天津南开中学2015届高三第五次月考数学理试题版含答案

1、天津市南开中学2015届高三第五次月考数学(理)试、选择题(每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分.)21.复数z=£上的共腕复数所对应的点位于复平面的().1 -iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 .函数f(x)=log1(x2-4)的单调递增区间是().2A.(0,+¥)B.(-¥,0)C.(2,+¥)D.(-?,2)3 .设a、P、尸为平面，m、n、l为直线，则m_LP的一个充分条件是().A.:_:-,'.'C'=l,m_lB.n_:,n_Lm_二C.:_，:，m_

2、:D.lf=m,：_,二4 .已知圆C1:x2+y2-10x_10y=0和圆C2:x2+y2+6x+2y_40=0相交于A、B两点，则公共弦AB的长为().A.5B.52C.5,3D.105 .若抛物线C/y2=2px(pA0)的焦点F恰好是双曲22C2：,-*=1(a>0,b>0)的右焦点，且它们的交点的连线过点F,则双曲线ab的离心率为().A.72+1B.2116.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+一的最小值是().x3yA.2B.2夜C.243D.4C.D.,217.若函数y=f（x）（xwR）满足f（x+2）=f（x且xw口时，f（x）=1x

3、2.1gx,x0函数gx=112x2,的零点个数为（）.A.6B.7,则函数h（x）=f（x）g（x）在区间5,5内C.D.8.已知a,b,c,d均为实数，函数一a3b2f（x）=x+-x+cx+d（a<0）有两个极值32点Xi,x2（K<x2）,满足f"2）=Xi.则关于实数x的方程af（x+bf（x）+c=0的实根个数为（）.A.0B.2C.3D.49.II卷（将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效二、填空题：（每小题5分，共30分.一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积为正视图侧视图俯视图10.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方

4、的点（图中阴影部分）构成的区域.在D中随机取一点，则该点在E中的概率为的展开式中的常数项是.（用数字作答）12.已知数列an满足：a1=2,an44=a；-nan+1,令bn=anan1的前10项和为.13 .函数y=f(x)为定义在R上的减函数，函数y=f(x1)的图象关于点(1,0)对称，x,y满足不等式f(x2-2x)+f(2y-y2)<0,M(1,2),N(x,y),O为坐标原点，则当1ExW4时，OMON的取值范围为.14 .关于实数x的不等式x2+25+|x3-5x2巨ax在11,12上恒成立，则实数a的取值范围是.三、解答题：(1518每小题13分，1920每小题14分，共

5、80分.)15 .从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每次不放回地摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束.(I)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；(n)记试验次数为随机变量X,求X的分布列及数学期望e(X).16 .已知函数f(x)=A/3sin6x-2sin2注9>0)的最小正周期为3n.2求函数f(x)在区间-以卫上的最大值和最小值;一4(II)在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且a<b<c,x&=2csinA,求角C的大小；3二11.(田)在(II)的条件下，右f(A+)=，求cosB的化2213/ABC=60一

6、，侧面PAB是17.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，边长为2的正三角形，侧面PAB_L底面ABCD.(I)设AB的中点为Q,求证：PQ_L平面ABCD；(II)求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；(m)若在侧棱PC上存在一点M,使得二面角M-BD-C的大小为60°,求CM的值.CP2218.如图，已知椭圆£:=十q=1但>>0)的离心a2b2率为,E的左顶点为A、上顶点为B,点P2在椭圆上，且PF1F2的周长为4+2J3.(I)求椭圆的方程;(H)设C,D是椭圆E上两不同点，CD/AB,直线CD与x轴、y轴分别交于M,N两点，且MC=zCN,MD

7、=RDN,求人+N的取值范围.19.已知数列以满足a=1色=3,an书=4an3an(nwN,n22),(i)证明：数列an+-aj是等比数列，并求出an的通项公式；(R)设数列bn的前n项和为Sn，且对任意nWN*,有卜+旦十|+&=2n+1a2a2n4成立，求Sn.20. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x+；x2(k20,且k¥1).(I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(H)求f(x)的单调递减区问；(m)当k=0时，设f(x)在区间10,n(nWN*)上的最小值为bn,令an=ln(1+n)bn,证明：曳+典+|+a1a3.22<

8、;2-1(n乞N*).a2a2a4a2a4111a2n天津南开中学2015届高三理科数学第五次月考试卷参考答案、选择题:12345678CDBDADCC9"10/11,12113P1”2/十1一435P120.12卜(-wJ0p三、解答题：21. 15.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每次不放回地摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束.22. (I)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；23. (II)记试验次数为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X).解：(I)设“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为事件A,贝UP(A)二驾1=35”等口型.)

9、=鲁空/-928C87X的可能取值为12,3,4.已知函数f(x)=J3sincox2sin2学9A0)的最小正周期为3兀，广W广。广1广14-r2c广。0口产(尤=3)=4=5"二乙产34):容工ClC；28C；CjC：2816.(I)求函数f(x)在区间1_n,3L1上的最大值和最小值;一4(II)在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且acbcc,J3a=2csinA,求角C的大小；3一11.(田)在(II)的条件下，右f(A+)=,求cosB的值.2213am/,、-1一cosX二解(I)f(x)=Qsin6X_2=2sin(mx+一)一126由函数f(x)的最

10、小正周期为3人即打=3%解得切=2.3,、，2二、,f(x)=2sin(x)-132二2二，.，2二、，xwi-n,时，-<x+<,-1<sin(x+)<1,IL4236336所以x=T时,f(x)的最小值是-3,x=3时，f(x)的最大值是1.(II)由已知£a=2csinA,由正弦定理，有-=2si2A=s!Ac3sinC3又sinA=0，sinC=,22二又因为a<b<c,C=一.3(田)由f(3A+>得cosA=空2213132-5一2二.0<A<_,sinA=v1-cosA=1.由C=知A+B=,31333125.324

11、. .cosB=cos(-A)=coscosAsinsinA=.3332625.26.27.28.17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,是边长为2的正三角形，侧面PAB_L底面ABCD.(I)设AB的中点为Q,求证：PQ_L平面ABCD;(II)求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；(m)若在侧棱pc上存在一点m,使得二面角MBDC的大小为60°,求CM的值.CP29.(I)证明：因为侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q,所以PQ_LAB,因为侧面PAB，底面ABCD,侧面PABA底面ABCD=AB,PQ匚侧面PAB,所以PQ_L平面ABCD.(H)连结AC,设ACC

12、bD=O,建立空间直角坐标系O-xyz,一3则O(0,0,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(J3Q0),P(二23V31PD=(二，,3),平面ABCD的法向量m=(0,0,1),22设斜线PD与平面ABCD所成角的为皿mPD贝Usin：-|cos：m,PD|=|=|m|PD|«,3271工3,443010(m)设CM=tCP=(yt-|tJ3t)(0t<1),则M33C+1,商,BM=(t-<3,-t+1,Y；3t),而=2值(1,0,0),2设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则S_LDBunDB=0=x-0,33n_LMBunMB=0u(t一43

13、)x+(t+1)y+、3tz=0,22Mz=33,得n=(0,-6,J3),又平面ABCD的法向量m=(0,0,1)3t-2所以|mn_|=|cos<m,n>Hcos601,所以一|m|n|,3(6t了2，3t-2)解得t=2(舍去)或t=2.所以，止匕时幽=25CP5x2y218.如图，已知椭圆E:=+y=1(a>b>a2b2E的左顶点为A、上顶点为B,点P在椭圆上，且APF1F2的周长为423.解:a2=4,上“、解得，所以椭圆的方程为b2=1,1(H)又A(2,0),B(0,1),所以kAB=l2由CD/AB,可设直线CD的方程为由已知得M(-2m,0),N(0,

14、m),设C仅i,yi)D(x©%x2y2=14，得：x2+2mx+2m2-2=01y二一xm2=(2m)2-4(2m2-2)a0=m2<2,所以xix2=：-2m,x1x2=2m2-2,由MC-CN得(x12m,y1)=(-%,m-y1)所以x1+2m=-九%即儿=-1-2mx1一t2-222m,同理，由MD=NDN得N=1所以九十N30.-2-2m()-2-2mx_2=2x1x2x1x2由m2：二2一(-二,-2U(2,二)，m2-1x222m2222m-1m-1(i)求椭圆的方程；(H)设C,D是椭圆E上两不同点，CD/AB,直线CD与x轴、y轴分别交于M,N两点，且MC=

15、zCN,MD=I1DN,求九十N的取值范围.2a2c=42,331.又m¥0,九<0,N<0,所以九+Nw(-00,-2).32.19.已知数列an满足a=1,a2=3,an书=4an3an(nwN*,n>2),(I)证明：数列an+-aj是等比数列，并求出伯的通项公式(R)设数歹Ibj的前n项和为Sn，且对任意nWN*,有+且十川+旦=2口+1a2a2n&成立，求Sn.解：(I)由an书=4an3an.可得an书an=3(anan.a1=2,.4平-aj是以2为首项，3为公比的等比数列.an三注-an1-an-anN|)a?-4-ai1-31=3n(U)n

16、=1时，=3,b1=3,S)=3ain2时-b-=2n+1(2n1)=2,bn=2nan=2nx3nnanSn=32232332|卜2n3n=2130231332|l|n3n1设x=130231332HIn3n贝U3x=131232333IIIn_13nn3n，八-2n_2x=n3n-3n3n|43。=n3n-一-Sn-23nl33. 20.已知函数f(x)=ln(1+x)x+kx2(k20,且k¥1).34. (I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f)处的切线方程；35. (H)求f(x)的单调递减区间；36. (m)当k=0时，设f(x)在区间0,n(nWN*)上的最小值

17、为bn,令an=ln(1+n)-bn,证明：旦+皿+川+二吁、2T(nWN*).a2a2a4a2a4am37. (I)解：当k=2时，f(x)=ln(1+x)_x+x2,fx1+2x,38. f1=ln2,f1)=3.39.曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-ln2=|(x-1),即3x-2y2ln2-3=0.1xkxk-1,40. (H)解：f(x)=-1+kx=-',xw(1,y),1x1x当k=0时,J,令f*(x)<0,亘晅山a2a2a4a2a/Ila2n41. Af(x)的单调递减区间是(0>o);当i>0,即0<k<1时，令f'(x)<0,贝tj0<x<?kk二f(x犯勺单调递减区间是0,11；,k当22<.2n1-.2n-1-k>