2)螺帽下降的距离,1,2crcy°yivot-gt0.72m21-7如图所示，有人在离水面高h处通过滑轮用绳子拉船靠岸。设人用匀速Vo收绳子拉船，求当船与滑轮的水平距离为x时，船

17、的速度和加速度的大小解：由图可知h2x.s2h2题1-7图示dxvdtss212s2dsh2-dth2cds2sdt人以匀速V。收绳拉船dsdtVo,22hxvxVo,22hxxV。v的方向沿x轴负方向船的加速度dva一dtddtdsv0h22''sh2dtdsvodt1h22v。dss2h2dtSVoh2cds2sdt22,2222.2VoshsVoVoho,22hVoa的方向沿x轴负方向个初速为vo的小石子,1-8如图所示，一人站在山坡上,山坡与水平面成角。他扔出一精选V0与水平面成角(向上)，求2v02sinscos2gcos(1)如空气阻力不计，试证小石子落在斜坡上距离

18、为s处题1-8图(2)由此证明，对于给定的V。与值，s在时有最大值:42V21sinsmax2-gcos解:以斜面方向为x轴，垂直于斜面为y轴，扔出点为原点建立xOy坐标系。(1)VoxV0yv0cosv0sin1V0xt-gxt21V0yt-gytgxgsingygcos小石子落地时y=01,2v0sintgcost02落地时间t2v0singcos小石子落在斜坡上的距离精选sxv0cos2v2singcos2v2gcossincos,12t-gsinat224v0gsinsincos222gcos2.22v0gsinsin22gcos22gcos2v0sin2coscosgcos2v2si

19、n2cosgcos2v2sin2cosgcossinsin(2)对于给定的vo和值v22sinscos2gcos2Vo2gcos2v。2gcossinsinsin2sin由上式可知，小石子落在斜坡上距离最大值的条件是sin2故smax22v01singcos1-9一个人扔石头的最大出手速度为v25m1,他能击中一个与他的手水平距离为l=50m,高h为13m处的一个目标吗？在这个距离上他能击中的目标的最大高度是多少?解：以出手点为原点，建立xOy坐标，设出手速度vo与x轴夹角为忽略空气阻力有yv0sint1.22gtxv0cost精选消去t,得石头运动轨道方程题1-9图代入当业dyxtanv25

20、my50tan2gxT-222v0cos2g2cos0时y取极值(50tand250sec2g%)cos2sin3-cos51.950tan一1.27554g故当51.9时，y在L=50m处最高高度为:y50tan51.92212.3mcos51.9所以不能击中目标，能击中的最大高度是12.3m。1-10一质点沿直线运动，其坐标x与时间t如下关系，xAetcostSI（A,皆为常数）。求（1）任意时刻t质点的加速度；（2）质点通过原点的时亥1Jt。解：质点运动方程xAe（1）速度dxvdt工AedtdAedttdcostcosttAcostdetAetcost精选(2)加速度dv1dtdt2t

21、AecosttdsintAsinAsintdetAetetAetsinttdcostAcostdetA2costett22Aecost2sint(3)质点通过原点时x0Aetcost0由于et0cost0tk2t-(2k1)L一2k=0,1,2，k=0,1,2，1-11一质点沿半径为R的圆周运动，具路程s随时间t变化的规律为12-sbtct2SI2式中b、c为大于零的常数，且b2Ro求(1)质点运动的切向加速度at和法向加速度an；(2)atan的时刻t。解：质点作圆运动bt1ct22(1)速率dsdtct切向加速度atdvdt法向加速度anct2R(2)切向加速度at法向加速度an0atan

22、ctRbct2RcbctRc1-12一质点沿半径为R的圆周按路程为12,一八一.一，v°t-bt的规律运动，其中V0,b精选都是常量，求:(1)t时刻质点的加速度;(2)t为何时，加速度的大小等于b?(3)当加速度为b时，质点沿圆周运动了多少圈?解：质点作圆周运动v0t1bt221-13求:(1)速率v切向加速度法向加速度dsdtVobtatdvdt质点的加速度大小为a与v的夹角(2)当a=b时V0btRaa2a2RR2b2(3)a=b时，tV0b质点沿圆周运行的圈数一质点沿半径为0.1m4t3SIRR2b2V0bt4arctan亘atarctan,2V0btRbV0tbt41bt2

23、的圆周运动,Vo2V02b2V04Rb用角坐标表示其运动方程为(1)t=2s时质点切向加速度和法向加速度的大小;(2)当等于多少时，质点的加速度和半径的夹角成45。解：质点作圆周运动4t3(1)角速度角加速度切向加速度atddtddtdvdt12t224td2RRR24t4.8msdt精选222法向加速度anR2R12t22230.4ms2(2)RR质点的加速度和半径的夹角为45,即a与an成45角,22a.anat24224Rt144Rt4ancos45a1、22an-2a,_4144Rt24224Rt144Rtt3此时质点的角位移24t32.67rad1-14一个半径为R=1.0m的圆盘，

24、可以绕一水平轴自由转动，一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端栓一物体A,如图所示。在重力作用下，物体A从静止开始匀加速的降，在t=2.0s内下降的距离h=0.4m。求物体开始下降后3s末，边缘上任一点的切加速度与法向加速度。书馆题1-14图解：在竖直方向建立x坐标，t=0时,x0物体由静止开始匀加速下降，设加速度为a,Vo1212hxoVotatat222h2a0.2mst2圆盘边缘一点的切向加速度atdvdt0.2ms法向加速度ani2VoatR2.2atRt3s时20.36msat0.2ms2精选1-15从同一地点，以相同速率朝不同方向把许多石子扔向空中，由运动学公式证明这些石子在空中相同高度

25、处有相同速率(不计空气阻力)。证：设某一石子的抛射角为，初速率为v0o在任一时刻t,石子沿x轴和y轴的速度分量为vxv0cosvyvoSingt石子在t时刻的高度Hv0sint1.22gt:22v,Vxvy.22v0cos-22v0cosv0singt2.22,2v0sin2v0singtgt21,2.2v。2gv°sint-gtJv02gH故作抛体运动的石子在任一时刻的速率与抛射角无关，只取决于高度H和初速v0。这些石子在相同高度处有相同速率。1-16如图所示，在一平坦高地上安放一门炮地边缘是一向下的陡壁，炮位距离陡壁l=8100m,陡壁下面的地平面低于炮位h=100m。用炮轰击掩

26、蔽在陡壁后面的目标。如果炮弹出口速率为v0300ms1,忽略空气阻力，求：题1-16图(1)离陡壁最近的炮弹弹着点距陡壁的距离d；(2)这时炮弹出口速度与水平面的夹角。解：炮弹着地点若离陡壁最近，则炮弹会经过高地边缘。炮弹作抛体运动的轨道方程yxtan2gx2v2cos2炮弹经陡壁边缘y0xLtangLc222v°cos精选Lsincos=1sin22炮弹出口速度与水平面夹角61.88gL2arcsin()Vo30.94炮弹落地点yhxLdhLdtangLd2v2cos2d59.5m1-17如图所示，一气象气球自地面以匀速v上升到天空，在距离放出点为R处的A点用望远镜对气球进行观测。

27、记录得气球的仰角为时间t的函数(1)求出用h和R表示仰角的公式;(2)求出上作为时间的函数的公式；dt题1-17图RdR(3)试证当上升时间t时，d-将按1趋近于零。vdtvt2解：(1)由图可知，任一时刻ttan-R气球匀速上升hvtvtvttanarctanRR(2)等式tan0，两边对时间t求导Rdxdvt2dvtansecdtdtRdtRddtv2cosRvR2vRRRh2R2v2t2R2,Rvt2v(3)当上升时间tR时，t2v2t2精选vt2RRR2vt2二趋于零。vt21-18为转播电视而发射的地球同步卫星，它在赤道上空的圆形轨道上运动,（距地球中周期等于地球自转周期T=24h0

28、求卫星离开地面的高度和卫星的速率心r处的重力加速度，agRe/r2,Re是地球半径）解:由题知同步卫星作圆周运动的角速度22460rad60速度an又向心力由万有引力提供,anReh2RehRe卫星高度卫星速率Re3.59107m3.07103ms1,3gReh-VRe1-19一飞轮的角速度在5s内由900rmin1均匀地减到800rmin1。求（1）角加速度；（2）在此5s内的总转数；（3）再经多长时间，轮将停止转动。解：飞轮作匀减速运动，在t=5s内角速度由°减至，角位移为00设角加速度为（1）由匀速圆周运动速度方程01200rmin2t.22.093rads精选（2）由00t1

29、t2070.83转2（3）又经时间t,飞轮停止转动0又0tttt45st45540s1-20北京正负电子对撞机的储存环的周长为240m,电子要沿环以非常接近光速的速率运行。这些电子运动的向心加速度是重力加速度的几倍？解：电子以接近光速c的速率作圆周运动，储存环的周长为L半径为R。向心加速度an1510m2c2.35L2ang2.410141-21一无风的下雨天，一火车以20ms1的速度前进，车内旅客看见玻璃窗上的雨滴和铅垂线成75角下降，求雨滴下落的速度（设下降的雨滴作匀速运动）。解：以地面为参照系，火车相对地面运动的速度为v1,雨滴相对于地面的运动速度为V2,旅客看到雨滴下落的速度V2为雨滴相对于火车的运动速度。V2V1v2V1tan75V2v2一二05.36m