定积分的近似计算

1、定积分的近似计算性的。虽然牛顿一一莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。一梯形法将积分区间匕，b】作n等分，分点依次为ba"X0X/Xn=b'XX=-相应的函数为Vo，Vi；：Vn（V="x）i=01，n）曲线y=f（x让相应的点为P°,Pi'PnPi=XVi'i=01''n.

2、将曲线的每一段弧R，Pj用过点p_,pj（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形形成了真正的梯形（图11一25）,其面积为V11Vjx,i=1,2,n2于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即bnVJVxnfxdx”-x=一"yy,ay22yyiVi+2y+y1十y1-2称此式为梯形法公式。在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有ff（xdx=bja.+/+,+%+、+RnkJ3其中Rn=，b-a'f/Xawb）R12n抛物线法由梯形法求近似值，当y=f(x/凹曲线时，它就偏小；当y=f(x)为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与

3、它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。将区间b,b】作2n等分(图)分点依次为b-aa=X0X1X2X2n=b，xX=n对应的函数值为y0，yi，y2，y2n=，、)，=0,1，2,，2n)曲线上相应的点为p0,ppp2，p2n，R"x,y/i=0,1,2,一，2n.现把区间X0，X2】上的曲线段y=f(x)用通过三点Po(X。y0p/Xiy?P2(X2,y2炳抛物线yix21xi=PiX来近似代替，然后求函数D(X)从Yn到Yo的定积分:piX0X2一：X2姒=>ix2+BX0X0cit1pti3L12Mx+ydx=iv+v+¥XiJ3x2

4、xiL-X0（x2-x0）+'i（X2-X0）二X2X06|QiX2+PiX0+Yi）+<MiX：+PiX2十"/口i（X0+X22iX0X24i.由于Xi=(X0+X2丫2，将它代入上式整理后可得i）ix2+PiX2+yi产p仅dx=X2X°L1x：+BXo+抨4G1x；+PXi+'X0Pi'尸6iX0iX0iiX1iX1=7乂4yy2二号乂4yy2同样也有X4b-aX2P2XdXFy24y3y4XLPnXdX;展丫2。/4丫2。）2nX2kbfXdx:'、bkX2k2将这n个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值:p(XdX上吐a

5、(y+4y+ypk76ny2kNy2kJy2k:fxdx嗜，y。y2n4vy3y前2y2、y这就是抛物线法公式，也就是辛卜生公式。也bfXdxa富W丫加4yy3y前2y2y4,vRn其中Rn二5ba4180n可见n越大,近似计算越准确。一般说来，将积分区间la,b】作同样数目等份的情况下,1、抛物线形公式比梯形公式更精确一些O插值型求积公式：In=£Akf(Xk),其中Ak=flk(x)dxak=0b余项Rf=勺f(n1)()-w(x)dx,w(x)=(xx。)(x-xn)(n1)!至少具有n次代数精度。2、牛顿柯特斯公式(等距节点)：n(-1广In=(b-a)ZCn)f(Xk),其

6、中Ckn=k=snk!(n-k)!nn(t-j)dtjHj-k1当n=1时，CruCf；,求积公式即为梯形公式。2当n=2时，C02)=1,C1(2)61=一，求积公式变为羊普森（Simpson）公式,6baabS=-rf(a)4f(-)f(b)62Rs334f(4)()1802当n之8时，计算不稳定，此时一般不用该公式。n阶的Newton-Cotes公式至少具有n次的代数精度；当n为偶数时，至少有n+1次代数精度。3、复化梯形公式：b-axk=a+kh,h=nhn1hnJTnf(Xk)+f(Xk+)=-f(a)+2Zf(Xk)+f(b),kJ2kz02b-a2r一mf()4、复化辛普森公式:

7、hnASnf(xk)4f(Xj)6kz02hn+-Zf(xk”计算T0(k)2k=02按公式Tmk)m4T(k1)mJm4-11Tm2计算加速值，直到4m-1(0)(0)1k一Tk<Z,积分值即为n1n1f(xk1)=-f(a)4-f(xk.1)2-f(xk)f(b)6k=02k1飞一富94f飞)”(a,b)5、龙贝格求积公式：T0表示二分k次后求得的梯形值，Tmk)表示序列TT0(k)Nqm次加速值。f(a)+f(b),通过递推公式T0(k)=1T0(k)2Tk。6、高斯求积公式:取f(x)=xm，对m=0,1，2n+1,使£Akxm=fak=0xmP(x)dx成立，解出Ak

8、及xk=0,1,n具有2n+1次代数精度。f(2n2)()b2R=1TJn1(X)'(X)dX7、高斯-勒让德求积公式:在高斯求积公式中，取权函数P(x)=1,区间为1,1,即£Akf函)=：f(x)dx。k-0余项Rn(f)=22n3(n1)!4f(2n2)(2n3)(2n2)!，(-1,1)勒让德多项式的零点就是求积公式的高斯点。勒让德多项式：p0(x)=1,Pn(x)两点高斯-勒让德求积公式的形式是:1dnnn2n!dx1f(x)dx:f(-1f(1)3,15158515三点高斯-勒让德求积公式的形式是：f(x)dx忠5f(二5)+8f(0)f(上25)9599510、高斯-切比雪夫求积公式:a=1,b=1,且取权函数一1n-1f(x)P(x)=-=,即工Akf(xk)=f-(dx,1x2yJ1-x2此时高斯点是n+1次切比雪夫多项式的零点，即为,2k1、x