山西2015届高三第二次诊断考试数学文试题版含解析

1、2014-2015学年山西省高三(上)第二次诊断数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合m=xZ|-x2+6x>0,N=x|x2-5<0,则MCN等于()A,1,2,3B.1,2C.2,3D.3,4考点：交集及其运算.专题：集合.分析：求出M中不等式的整数解确定出M,求出N中不等式的解集确定出N,找出M与N的交集即可.解答：解：由M中不等式变形得：x(x-6)V0,解得：0vx<6,即M=1,2,3,4,5;由N中不等式解得：-Vs<x<Vs,即N=(-泥，泥)，则M仆1=1,2.故选：B.点评：此题考查了交

2、集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2 .cos)的值为()3A.-1B.立C.-D.-立2222考点：运用诱导公式化简求值.专题：三角函数的求值.分析：原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.解答：解：cos兀)=cos(670+-)=cos-=cos(t+)=-cos-=,333332故选：C.点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键.3 .已知等差数列an中，a4=5,a9=17,则a14=()A.11B.22C.29D.12考点：等差数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列.分析：由等由差数列的性质可得2a9=a4+a4

3、,代入数据计算可得.解答：解：.一等差数列an中，a4=5,比=17,.,由等由差数列的性质可得2a9=a14+a4,2M7=a14+5,解得a14=29故选：C点评：本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题.4 .已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，f(x)=log2(2x+1),则f(-J)等于()7A.10g23B.10g25C.1D.-1考点：函数奇偶性的性质.专题：函数的性质及应用.分析：由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(-2)=-f(工)，由此可解得f(-4)的值.222解答：解：.由f(x)是定义在R上的奇函数可得f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)

4、=-iogc(2X-n)=T.2222故选：D.点评：本题主要考察函数奇偶性的性质，属于基础题.5.已知a为第三象限角，且sina+cosa=2m,sin2a=m2,则m的值为()A.立B,-立C.-D.-返3333考点：两角和与差的正弦函数.专题：三角函数的求值.分析：把sina+cosa=2m两边平方可得m的方程，解方程可得m,结合角的范围可得答案.2解答：解：把sina+coso=2m两边平方可得1+sin2a=4m,又sin2a=m2,3m2=l,解得m=+,3又a为第三象限角，m=-亚3故选：B点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题.6.已知Ovtvm(m>

5、;0)”是函数f(x)=-x2-tx+3t在区间(0,2)上只有一个零点”的充分不必要条件，则m的取值范围是()A.(0,2)B,(0,2C.(0,4)D,(0,4考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑.分析：先根据函数f(x)解析式求出该函数在(0,2)上存在零点时t的取值范围：0Vt<4,所以由0<t<m(m>0)是f(x)在(0,2)上存在一个零点的充分不必要条件，得到：0vmv4.解答：解：对于函数f(x)=-x2-tx+3t,在区间(0,2)上只有一个零点时，只能占t2+12t>0,即tv12,或t>0;此时，f(0)f(2)=3

6、t(t-4)<0,解得0vt<4;-0<t<m(m>0)是函数f(x)在(0,2)上只有一个零点的充分不必要条件；.0vm<4.故选C.点评：考查函数零点的概念，二次函数图象和x轴交点的情况和判别式邓关系，充分条件，必要条件，充分不必要条件的概念.7.已知非零向量,E满足|%=1,且E与E二的夹角为30。，则前的取值范围是(C. 1,+8)D. 4,+8)7考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向量及应用.分析：在空间任取一点C,分别作近二%,以二则前其并且使/A=30。.从而；，E,便构成一个三角形，从三角形中，便能求出I：|的取值范围.解答：解：根据题意

7、，作不与，CA=b>5-£前且2A=30。；过C作CD必B,垂足为D,则CD的长度便是|4|的最小值；在RtZCDA中，CA=1,/A=30°,.CD=1;2的取值范围是-,+00).故选D.点评：把,1-W这三个向量放在一个三角形中，是求解本题的关键.8.设a=-,b=log9-,c=logs/s,则a,b,c之间的大小关系是()45A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a考点：对数的运算性质.专题：函数的性质及应用.分析：利用对数函数的单调性可得=1口1唯右,1口与石>1。眄|即可得出.解答：解

8、：a=,b=log9Ac=logs,J,451二10旦9«10后/5，1口知正1口虚.c>a>b.故选：C.点评：本题考查了对数函数的单调性，属于基础题.9.设等比数列an的前n项和为Sn,若a2oi3=2S20i4+6,3a20i4=2S20i5+6,则数列an的公比q等于()A."B.-或1C.或1D.2222考点：等比数列的前n项和.专题：等差数列与等比数列.分析：已知两式相减结合等比数列的通项公式和求和公式可得q的方程，解方程可得.解答：解：由题意可知32013=282014+6,，3a2014=2S2015+6,彳导3a2014a2013=2S2015

9、2S2014=2a2015,223a2013q-电013=2a2013q，2q-3q+1=0,解得q=1或q=-2故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及通项公式和一元二次方程，属基础题.10 .给出下列命题，其中错误的是（）A, 在AABC中，若A>B,则sinA>sinBB, 在锐角必BC中，sinA>cosBC.把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=cos2x的图象D.函数y=sinwx+V3coswx（3=0）最小正周期为兀的充要条件是3=2考点：命题的真假判断与应用.专题：阅读型；三角函数的图像与性质.分析：由正弦定理和三角形中大角对

10、大边，即可判断A;由锐角三角形中，两锐角之和大于90。，运用正弦函数的单调性，即可判断B;运用图象的左右平移，只对自变量x而言，再由诱导公式，即可判断C;由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D.解答：解：对于A.在必BC中，若A>B,则a>b,即由正弦定理有sinA>sinB,故A正确；对于B.在锐角MBC中，A+B>,则A>-B,由y=sinx在（0,三）上递增，222贝UsinA>sin（-B）=cosB,故B正确；2y=sin2(x对于C.把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移三个单位，可以得到函数4一一五、.=sin（2x+i）=cos2

11、x的图象，故C正确；对于D.函数y=sinwx+VScoswx（司）=2sin（建行薮），最小正周期为兀时，3也可能为-2,故D错.故选D.点评：本题考查三角函数的图象和性质，考查三角形的边角关系和正弦定理的运用，正弦函数的单调性，以及三角函数的图象平移规律，周期公式，属于中档题.11 .已知a,bCR,函数f（x）=tanx在x=-处与直线y=ax+b+相切，设g（x）=-bxlnx+a在42定义域内（）A.极大值工B.有极小值-C.有极大值2-工D.有极小值2-工eeee考点：正切函数的图象.专题：三角函数的图像与性质.分析：先求出f'(x)=1,再由条件根据导数的几何意义可得a=

12、f'(-三)=2.再把切点(-2dCOSK4工，2)代入切线方程求得b,可得g(x)解析式.再根据g'(x)的符号，求出g(x)的单调区4间，从而求得g(x)的极值.解答：解：由函数f(x)=tanx,可得f'(x)=-.2cosx再根据函数f(x)=tanx在x=-工处与直线y=ax+b+?E相切，可得a=f'(-_!£)=2.424再把切点(,2)代入直线y=ax+b+_H.,可得b=-1,.g(x)=xlnx+1,g'(x)=lnx+1.42令g'(x)=lnx+1=0,求得x=,在(0,工)上，g'(x)v0,在(，+&

13、#176;°)上，g'(x)>0,eee故g(x)在其定义域(0,+8)上存在最小值为g(-)=2-,ee故选：D.点评：本题主要考查函数在某处的导数的几何意义，利用导数求函数的极值，属于基础题.12 .函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x),当x0,1时，f(x)=2x,若方程ax-a-f(x)=0(a>0)恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.(1,1)B.0,2C.(1,2)D.1,+8)2考点：根的存在性及根的个数判断.专题：函数的性质及应用.分析：由题意可得可得函数f(x)是周期为2的周期函数，函数y=f(x)的图象

14、和直线y=ax-a=a(x-1)有3个交点，数形结合可得a(3-1)<2,且a(5-1)>2,由此求得a的范围.解答：解：由f(x+2)=f(x),可得函数f(x)是周期为2的周期函数.由方程ax-a-f(x)=0(a>0)恰有三个不相等的实数根，可得函数y=f(x)的图象(红色部分)和直线y=ax-a=a(x-1)(蓝色部分)有3个交点，如图所示：故有a(3-1)<2,且a(5-1)>2,求得<a<1,2故选：A.点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共

15、20分13 .函数y=ln(x-1)+J4-.2的定义域为(1,2.考点：函数的定义域及其求法.专题：函数的性质及应用.分析：根据对数的性质，二次根式的性质得不等式组，解出即可.x-1>0解答：解：9,4->0.1vx2故答案为：(1,2.点评：本题考查了对数的性质，二次根式的性质，考查函数的定义域，是一道基础题.的取值范14.已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根，若7P是真命题，则实数m围是(一2.考点：命题的否定.专题：简易逻辑.分析：求出命题p是真命题时m的取值范围，再得出7P是真命题时m的取值范围即可.解答：解：二.命题p：关于x的方程x2+mx+1=

16、0有两个不等的负实数根，(0.设x1，x2是方程的两个负实数根，则解得m>2;当7P是真命题时，m的取值范围是(-8,2.故答案为：(-8,2.点评：本题考查了命题与命题的否定之间的应用问题，解题时应利用命题与命题的否定只能一真一假，从而进行解答问题，是基础题.7+1,0<y<l1%，设a>b双若f(a)=f(b),则b?f(a)的取值范围2X-弓，>1是一6，2)考点：函数的零点；函数的值域.专题：函数的性质及应用.分析：首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在a>b用时，要使f(a)=f(b),必然有bC0,1),aq

17、i,+8),然后通过图象看出使f(a)=f(b)的b与f(a)的范围，则b?f(a)的取值范围可求.fr+1,0<x<l解答：解：由函数fH17,作出其图象如图,2Ki>1因为函数f(x)在0,所以，若满足a>b用,1)和1,+°°)上都是单调函数,时f(a)=f(b),必有b0,1),aqi,+8),由图可知，使f(a)=f(b)的bql,1),f(a)2J,2).2由不等式的可乘积性得：b?f(a)q-,2).故答案为-,2).44点评：本题考查函数的零点，考查了函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变

18、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，此题是中档题.16 .在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b,若ZABC的面积为S=yc,则ab的最小值为12.考点：正弦定理.专题：解三角形.分析：由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=-l,C=22L.根据必BC的面积为23S=ab?sinC=Z!c,求得c=-ab.再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab3ab,由此求得ab的最小值.2224解答：解：在必BC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,即2sinCcosB=2sinBco

19、sC+2sinCcosB+sinB,2sinBcosC+sinB=0,.cosC=,C=-=_.23由于ZABC的面积为S=_lab?sinC=Yab=Yc,c=Jiab.2422再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab?cosC,整理可得工a2b2=a2+b2+ab用ab,当且仅当a=b时，取等号，4.ab”故答案为：12.点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17 .(10分)已知函数f(x)=1口：5-3)的定义域为A,函数g(x)=2x(-1

20、女巾)的值域为B.(1)当m=1时，求ACB;(2)若ALB=B,求实数m的取值范围.考点：对数函数图象与性质的综合应用.专题：函数的性质及应用.分析:根据函数f(x)=枷%5的定义域为A,函数g(x)=2x(-1立前)的值域得出A,>0r4x-3>0为B.求解，（4x-3）lIoS0.5函数g(x)=2x(-1a/)的值域为B.m=1根据单调性可得；，或或由，即巳<y<2,再利用集合的关系求解得出答案.解答：(1).函数f(x)=410gg,5(©-3)的定义域为A,4箕-3>0§（4冥-3）、.A为：x|二vx目1吗54,函数g(x)=2x

21、(-1立前)的值域为B.m=1，可Km,即系y<2,可得ArB=x|：vx4(2)-.ALB=B,.A?B,根据(1)可得：2m*,即m用,实数m的取值范围为；0,+8)点评：本题考查了函数的概念，性质，运用求解集合的问题，属于容易题.18. (12分)在ZABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足(a-b)(sinA-sinB)=csinC一asinB.(1)求角C的大小；若c=7r,a>b,且"BC的面积为求上的值.考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用.专题：解三角形.分析：(1)9BC中，由条件利用正弦定理求得a2+b2-c2=ab.再利用余弦定理求得

22、cosC的值,可得C的值.(2)由(1)可得即a2+b2-ab=7又以BC的面积为aab.sinC=I网，可得ab=6由颜得上的值.ra2+b2-c2icosC=,23b2C=a2+b2-ab=7又ABC的面积为解答：解：(1)ZABC中，由(a-b)(sinAsinB)-csinC-asinB,利用正弦定理可得(a-b)(a-b)=c2-ab,即a2+b2-c2=ab.再利用余弦定理可得,(2)由(1)可得即.ab=6由w得上=2a3点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.19. (12分)已知向量=(sinx,cosx),=(cosx,-cosx).TTTRTT(1)若b&

23、#177;(0b),且cosx为，求sin2x+sin(+2x)的值；2(2)若f(x)=a?b,求f(x)在-匹，0上的最大值和最小值.4考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用.分析：(1)由b，(君b),得至ij(g-E)=0，即有sinxcosx=3cos2x,由cosx加，即tanx=3.再由诱导公式和二倍角公式，将所求式子化为含正切的式子，代入即可得到；(2)化简f(x),运用二倍角公式，注意逆用，及两角差的正弦公式，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最值.解答：解：(1),一向量=(si

24、nx,cosx),b=(cosx,cosx),.a"b=sinxcosx-cos2x,b?=2cos2x,（己-b），.!>（W-）=0，即有a,b=B'，9492sinKcosx+cosxsin2.2cosx+sinx2.sinxcosx=3cosx,cosx0,.slnx=3cosx,即tanx=3.sin2x+sin+2x）=sin2x+cos2x=22tanz+l-tan2x2X3+1-321二一二一一二_l+tan2x1+325'(2)f(x)=a?b=slnxcosx-cos2x-sln2x-coss22=(sln2x+cos2x)-=sln(2x-

25、三)-,22242由于x-2£,0,贝U2x-12£,三.4444则有sln(2x2£)q1,-返,故f(x)q-工-亚,-1,4222则f(x)在-三，0上的最大值为-1,最小值为-1-电.422点评：本题考查平面向量向量的数量积的坐标公式及向量垂直的条件，考查三角函数的化简与求值,注意运用二倍角公式和两角的和差公式，同时考查正弦函数的性质，属于中档题.20.(12分)2014世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销量可以达到15-0.1x万套，供货商把该产品的供货价格分为两部分，其中固定价格为每套30元，

26、浮动价格与销量(单位：万套)成反比，比例系数为k,假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格.(1)若售价为50元时，展销商的总利润为180万元，求售价为100元时的销售总利润；(2)若k=10,求销售这套商品总利润的函数f(x),并求f(x)的最大值.考点：函数模型的选择与应用.专题：函数的性质及应用.分析：(1)由题意可得10X(50-30-)=180,解得k=20,即可求得结论；10(2)由题意得f(x)=x-(30+7777；)X(150.1x)=-0.1x2+18x-460,(0vxv150),利15-U.lx用导数判断函数的单调性即可求得最大值.解答：解；(1)售价为50

27、元时，销量为15-0.1>50=10万套，此时每套供货价格为30T(元)，10则获得的总利润为10X(50-30-卡)=180,解得k=20,售价为100元时，销售总利润为；(15-0.1000(100-30-=)=330(万元).15-0.1X100,开一公zis-,人、井一一生,、,)(KAOrr(2)由题意可知每套商品的定价x满足不等式组.,即0vxv150,15-8lz>0X.f(x)=x-(30+)X(150.1x)=-0.1x2+18x-460,(0vxv150),15- 0.lx.f'(x)=-0.2x+18,令f'(x)=0可得x=90,且当0Vx&

28、lt;90时，f'(x)>0,当90vxv150时，f'(x)<0,.当x=90时，f(x)取得最大值为350(万元).点评：本题以函数为载体，考查学生分析问题、解决问题的能力及利用导数研究函数的单调性求函数最值的方法，属于中档题.21. (12分)设数列an的前n项和为Sn=2n2,bn为等比数列，且a1=b1,b2(a2-研)二b(D求数列an和bn的通项公式；(n)设Cn=,求数列Cn的前n项和Tn.考点：数列的求和；等差数列的通项公式；数列递推式.专题：计算题；综合题.'S1n=l分析：(I)由已知利用递推公式、可得an,代入分别可求数列bn的首项气一sn-l口*2b1,公比q,从而可求bn(II)由(I)可得Cn=(2n-1)?4n1,利用乘公比”错位相减求和.解答：解：(1)：当n=1时，a1=S1=2;当n更时，an=Sn-Sn1=2n22(n1)2=4n2,故an的通项公式为ai=4n-2,即an是a1=2,公差d=4的等差数列.设bn的公比为q,贝Ub1qd=b1,d=4,-q.故bn=b1qn1=2x巳7，即bn的通项公式为bn=4nl4n/“、.an4门一2/C,、n1(II)-Cn=-=(2n1)4)研一】Tn=C1+C2+-+CnTn=1+3如+5>42+-+(2nT)4n14