小学奥数数论专题数位与进制

1、小学奥数数论专题数位与进制2019年小学奥数数论专题数位与进制1.某三位数五和它的反序数砺的差被99除,商等于与的差；2,%与府的差被9除，商等于与的差；3.7与雨的和被11除，商等于与的和。4 .（美国小学数学奥林匹克）把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数.如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45,试求这样的两位数中最大的是多少?5 .将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数）,新数比原数大8802.求原来的四位数.6 .如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就

2、是一个巧数,因为9X9+（9+9）=99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。7 .有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554,那么这3个数字分别是多少？8 .有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886,求所有这样的6个三位数中最小的三位数.9 .用1,9,7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？10 .从19九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是3330,则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？11 .a,b,c分别是0-9中不同的数码，用a,b,c

3、共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234,那么另一个三位数是几？12 .在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。13 .一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位第4页数首末两个数字交换所得的三位数。14 .将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数.现有一个四

4、位数码互不相同，且没有0的四位数M,它比新数中最大的小3834,比新数中最小的大4338.求这个四位数.15 .已知abcdabcaba1370，求abcd.16 .已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2019,则所有这样的四位数之和为多少.17 .有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3,则可得到一个四位数.将这两个三位数和一个四位数相加等于3600.求原来的两位数.18 .如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加A1111,这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。19 .某八位数形如

5、2,它与3的乘积形如abcdefg4,则七位数abcdefg应是多少？20 .一个六位数abcdef,如果满足4abcdeffabcde,则称abcdef为"迎春数"（例如4102564410256,则102564就是“迎春数”）.请你求出所有“迎春数”的总和.21 .设K位数abcdef满足fabcdefabcdef)请与出隹样的六位数.22 .记四位数abcd为x,由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为X,如果XX*999,那么这样的四位数X共有个.23 .将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(432124),将这24个四位数按从小到大的顺序

6、排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在30004000之间.求这24个四位数中最大的那个.24.(101)2(1011)2(11011)2(63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8；若(1030)n140)贝Un.25.567()8()5()2；在八进制中，1234456322；在九进制中，1443831237120117705766.26.在几进制中有413100?27.在几进制中有12512516324?28 .算几进制数的乘法？29 .将二进制数(110

7、10.11)2化为十进制数为多少？30,二进制数10101011110011010101101转化第6页为8进制数是多少？31 .将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。32 .某数在三进制中为12120190190110121121,则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几？33 .现有1克，2克，4克，8克，16克的祛码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？34 .在6进制中有三位数说，化为9进制为前,求这个三位数在十进制中为多少？35 .在7进制中有三位数航，化为9进制为甚,求这个三位数在十进制中为多少？36 .一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末

8、尾添个“0”就是三进制数，求此人的年龄.37 .N是整数，它的b进制表示是777,求最小的正整数b,使得N是十进制整数的四次方.38 .试求（22006-1）除以992的余数是多少？39 .计算（320031）除以26的余数.40 .计算（220031）除以7的余数.41 .在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68,求除以7的余数为多少？42 .已知正整数n的八进制表示为N（12345654321%,第7页那么在十进制下，N除以7的余数与N除以9的余数之和是多少？参考答案1. a-c【解析】本题属于基础型题型。我们不妨设a>b>Co(诙-丽)+99=(100a+10b+c)-

9、(100c+10b+a)+99=(99a-99c)+99=a-c;2. a-b【解析】(ab-鬲)+9=(10a+b)-(10b+a)+9=(9a-9b)+9=a-b;3. a+b【解析】(Ob+ba)+11=(10a+b)+(10b+a)+11=(11a+11b)+11=a+b。4. 94【解析】设原来的两位数为题交换后的新的两位数为成，根据题意，abba(10ab)(10ba)9(ab)45,ab5,原两位数最大时，十位数字至多为9,即a9,b4,原来的两位数中最大的是94.5. 1099【解析】设原数为薪，则新数为dcba,根据题意，有999(da)90(cb)8802)111(da)1

10、0(cb)97888890推知da8,cb9,得到d9aa1cc9bb0,原数为1099.6. 19、29、39、49、59、69、79、89、99【解析】设这个巧数为ab,则有ab+a+b=10a+ha(b+1)=10a)所以b+1=10)b=9。满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。7. 4,1,2【解析】设这K个不同的二位数为abC,acb,bac;bca,CabiCba?因为abc100a10bc)acb100a10cb)它们的和是：222(abc)1554,所以abc15542227,由于这三个数字互不相同且均不为0,所以这三个数中较小的两个数至少为

11、1,2,而7(12)4,所以最大的数最大为4；又12367,所以最大的数大于3,所以最大的数为4,其他两数分别是1,2.8. 139【解析】设三个数字分别为a、b、c,那么6个不同的三位数的和为：bc)abcacbbacbcacabcba2(abc)1002(abc)102(abc)222(a所以abc288622213)最小的三位数的E位数应为1,十位数应尽可能地小，由于十位数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大,最大为9)此时十位数为131935所以所有这样的6个三位数中最小的三位数为139.9. 573.5【解析】卡片“9”倒过来看是“6”。作为卡片“9”，由第3题的结果可知，1,9,

12、7可组成的六个不同的三位数之和是(1+9+7)X222;同理，作为卡片“6”，1,6,7可组成的六个数之和是(1+6+7)X222。这12个数的平均值是：(1+9+7)+(1+6+7)*222+12=573.5。10.159,951【解析】设这三个数字分别为a、b、co由于每个数字都分别有两次作百位、十位、个位，所以六个不同的三位数之和为222X(a+b+c)=3330,推知a+b+c=15o所以，当a、b、c取1、5、9时，它们组成的三位数最小为159,最大为951。11. 652【解析】由a,b,c组成的六个数的和是222(abc).,因为223422210)以abc10.若abc11,则

13、所求数为222112234208)"(B2081011)不合题意.abc12,则所求数为222122234430,(0430712,不合题意.若abc13,则所求数为222132234652)65213)符合题意.若abc14,则所求数为222142234874,但,8741914,不合题意.若abc15,则所求数2221522341096,但所求数为三位数，不合题意.所以，只有abc13时符合题意，所求的三位数为652.12. 405,315,225,135【解析】因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0,那么无论插入什么数

14、，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是匹则b=5,变成的三位数为ab5,由题意有100a+10b+5=(10a+5)X9,化简得a+b=4。变成的三位数只能是405,315,225,135。13. 11【解析】设第一个2位数为10a+b;第二个为10b+a;第三个为100a+b;由题意：(100a+b)-(10b+a)=(10b+a)-(10a+b);化简可以推得b=6a)0Wa,bW9)得a=1)b=6;即每小时走61-16=45;(601-106)+45=11;再行11小时,可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。14. 5917【解析】

15、设组成这个四位数的四个数码为a,b,c,d（9abcd1）,可得则ad则有abcddcba383443388172）999(ad)90(bc)81727992180)8)bc2)a9)d1,M1cb94338)且M的四位数字分别为1、9,由于8917的个位数字为7,所以b,能为7,故b715.1234【解析】原式:所以a=1,中有一个为7,但bc2,所以c不c5M1579433859171111a+111b+11c+d=1370,则111b+11c+d=13701111=259,推知b=2;进而推知c=3,d=4所以abcd=1234。16. 3988【解析】设这样的四位数为赤，则abcdab

16、cd2008)即1001a101b11c2d2008)则a1或2.若a2,则101b11c2d6,彳导bc0,d3abcd2003；若a1,则101b11c2d1007)由于11c2d11929117)所以101b1007117890)所以b8,故b为9,11c2d100790998)则c为偶数)且11c982980)故c7,由c为偶数知c8,d5,abcd1985；所以，这样的四位数有2019和1985两个，其和为：200319853988.17. 14【解析】设原来的两位数是环则得到的两个三位数分别为赤和痴）四位数为麻3）由题知ab33ab3ab33600,即10aB3300ab30031

17、0ab3600,21ab294,故而14.18. 1234,1【解析】设这个数为X,则10x+5-x=A1111,化简得9x=A1106,等号右边是9的倍数，试验可得A=15x=1234o19.8571428【解析】设abcdefgx,贝2abcdefg2107x,abcdefg410x4,根据题意，有2107x310x4,得7x6107459999996)所以x8571428.20.999999【解析】由于是把六位数百的末位f调到首位构成了新六位数fabcde,所以不妨把痂看成一个整体，设畸A,则根据位值原理可知“迎春数”是10Af）并满足关系式：410Af100000fA.对等式化简得：3

18、9A99996f.所以：A2564f.因为A是五位数，f是一位数，所以f可以为4,5,6,7,8,9.而“迎春数”abcdef10Af102564ff25641f）那么，所有“迎春数”的总和是：256414567892564139999999.21.111111,102564【解析】令abcdex）贝U：fabcdef105x,abcdef10xf,5-所以f105Xf10xf,可得x10fl.此时可将f1,2,3,4,5,6,7,8,9一代人进行检验，可得当f1时,x111111；当f4时）x102564.只有这两个数满足条件.由于将f可能的值一一代入进行检验有些麻烦，可以将其进行如下变形后

19、再进行：f5525442425555510f10ff10f1010f“410fx1010f110f110f110f1x104m上，贝Ux1010f1，10510f210510f210f2f105f10ff10f110f110f1是整数.设其为a,则10a110610f110610f10f1口上是整）10f110f110f110f1数，所以10f1是999999的约数.当f1,2,3,4,5,6,7,8,9时，如1分别为9,19,29,39,49,59,69,79,89,由999999337111337容易知道其中只有9和39是999999的约数，此时f分别为1和4.这样的六位数有111111和

20、102564.22. 48【解析】XX*999得到X999XX10001,所以如果a、b、c、d组成的四位数X末位数字不是0,那么X等于将X的千位数字加1,个位数字减1,反过来X等于X的千位数字减1,个位数字加1,所以X为a1bcd1,与X比较，b和c位置没有换，交换的是a和d,X表下为dbca,可以得到等式a1d,即ad1.所以a和d的取值组合，只有2和1,3和2,9和8,共8种情况.对于其中任意一种组合，由于痂是由四个数字a、"c、d组成的最小的四位数，分别考虑b、c中有0的情况（可能两个都为0;若只有一个0,则b0,dca）；以及b、c都不为0的情况（此时dbca）,可知两种情

21、况下各有3种可能，共6种可能：d00a,d0da,d0aa,ddda,ddaa,daaa.比如以a4,d3为例,砺可能的取值有3004,3034,3044,3334,3344,34444这6个数.根据乘法原理，满足条件的四位数一共有8648种.如果a、b、c、d组成的最小的四位数X末位数字是0,显然X的百位、十位都是0,此时a、b、c、d无法组成其它的四位数，不合题意.由于每一个X对应一个X,所以满足条件的四位数X共有48个.23. 7543【解析】从题中可以看出，这4个数都不为0.设这4个不同的数从小到大依次为a,b,c,d,它们组成的24个四位数中，第二小的是abdc,是5的倍数，又C不为

22、0,所以C5.它们组成的24个四位数中，第二大的是麻，是2的倍数但不是4的倍数，所以b是偶数，而ab不是4的倍数.由b是偶数且bc5知b为4或2.若为2,那么a1，但此时近12是4的倍数，矛盾，所以，又而不是4的倍数，所以a为1或3.它们组成的24个四位数中，第五小的为嬴（最小的5个依次为abcdaabdc）acbd）acdb）adbc）第五大（第二十小）的为dacb（最大的5个依次为福）第9页dcabddbca,dbac,dacb),月斤以dacbadbc彳导至的四娄攵的千位为3.由于ad,所以氤痂，那么减法算式中百位要向千位借位，所以d1a3,故da4.又dc5,所以a1,那么a3,d7,

23、它们组成的24个四位数中最大的为百，即7543.24.十进制：1110011000000500131215【解析】对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制：(101)2(1011)2(11011)2(5)10(11)10(27)10(28)10(11100)10；可转化成十进制来计算：如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对(10101)2(也进行除法计算，只是每次借位都是2,可得(11000111)2(10101)2(11)2(11000111)2(111)2(11000000)2"本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下.统一到十进制

24、比较适宜：十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n进制中也有“凑整法”，要第10页凑的就是整n.原式(63121)8(1247)8(26531)8(16034)8(1744"若(1030)140,则n33n140,经试验可得n525.1067,4232,10001101112344438【解析】本题是进制的直接转化：567(1067)原式原式26.6(4232月(1000110111)2*1234(456322)12341000234；14438(31235766)(712011770)144381000020000443

25、8.【解析】利用尾数分析来解决这个问题：由于（4）1。（3）1。（12）、由于式中为100,尾数为0,也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制n为12的约数，也就是12,6,4,3,2中的一个.但是式子中出现了4,所以n要比4大，不可能是4,3,2进制.另外）由于（4L（13）10（52解）因为52100）也就是说不到10就已经进位，才能是100,于是知道n10,那么n不能是12.所以，n只能是6.第11页27. 7【解析I注意(125),0(125),0(15625),0,因为1562516324,所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324,所以n10.再注意尾数分析，a。(加g

26、o,而16324的末位为4,于是25421进到上一位.所以说进位制n为21的约数，又小于10,也就是可能为7或3.因为出现了6,所以n只能是7.28. 8【解析】注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520,但是现在为4,说明进走204%所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2.因为原式中有数字5,所以不可能为4、2进位,而在十进制中有1534253835043214,所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10,于是原式为8进制.29. 26.75【解析】根据二进制与十进制之间的转化方法，(11010.11)2=1X24+1X23+0X22+1X21+0X20+1X2-1

27、+1X第12页2-2=16+8+0+2+0+0.5+0.25=26.75。30. 25363255【解析】根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表:八进制数01234567一进制数000001010011100101110111从后往前取三合一进行求解，可以得知(10101011110011010101101)2=(25363255)8。31.E9.B【解析】在转换为高于9进制的数时，遇到大于9的数用字母代替，如：A代表10、B代表11、C代表12、D代表13。根据取四合一法，二进制11101001.1011转换为十六进制为E9.B。32.5【解析】由于32=9,所以由三进制化为9进制

28、需要取二合一。从后两个两个的取，取至最前边为12,用位值原理将其化为1X31+2X30=5,所以化为9进制数后第一位为5.33.31第13页【解析】因为祛码的克数恰好是1,2,4,8,16,而二进位制数从右往左数各位数字分别表示：1,2,22=4,23=8,24=16,在祛码盘上放1克祛码认为是二进位制数第一位(从右数)是1,放2克祛码认为是二进位制数第二位是1,，放16克祛码认为是二进位制数第五位是1,不放祛码就认为相应位数是零，这样所表示的数中最小的是1,最大的是(11111)2=24+23+22+21+20=(31)10,这就是说1至31的每个整数(克)土匀能称出。所以共可以称出31种不

29、同重量的物体。34. 212【解析】(abc)6=aX62+bx6+c=36a+6b+c;(cba)9=cX92+bX9+a=81c+9b+a;所以36a+6b+c=81c+9b+a;于是35a=3b+80c;因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数.所以3b也必须是5的倍数，又(3,5)=1.所以，b=0或5.当b=0,贝U35a=80c;贝U7a=16c;(7)16)=1)并且a、c#0)所以a=16)c=7o但是在6,9进制，不可以有一个数字为16.当b=5)则35a=3X5+80c;则7a=3+16c;mod7后，3+2c三0。所以c=2或者2+7k(k为整数),因第14页为有6进制，

30、所以不可能有9或者9以上的数,于是c=2;35a=15+80X2）a=5。所以（abc）6=（552）6=5X62+5X6+2=212。这个三位数在十进制中为212。35. 248【解析】首先还原为十进制:48a80c2b,即24a40cb.于是49a7bc81c9ba*彳导至！因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数，所以b也应该是8的倍数）于是b0或8.但是在7进制下，不可能有8这个数字.于是b24a40c,贝（J3a5c.所以a为5的倍数，c为3的倍数.所以，a0或5,但是,位不可以是0,于是a5)c3所以（abc）7（503）75493248.于是，这个三位数在十进制中为248.36.

31、 21【解析】设这个人为a岁，得加亚，乐a310303a.。）解得a0）不合题意）所以这个人的年龄不可能是一位数.ab（io）ab0（3）.设这个人是ab岁，由题意得:因为ab(10)10ab,ab0a32b310309a3b,所以10ab9a3b)第15页即a2b.又因为说是三进制数，a,b都小于3,所以a2,b1.所以，这个人为21岁.设这个人为荻岁，由题意有,abc(i0)abc0(3)因为abc(10)100a10bc,abc0(3)a33b32c327a9b3c,所以100a10bc27a9b3c.即73ab2c.又a、b、c都小于3,所以上述等式不成立.所以这个人的年龄不可能是三位数.综上可知这个人的年龄是21岁.37. 18【解析】设b是所求的最小正整数，7b27b7x4xN,因为质数7能整除7b27b7,所以也能整除x,不妨设x7m,m是大于0的自然数。则：7b27b77m4,化简得：