宁波高一数学竞赛

1、2007年宁波市高一数学竞赛（二试）注：本试卷可使用计算器.一、选择题：本大题共有10小题，每小题6分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的。一b.一.x表示把集合M的元素x映射到集合a,b为实数,集合M=Wb,1、P=a,0,f：xtaP中仍为x,则a+b=A.-1B.0C.1D.,1c1一sin402 .化简的结果为cos20-.1-cos2160-1A.1-sin40B.cos20-sin20C.1D.-13 .已知A(0,1),B(2,2),C(4,6),则AB在AC方向上的投影为ABC.D,41,41.13134 .在数列Qn中，a=1自由=an+J0T+1,则a99

2、=411A.2550-B.2500C.24501D.24015 .已知函数f(x)=sin(0x+*)(aCx乏R遒足f(x+1)=f(x)-f(x-1J寸任意的xRR都成立。若A=sin（ox十中十90）,B=sin（ox+中9。）,则A与B的大小关系是（）A.ABB.A=BC.A：BD.不确定6 .设a,b,c为实数，4a4b+c>0,a+2b+c<0。则下列四个结论中正确的是（）2222A.b<acB.b>acC.b>acJLa>0D.b<acJLa<0r兀7 .设fx）灿x，若x1，x2W厂一，一且f（x1）>f（x2）,下列结论中

3、必定成立的是（）一2222A.Xx2B.X1X20C.X1：:X2D.X1X28 .曲线y=5sin(2X+±)与直线y=X的交点个数是()6A.5B.6C.7D.89 .函数f定义在正整数有序对的集合上，并满足f(X,X)=x,f(X,y)=f(y,X),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则f(14,52)的值为()A.364B.182C.91D.无法计算10 .O是平面上一定点，a,b,c平面上不共线的三个点，动点P满足_,_TTTABACOP=OA£(r,RUP的轨迹一定通过LIABC的ABcosABCACosBCAA.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题

4、目：本大题共10小题，每小题6分，满分60分。要求直接将答案写在横线上。11 .函数y=ax22(a1)x+2在区间(m,4】上递增，则实数a的取值范围是。12 .平面点集M=(x,y)cosny=sinn,xwZ,y<1,x<2),用列举法表示M=。.200713 .已知数列斗中，a1=1,a2=2,anan书an虫=an+an书+an42，则工ai=°k二二14 .已知sin(ot+2F)=3sina,F丰,a+F#+nn(k,nwz)贝U22'tan('工T')_tan:15 .已知实数x,y满足(3x+y)5+x5+4x+y=0,则4x+y

5、=。16 .已知f(x)是定义在(0,收)上的增函数，当nwN冲时，有f(n)wN：ff(n)=3n,则f(1)+f(2)=。17 .若a+b+c=1,a,b,cwR：J4a+1+6a+1+J4a+1<m,则m最小值是。18 .若【X】表示不大于X的最大整数，则使得Dog2l+liog22+1og23+|"+Dogan】至2007成立的正整数n的最小值是sinxcosx19 .已知xwR,则函数f(x)=max4sinx,cosxnx二”的最大值与最小值的和等.2x2+kx+1”20 .已知集合M=«yy=x01>任取a,b,ceM以a,b,c为长度的线段都能构

6、成三角/x2+x+1形，则实数k的取值范围为。三、解答题：本大题共2小题，每小题15分，满分30分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。21 .已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cwR)满足条件：对任意实数x都有f(x)*2x；1 9且当0<x<2时，总有f(x)W(x+1)成立。2(1)求f(1)的值；(2)求f(1)的取值范围。22.已知函数y=f(x)满足a=(x2,y),b=(x-,-1),且aUb=T。如果存在正项数列xnnan满足：a1=，工f(ai)-n=Zai3-n2an(neN*)°2ty(1)求数列an的通项;n证明：'

7、、参考答案、选择题：CCBBB、填空题：BDCADi1-1“111"c/c11.,012.，(一1,土),(0,士),(1,士)b13.401414.215.0IL3_|1222五，21016.517.72118.31419.120,-,-三、解答题：21.解：(1)f(1)=25分(2)对任意实数x都有f(x)>2x,即ax2十(b2)x+c至0恒成立,a0,由于f(1)=a+b+c+2,.a=c,b=22a。(b-2)2-4ac_0，1o11o此时f(x)(x+1)=(a-)(x-1),当0<x<2时，总有f(x)E-(x+1)成立,22215分0<a1-f(1)=ab+c=4a2的取值范围是(2,0】。24nn'：a_b=-1,y=x3-x1(x=0),'，f(a,)-n=va,3-n2an(nN),22.证明：(1)y1nnnn”43a八a3-n2an,.%a,=n2an(1)i1i1i1i1an_n-1an4n1n1又ai=(n-1)2ana(2)两式相减得:i1则an=4,.恐=-1(nN*)5分ananzan(n1)(2)由(1)得:为=11:1-2ipi2(i1)&#