小球与圆环的

1、小球与圆环的“不解之缘”摘要:小球与圆环的搭配是一种典型的运动模型，对于题目的难度更是难以把握，可易可难，变动性较大。对于难度适中的题目即单纯的小球与圆环的构造模型，多利用动能定理、机械能守恒、以及向心运动等理论知识的题目，大多是求解是否能达到最高点，最高点的运动速度，最低点的运动速度亦或是能达到的最高高度。对于难度较大的题目即在小球与圆环之上为小球加上电荷、在模型上加匀强电场，使小球受到电场力和重力的共同作用；亦或是在小球与圆环上不只加匀强电场还可以加以磁场，而此类题目更在高考中以“高分大题”的姿态出现。关键词：小球圆环最高点最低点动能定理机械能守恒向心运动速度高度正文：不论是在考场上还是在

2、平时的习题训练上，小球与圆环的身影比比皆是，而他值得同学注意的是要学会“审题”发觉题目中的隐藏含义，物理题目中总喜欢玩“恰好”“刚好”等类文字游戏。当小球恰好达到最高点时即为此时只有重力充当向心力，也就是说圆环此时对小球无压力，利用动能定理和向心运动可解的：设小球在最高点初速度为Vt,在最高点时速度为V01212_,动能TE理：mvt-mv0=-2mgR2mv一向心运动：=mgRvo=gR当小球达到最高点时仍受到圆环对其的压力，则可解1cle,动能TE理：-mv2mv；=-2mgR222向心运动：m"=mgFR.1212mvt-mv0-2mgR222Vt二(mg"R即mmg

3、FRv°=V4gR+>"5gR综上述情况总结得小球能通过最高点时的初速度Vo>V5gR当小球不能通过最高点时v0Vv;5gR,此时小球运动还没到最高点时就脱离了圆环轨道而做斜抛运动。2.以上模型与“轻纯类”模型完全相同（如右图），值得注意的是，绳对小球只能产生沿纯收缩方向的拉力，即只能沿某一个方向给物体力的作用，同圆环轨道一样可分为以上三种情况且结论相同即：小球恰好达到最高点时v0=v1gR当小球通过最高点且纯存在拉力时v0>y5gR小球不能通过最高点时v0Vl/5原2、小球的最局局度（h）【例如】如图所示，半径为R的竖直光滑圆环轨道内侧底部静止着一个光滑

4、小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度V。，若V。大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同，下列说法正确的是（）A.如果v0=而反，则小球能够上升的最大高度等于b.如果v0=j3gR，则小球能够上升的最大高度小于C. 如果V0=<4gR,则小球能够上升的最大高度等于D. 如果V0=v;5gR,则小球能够上升的最大高度等于2R对以上题目进行分析若小球能上升至最高点由以上对“小球的最高点问题”分析可得知V0>；5gR当V0<V5gR时，小球无法上升至圆环最高点，此时设小球在最低点速度为V0时能够上升的最大高度h,根据机械能守恒定理可得1 22 mw二mg

5、h.h二mvo2g当V0=.gRRh=a;当V0=v3gR时h=3R/2由以上结论貌似题目中的A项正确B项是错误的；但是必须注意的因小球沿圆环轨道上升高度大于R时，由于轨道对小球产生压力，是小球具有了水平分速度即此时为Imv；mv；mgh2222h=v°_1VL.当”."J颛时，h=3R_2gv°22g;综述B项正确;该题目选择ABD总结可得小球沿圆环运动，当小球上升高度小于，一12、一据动能th理mv0=-mgh计算。2R时，此时小球末速度为0,可根小球沿圆环运动，当小球上升高度大于.一191根据动能th理-mvt-mv0=-mgh计算。R时，此时小球末速度不为

6、0,可小球能上升至圆环最高处时，其初速度一定大于或等于j5gR事实上，不论小球在圆环上的何种运动，求解何值都是围绕动能定理、机械能守恒、牛顿第二定律和圆周运动的理论知识进行展开。双圆环小球1.小球在最高点处问题（此类问题大多以小球初速度为0为主）当内侧圆环对小球提供支持力N且N=0时，此时由向心运动可知2mvtT=mgVt=gR当内侧圆环对小球提供支持力N且0vNvmg时，此时由向心运动可知=mg-N(mg-N)Rm当内侧圆环对小球提供支持力N且N=mg时，此时由向心运动可知=mg-NVt=0该状态意味着小球恰好到达最高点时停止当外侧圆环提供压力时即由向心运动可知2mvt=mg+NVt二(mg

7、N)Rm2、上述模型可类比于“轻杆类”模型(如右图)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：当v二0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N=mg.2N,其大小等于小球的重力，即2gR,七皿N=mg-mV当Ovvv，9时，因mg-N=mR，则r轻杆对小球支持力N竖直向上其大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg>N>0.当vrgR时，N=0；2mgN=mV当v、'gR时，则R2=mm-mg杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零如图所示，杆长为L,一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略

8、不计，整个系统g=10m2绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动./s求：(1)小球在最高点A的速度VA为多少时，才能使杆和小球m的作用力为零(2)小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度分别是多少？若m=0.5kg,L=0.5m,VA=0.4m/s,则在最高点A和最低点B,杆对小球m的作用力多大？【解析】此题属于轻杆类”.若杆和小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运2mg=mvA动的向心力仅由重力mg提供，根据牛顿第二定律，有：L解得Va=gL(2)若小球m在最高点A时，受拉力F,受力如图11所示，由牛顿第二定律，有：2F-mg=mv1-Vi解得gLF->VgLm若小

9、球m在最高点A时，受推力F,受力如图12所示，由牛顿第二定律，有：2V2mg-F=mfV2=JgL-工4gL解得：Vm由此可见Va="gL是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度.gL=2.2杆长L=0.5m时，临界速度Vo92VA"4%<V0,杆对小球有推力Fa,有以一FA=啜则Fa=3.由a至B只有重力做功，机械能守恒.设B点所处水平面为参考平面，则12122mvA2mgL-&mvB解得.Vb1VA4gL=4.5ms在最低点B,小球m受拉力Fb,由Fb-mg=mvB2解得Fb=mg+mvB=25.3N.总结：小球与圆环类题目在平时的联系中我们将会常见，同时此类题目的难度并不小，甚至会出现过难现象，但笔者再次提醒各位同学，千万不要见到此类题目就退避三舍，要试着尽力学会分析。值得注意的是解决此类题目的关键仍是能够灵活运用机械能守恒、动能定理和向心运动的知识，并能够