宁德师专期末试卷

1、宁德师专常微分方程期末考试卷(5)姓名班级座号成绩一、填空题：(每小题3分,5X3=15分)1 .方程x(y21)dx+y(x21)dy=0所有常数解是.2 .方程y“+4y=0的基本解组是.3,方程dy=J7+1满足解的存在唯一性定理条件的区域是.dx4 .函数组中1(x)，中2(x)，中n(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上恒不等于零.5 .若y=Q(x),y=%(x)是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们(有或无)共同零点.二、选择题：(每小题3分，5X3=15分)1 .设y(x)=Gy1(x)+cy2(x)+yp(x)是方程y"+y'+y=1

2、的通解，则limy(x)=x二(A)0(B)1(C)9(D)-1dy312 .万程工=y3过点(0,0)共有()个解.dx2(A)无数(B)一(C)两(D)三3 .n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.(A)n+2(B)n-1(C)n+1(D)n4 .一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差().(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解5 .如果f(x,y),(x,y)都在xoy平面上连续,而且f(x,y)有界，则方程或=f(x,y)的cydx任一解的存在区间().(A)必为(，+叼(B)必为(

3、0,+如)(C)必为(*,0)(D)将因解而定三、计算题：求下列方程的通解或通积分：(每小题8分，8X4=32分)1. 或=2xdxyxy,2x2. (xe-y)dxxdy=03. x一义二cost24. yy+y+2x=0四、设函数+(x)连续，而且满足“(x)=ex+J仲dtx74>(t)dt,求1(x).(10分)五、求解下列微分方程组3=.x.2ydt曳=3x4y满足初始条件(0)一0的解.(10分)六、证明题：(每小题9分，9X2=18分)1、在方程y"+p(x)y'+q(x)y=0中，已知p(x),q(x)在(血产叼上连续.求证：该方程的任一非零解在xoy平

4、面上不能与x轴相切.2、设y=%(x)和y=52(x)是方程y'+q(x)y=0的任意两个解，求证它们的伏朗斯基行列式w(x)三c,其中c为常数.宁德师专数学系常微分方程期末考试卷（5）评分标准既参考答案一、填空题：（每小题3分,5X3=15分）1.y=±1,x=±12.sin2x,cos2x3 .D=（x,y）wR2y>0,（或不含x轴的上半平面）4 .充分5.没有二、选择题：（每小题3分，5X3=15分）1、B2、A3、D4、C5、A三、求下列一阶微分方程的通解：（每小题8分，8X4=32分）2x5 、解将万程变为ydy=2-dx（4分）（1x）.一122

5、、从而得y=ln（1+x）+c（c为任息的常数）（4分）22x.2、解将万程变为xedx+xdy-ydx=0（2分）一一，一、1积分因子为N（x）=（2分）x于是原方程化为exdx+xdy2ydx=0（2分）x故原方程的通解为ex+-=C,（2分）x3、解特征方程为九31=0,得，-1=1，九2,3=（3分）由于九=±i不是特征根，因此设非齐次方程的特解x=（Acost+Bsint）,1 1代入原方程得A=B=-,所以特解为x=-一（cost+sint）（3分）2 2故原方程的通解为x=3引（c1cos苧t+c2sin苧t）+c3et1（cost+sint）（22分）4、解方程改为（

6、yy'）'+（x2）'=0（2分）于是有yy'+x2=g（2分）2,即ydy+xdx=c1dx(2分)1 c1。故原方程的通斛为一y十一xnQx+a(2分)2 3四、解两边关于x求一阶导数，有x何(x)=ex-0(t)dt(2分)两边关于x再求一阶导数，得("(x)=ex-欠x)(3分)即旷(x)+e(x)=ex而且*(0)=/(0)=1x1x.而万程中(x)+4(x)=e的解表本为1(x)=Gcosx+c2sinx+e(3分)211.1x,八、由中(0)=Q(0)=1可得0(x)=cosx+sinx+e(2分)222五、求解下列微分方程组解方程组的特

7、征方程为-1九22AKE=九23九+2=034九特征根为%=1,九2=2(2分)入=1对应的特征向量应满足-1-1-2_34_0可解得a1=1,b1=-1(2分)类似%=2对应的特征向量分量为a2=2,b2=3(2分)所以，原方程组的的基解矩阵为小，、:e2e2tl工8-3e，(2分)方程满足初始条件(0)=_0的解表不为,吊吊一1：382e2t1(2分)2t$(t)=中(0)I1=2tJ-i3e+3e六、证明题：(每小题9分，9X2=18分)1、证明：由已知条件可知，该方程在整个xoy平面满足解的存在惟一性及解的延展定理条且任一解的存在区都是S+«).(2分)显然，该方程有零解y(x)三0(2分)假设该方程的彳E一非零解y1(x)在X轴上某点X0处与X轴相切，即有yi(xo)=y；(%)=0,那么由解的惟一性及该方程有零解y(x)三0(2分)可知yi(x)三0,xW(-«,+功,这与yi(x)是非零解矛盾，所以该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.(3分)2、证明：y=Q(x)和y=%(x)它们构成的伏朗斯基行列式电(x)*2(x)w(x)=(3分)*1'(x)