完整初2103根式的恒等变形

1、第2103讲根式的恒等变形、知识和方法要点表示方根的代数式称为根式，即含有根号，且根号内有字母的代数式称为根式。对于根式中的字母的一组允许的值，代入此根式得到的值称为根式的值。根式的恒等变形是指利用根式的基本性质将根式化为与其恒等的根式。二次根式具有以下基本性质1) (7a)2a(a0)；aa02) .a2|a|0a0;aa03) b点cVa(bc)Va(a0);4)用而/ab(a0,b0)；aa5) j=b(a0,b0)；6) (7a)n友(a0)。根式的恒等变形有它的特殊性，需要较强的代数式变形技巧。通常要对题目中的条件根式和欲变形根式综合考虑，寻求一个简单而清晰运算线路进行变形。常用的方

2、法有：分解因式法，配方法，平方法，换元法等。化简根式必须化到最简根式为止，所谓最简根式，是指满足以下三个条件的根式：1)被开方数(式)的哥指数与根指数互质；2)被开方数(式)的每一个因式的哥指数都小于根指数；3)被开方数(式)不含有分母。、典型题例选讲例1化简：，眄何。(复合根式化简；配方法)【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。可通过配方法进行化简。应首先变形为适合配方的形式，然后进行配方。【解答】化简如下,；T54"438T43(5-3)243卜53)43(106)o2.(2).22【评注】配方法是复合二次根式化简的最常用的方法。例2化简：。2眄2点432衣也2板。(复

3、合根式化简；平方法)【分析】这是一个数字型的复合二次根式的化简问题。，可通过平方法进行化简。应前两项使用平方法，后两项使用平方法后相加。【解答】因为72石W石如2飞,2圾214242凤2行花,2。322322(322322)262-322、322两式相加得也收42晅73272J32隹花2。所以，原式而2。【评注】为了书写简洁，平方运算在根号下进行。例3化简:O（复合根式化简；方程法）【分析】如果设x42广72=言，两边平方可得关于x的方程x2出x的值。【解答】设x，2,2&户L,两边平方，得x20,解这个方程就可能求于是即x满足方程解方程得所以，.2222Lx22J2J2衣L2x2x,

4、2xx20,x2或x1（舍去）。2。【评注】本题还涉及到,242亚加匚是否收敛，即它是否表示一个实数的问题。例4设y是偶数，最简根式3x2xy与y；，4xy2是同次根式，求y的值。（根式概念；分类讨论）【分析】首先利用偶次根式对根底数大于等于零（本题只能大于零）的要求，解得y的范围，然后讨论求得满足要求的y的值。【解答】由同次根式的意义，得3xyy6,知x2,于是给定根式为yj4与丫即y,它们为偶次根式，于是4y0,6y0,推得y4,2,0,或2。1）当y4时，两个根式为瓜与庭,其中屈不是最简根式；2）当y2时，两个根式为狗与石，其中4/4不是最简根式；3）当y0时，两个根式为游与蛇,其中V4

5、不是最简根式；4）当y2时，两个根式为短与我,它们是最简根式，符合题意；所以，所求的y2。【评注】本题考察同次根式、最简根式等基本概念。例5已知1x0,化简：Jx22工Jx224。xx（根式化简；配方法）【分析】这是一个字母根式的化简问题。观察知，两个根底数都是完全平方式，而一个数平方再开根号等于这个数绝对值，然后根据已知给出的x的范围打开绝对值解决问题。【解答】化简如下原式J（x；）2卜x）2|x1|x1|（x1）（xx）2x0xxxxxx【评注】永远要记住平方再开根号等于绝对值。3x2xyy2例6设a,x,y是两两不同的头数，且；a（xa）qa（ya）Jxaq'ay,求的值。（根式

6、求值；隐含条件）x,y的值，就可以代入欲求xxyy【分析】考虑到偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件，容易从条件式解出值代数式进行简单求值。【解答】因为a（xa）0,xa0知a0,a（ya）0,ay0知a0,由此得a0。于是x,yxy。2222所以，原式3yyyy1-O222c2cyyy3y3从偶次根式的根底数大于或等于零的隐含条件得到解题所需的中间结果。例7设5x5,且x0,化简:（根式化简；分式性质）【分析】观察欲化简根式的特点，注意到二与二都是正数，且互为倒数，采用将此根式的分子、分母5x5x同乘上JU即可一次性去掉根号解决问题。;5x【解答】化简如下【评注】采用分母有理化解题将比较烦

7、琐。例8已知ab0,且a2b2a2b2,化简：a、：12b、；15。【分析】化了。观察所给条件式与欲化简式的特点，利用条件式首先可将欲化简式的根底数化简,（根式化简；分式性质）这时问题就简单解：由a2b2a2b2得1,即1口，1a2b2a2b2b2原式心出ab|b|a|a|a|b|b|ab2.22.2ab当b0aab当a0b°abababab2.22.2abababab【评注】要对对a,b进行讨论。例9设a,b,c,x,y,z是非零实数，且a2b2c2x22_2yzaxbycz，-的值。c【分析】观察所给条件式的特点,可以通过配方法，得到ax0,by由此简单求值。【解答】由a2b2c

8、2配方得于是即222xyzaxbycz,得2_22_22_2(a2axx)(b2byz)(c2czz)(ax)2(by)2(cz)20,ax0,by0,cz0,ax,by,cz。0,c0,（根式求值；配方法）z0,即ax,by,cz,所以，(x1z事。7y(6Tx5jy),求X汨y的值。2xxy3y【评注】巧妙利用条件式进行配方，妙！例10设x0,y0,且Vx(Vx21)(根式求值；因式分解)【分析】观察欲求值式的特点，只须从条件式中求出旅：jy即可，由此将条件式分解因式，得到Jx5jy解决问题。【解答】由条件式得分解因式得因为衣亚0,故即xxyy所以，2xxy3y(Vx)2Wx7y5(77)

9、20,(x5,y)(.x.y)0,35.y0,x5yo25y5yy29y1_50y5y3y58y2例11化简：J2a22Va4a21。(根式化简；配方法)【分析】观察欲化简的根式，a4a21可以分解因式，这样Va4a21就可以写成两个根式的乘积，再采用配方法进行化简。【解答】因为a4a21(a42a21)a2(a21)2a2(a2a1)(aa1),所以原式VCa2a12&2a142a1(aa1)(a2a1)22,a2a1a2a1(a2a1)2(a2a1a2a1)2Va2a14a2a1。【评注】例12设由于a2a1,1x1,且xaa1的判别式都小于零，有°,化简：(/圣2aa1

10、0,aa10o1x11、-=2)(-21),1xx1xIxI(根式化简；提高题)j1x和3x进行【分析】本题欲化简根式比较复杂，根据欲化简根式的特点，可以围绕着两个简单根式恒等变形达到化简的目的。【解答】化简如下原式（'1J-x(1x)2x.1x1x(1x1x)1x21|X|2x221x2x1x)21x21|x|1x21|x|x|x|x1x【评注】一边化简一边观察，寻找下一步的最佳运算方向。1例13已知2x33y34z3,-x1,求版x3y24?的值。【分析】由第一个条件式，连比设k,则32x23y24z23kk,xy（根式求值；提高题）k3k,下面只须解决求3k的值，将zx,v,z表

11、示为k的表达式，代入第二个条件式即可解决问题。令2x33y34z3k,则#2x23y24z23k代入x2|x|1当1x0o当0x1x解之得所以,32x23y24z2【评注】在奥数中，与本题类似的题还有几个。例14已知（&2006x）（Jy22006y）2006,求x23xy4y26x6y81的值。【分析】两边同乘以共轲根式，将已知式化简，从中可解出入法解决问题。（根式求值；提高题）y0,再将欲求值式因式分解，采用整体代【解答】将条件式两边乘收2006x,得,y22006x22006x,同理，将条件式两边乘，y22006y,得,x22006两式相加得所以，原式（xy）（x4y6）y22006y0。y，8181o【评注】在奥数中，与本题类似的题还有几个。三、同步练习题1 .已知a0,那么化简|<a2a|的结果是（A.0B.2aC.2aD.不能确定2 .已知a,b,x,y都是实数，且满足等式y诉2|1a：|x4|3y3b2,那么abxy。（2005年上海市初中数学竞赛试题）3 113.当x士时，求代数式11的值。2