坐标系与参数方程坐标系

1、 系列4部分选修4-4坐标系与参数方程坐标系 【教材基础回顾教材基础回顾】1.1.伸缩变换伸缩变换_其中点其中点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点P(x,y).P(x,y).xx,(0),yy,0) （2.2.极坐标系与点的极坐标极坐标系与点的极坐标在如图极坐标系中在如图极坐标系中, ,点点O O是是_,_,射线射线OxOx是是_,_,为为_(_(通常取逆时针通常取逆时针方向方向),),为为_(_(表示极点表示极点O O与点与点M M的距离的距离),),点点M M的极坐标是的极坐标是_._.极点极点极轴极轴极角极角极径极径M(,)M(,)3.3.直角坐标与极坐标的互化直角坐标与极坐标的互

2、化设设M M是平面内的任意一点是平面内的任意一点, ,它的直角它的直角坐标、极坐标分别为坐标、极坐标分别为(x,y)(x,y)和和(,),(,),则则 2_,x_,y_,tan_. y(x0)xcos cos sin sin x x2 2+y+y2 2 【金榜状元笔记金榜状元笔记】 1.1.明辨两个坐标明辨两个坐标伸缩变换关系式伸缩变换关系式 点点(x,y)(x,y)在原曲线上在原曲线上, ,点点(x,y)(x,y)在变在变换后的曲线上换后的曲线上, ,因此点因此点(x,y)(x,y)的坐标满足原来的曲线方的坐标满足原来的曲线方程程, ,点点(x,y)(x,y)的坐标满足变换后的曲线方程的坐标

3、满足变换后的曲线方程. .xx(0)yy(0) ，2.2.极坐标方程与直角坐标方程互化极坐标方程与直角坐标方程互化(1)(1)公式代入公式代入: :直角坐标方程化为极坐标方程公式直角坐标方程化为极坐标方程公式x=cos x=cos 及及y=sin y=sin 直接代入并化简直接代入并化简. .(2)(2)整体代换整体代换: :极坐标方程化为直角坐标方程极坐标方程化为直角坐标方程, ,变形构造变形构造形如形如cos ,sin ,cos ,sin ,2 2的形式的形式, ,进行整体代换进行整体代换. . 【教材母题变式教材母题变式】1.1.在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换在同一平面直角坐标系中经

4、过伸缩变换 后后, ,曲线曲线C C变为曲线变为曲线2x2x2 2+8y+8y2 2=1,=1,求曲线求曲线C C的方程的方程. .x5xy3y ，【解析解析】把把 代入曲线代入曲线2x2x2 2+8y+8y2 2=1,=1,可得可得2(5x)2(5x)2 2+8(3y)+8(3y)2 2=1,=1,化为化为50 x50 x2 2+72y+72y2 2=1,=1,即为曲线即为曲线C C的的方程方程. .x5xy3y 2.2.已知点已知点M M的直角坐标是的直角坐标是(-1, ),(-1, ),求点求点M M的极坐标的极坐标. .【解析解析】因为点因为点M M的直角坐标是的直角坐标是(-1, )

5、,(-1, ),所以所以 所以所以= = 所以点所以点M M的极坐标为的极坐标为 33223132tan301 ， ， ），23；2(2).3，3.3.在极坐标系中在极坐标系中, ,求过点求过点(1,0)(1,0)并且与极轴垂直的直线并且与极轴垂直的直线方程方程. .【解析解析】在直角坐标系中在直角坐标系中, ,过点过点(1,0)(1,0)并且与极轴垂直并且与极轴垂直的直线方程是的直线方程是x=1,x=1,其极坐标方程为其极坐标方程为cos =1.cos =1.4.4.已知直线已知直线l的极坐标方程为的极坐标方程为2sin 2sin 求点求点 到直线到直线l的距离的距离. .()24，7A(2

6、 2)4，【解析解析】直线直线l的极坐标方程为的极坐标方程为2sin 2sin 对应的直角坐标方程为对应的直角坐标方程为:y-x=1,:y-x=1,点点A A的极坐标的极坐标为为 它的直角坐标为它的直角坐标为(2,-2).(2,-2).点点A A到直线到直线l的距离为的距离为: : ()24，7A(2 2)4，22 15 2.22【母题变式溯源母题变式溯源】题号题号知识点知识点源自教材源自教材1 1伸缩变换伸缩变换P8P8T5T52 2求点的极坐标求点的极坐标P12P12T5T53 3求直线的极坐标方程求直线的极坐标方程P15P15T2(2)T2(2)4 4极坐标方程的应用极坐标方程的应用P1

7、5P15T5T5考向一考向一 伸缩变换伸缩变换【典例典例1 1】在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,求下列方程所对应的求下列方程所对应的图形经过伸缩变换图形经过伸缩变换 后的图形后的图形. .(1)5x+2y=0.(2)x(1)5x+2y=0.(2)x2 2+y+y2 2=1.=1.1xx21yy3 ，【解析解析】伸缩变换伸缩变换 (1)(1)若若5x+2y=0,5x+2y=0,则则5(2x)+2(3y)=0,5(2x)+2(3y)=0,所以所以5x+2y=05x+2y=0经过伸缩变换后的方程为经过伸缩变换后的方程为5x+3y=0,5x+3y=0,为一条直线为一条直线. .1xxx2x2

8、1y3yyy3 则，(2)(2)若若x x2 2+y+y2 2=1,=1,则则(2x)(2x)2 2+(3y)+(3y)2 2=1,=1,则则x x2 2+y+y2 2=1=1经过伸缩变换后的方程为经过伸缩变换后的方程为4x4x2 2+9y+9y2 2=1,=1,为椭圆为椭圆. .【一题多变一题多变】经过伸缩变换经过伸缩变换 后后, ,曲线曲线C C变为本例变为本例(2)(2)中变换前的曲线中变换前的曲线, ,求曲线求曲线C C的方程的方程. .x5xy3y ，【解析解析】把把 代入方程代入方程xx2 2+y+y2 2=1,=1,得得25x25x2 2+9y+9y2 2=1,=1,所以曲线所以

9、曲线C C的方程为的方程为25x25x2 2+9y+9y2 2=1.=1.x5xy3y 【技法点拨技法点拨】伸缩变换后方程的求法伸缩变换后方程的求法平面上的曲线平面上的曲线y=f(x)y=f(x)在变换在变换: : 的作用的作用下的变换方程的求法是将下的变换方程的求法是将 代入代入y=f(x),y=f(x),xx(0),yy(0) xx,yy得得 整理之后得到整理之后得到y=h(x),y=h(x),即为所求变换即为所求变换之后的方程之后的方程. .提醒提醒: :应用伸缩变换时应用伸缩变换时, ,要分清变换前的点的坐标要分清变换前的点的坐标(x,y)(x,y)与变换后的坐标与变换后的坐标(x,y

10、).(x,y).yxf()，【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】求曲线求曲线x x2 2+y+y2 2=1=1经过经过: : 变换后得到的新曲线的变换后得到的新曲线的方程方程. .世纪金榜导学号世纪金榜导学号1256037812560378x3x,y4y 【解析解析】曲线曲线x x2 2+y+y2 2=1=1经过经过: : 变换后变换后, ,即将即将 代入圆的方程代入圆的方程. .可得可得 即所求新曲线方程为即所求新曲线方程为: : x3x,y4y xx,3yy422xy1916 ，22xy1.916在同一坐标系中在同一坐标系中, ,求将曲线求将曲线y=y= sin 3xsin 3x变为曲线变

11、为曲线y=sin xy=sin x的伸缩变换公式的伸缩变换公式. .【解析解析】将曲线将曲线y= sin 3xy= sin 3x经过伸缩变换变为经过伸缩变换变为y=sin xy=sin x即即y=sin xy=sin x, ,设伸缩变换公式是设伸缩变换公式是 (0,0),(0,0),1212xx(0,0)yy ，把伸缩变换关系式代入式得把伸缩变换关系式代入式得:y=sin x:y=sin x与的系与的系数对应相等得到数对应相等得到: : 变换公式为变换公式为: : 23 ，x3xy2y. ，考向二考向二 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化【典例典例2 2】在极坐标系下在极坐标系下,

12、,已知圆已知圆O:=cos +sin O:=cos +sin 和直线和直线l: : 世纪金榜导学号世纪金榜导学号12560379125603792sin().42(1)(1)求圆求圆O O和直线和直线l的直角坐标方程的直角坐标方程. .(2)(2)当当(0,)(0,)时时, ,求直线求直线l与圆与圆O O公共点的一个极坐公共点的一个极坐标标. .【解析解析】(1)(1)圆圆O:=cos +sin ,O:=cos +sin ,即即2 2=cos +sin ,=cos +sin ,圆圆O O的直角坐标方程为的直角坐标方程为:x:x2 2+y+y2 2=x+y,=x+y,即即x x2 2+y+y2

13、2-x-y=0,-x-y=0,直线直线l : : 即即sin -cos =1,sin -cos =1,2sin()42，则直线则直线l的直角坐标方程为的直角坐标方程为:y-x=1,:y-x=1,即即x-y+1=0.x-y+1=0.(2)(2)由由 故直线故直线l l与圆与圆O O公共点的公共点的一个极坐标为一个极坐标为 22x0 xyxy0y1xy 10 ，得，(1,).2【误区警示误区警示】1.1.极坐标方程与直角坐标方程的互化易极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式错用互化公式.2.2.在极坐标系下在极坐标系下, ,点的极坐标不唯一性点的极坐标不唯一性易忽视易忽视. .如极坐标如极坐

14、标(,)(,+2k)(kZ),(,)(,+2k)(kZ),(-,+2k)(kZ)(-,+2k)(kZ)表示同一点的坐标表示同一点的坐标. .【技法点拨技法点拨】1.1.极坐标方程与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)(1)直角坐标方程化为极坐标方程直角坐标方程化为极坐标方程: :将公式将公式x=cos x=cos 及及y=sin y=sin 直接代入直角坐标方程并化简即可直接代入直角坐标方程并化简即可. .(2)(2)极坐标方程化为直角坐标方程极坐标方程化为直角坐标方程: :通过变形通过变形, ,构造出形构造出形如如cos ,sin ,cos ,sin ,2 2的形式的形式,

15、 ,再应用公式进行代再应用公式进行代换换. .其中方程的两边同乘以其中方程的两边同乘以( (或同除以或同除以)及方程两边平及方程两边平方是常用的变形技巧方是常用的变形技巧. .2.2.极角的确定极角的确定由由tan tan 确定角确定角时时, ,应根据点应根据点P P所在象限取最小正角所在象限取最小正角. .(1)(1)当当x0 x0时时,角才能由角才能由tan =tan = 按上述方法确定按上述方法确定. .yx(2)(2)当当x=0 x=0时时,tan ,tan 没有意义没有意义, ,这时可分三种情况处理这时可分三种情况处理: :当当x=0,y=0 x=0,y=0时时,可取任何值可取任何值

16、; ;当当x=0,y0 x=0,y0时时, ,可取可取= 当当x=0,y0 x=0,y0),M(,)(0),M的极的极坐标为坐标为(0 0,)(,)(0 00),0),由题设知由题设知|OP|=|OP|=,|OM|=,|OM|=0 0, ,由由|OM|OM|OP|= 16|OP|= 16得得C C2 2的极坐标方程的极坐标方程=4cos (0),4cos (0),因此因此C C2 2的直角坐标方程为的直角坐标方程为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4(x0).=4(x0).(2)(2)设点设点B B的极坐标为的极坐标为(B B,)(,)(B B0),0),由题设知由题设知 =2,=2,

17、B B=4cos ,=4cos ,于是于是OABOAB的面积的面积S= S= B Bsin AOB=4cos sin AOB=4cos 当当= = 时时,S,S取得最大值取得最大值2+ 2+ 所以所以OABOAB面积的最大值为面积的最大值为2+ 2+ 1|OA|2|sin ()|332|sin (2)| 23.32123.3.【技法点拨技法点拨】判断位置关系和求最值问题的方法判断位置关系和求最值问题的方法(1)(1)已知极坐标方程讨论位置关系时已知极坐标方程讨论位置关系时, ,可以先化为直角可以先化为直角坐标方程坐标方程, ,化陌生为熟悉再进行解答化陌生为熟悉再进行解答. .(2)(2)已知极

18、坐标方程解答最值问题时已知极坐标方程解答最值问题时, ,通常可转化为三通常可转化为三角函数模型求最值问题角函数模型求最值问题, ,比直角坐标系中求最值的运算比直角坐标系中求最值的运算量小量小. .提醒提醒: :在曲线的方程进行互化时在曲线的方程进行互化时, ,一定要注意变量的范一定要注意变量的范围围, ,注意转化的等价性注意转化的等价性. . 【同源异考同源异考金榜原创金榜原创】命题点命题点1 1位置关系问题位置关系问题1.1.在极坐标系中在极坐标系中, ,判断直线判断直线4cos (-4cos (- )+1=0)+1=0与圆与圆=2sin =2sin 的公共点的个数的公共点的个数. .6【解

19、析解析】直线方程可化为直线方程可化为2sin + cos 2sin + cos +1=0,+1=0,即即 x+2y+1=0,x+2y+1=0,圆为圆为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,因为圆心到因为圆心到直线的距离直线的距离d= 1,d= 1,所以有两个交点所以有两个交点. .2 32 334命题点命题点2 2弦长问题弦长问题2.2.在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中, ,圆圆C C的方程为的方程为(x-(x- ) )2 2+(y+1)+(y+1)2 2 =9,=9,以以O O为极点为极点,x,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. .3(1

20、)(1)求圆求圆C C的极坐标方程的极坐标方程. .(2)(2)直线直线OP:=OP:= (R)(R)与圆与圆C C交于点交于点M,N,M,N,求线段求线段MNMN的长的长. .6【解题指南解题指南】(1)(1)利用直角坐标方程化极坐标方程的方利用直角坐标方程化极坐标方程的方法法, ,求圆求圆C C的极坐标方程的极坐标方程. .(2)(2)利用利用|MN|=|MN|=|1 1-2 2|,|,求线段求线段MNMN的长的长. .【解析解析】(1)(x- )(1)(x- )2 2+(y+1)+(y+1)2 2=9=9可化为可化为x x2 2+y+y2 2-2 x+2y-5=0,-2 x+2y-5=0

21、,故其极坐标方程为故其极坐标方程为2 2-2 cos +2sin -5=0.-2 cos +2sin -5=0.333(2)(2)将将= = 代入代入2 2-2 cos +2sin -5=0,-2 cos +2sin -5=0,得得2 2-2-5=0,-2-5=0,所以所以1 1+2 2=2,=2,1 12 2=-5,=-5,所以所以|MN|=|MN|=|1 1-2 2|= |= 634202 6.命题点命题点3 3最值问题最值问题3.3.在极坐标系中在极坐标系中, ,点点A A在圆在圆C:C:2 2-2cos -4sin -2cos -4sin +4=0+4=0上上, ,点点P P的坐标为的

22、坐标为(1,0),(1,0),求求|AP|AP|的最小值的最小值【解析解析】圆圆C:xC:x2 2+y+y2 2-2x-4y+4=0-2x-4y+4=0(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1,=1,所以所以|AP|AP|minmin=|PC|-r=2-1=1.=|PC|-r=2-1=1.在极坐标系中在极坐标系中, ,已知点已知点 点点P P是曲线是曲线sin sin 2 2 =4cos =4cos 上任意一点上任意一点, ,设点设点P P到直线到直线cos +1=0cos +1=0的的距离为距离为d,d,求求|PA|+d|PA|+d的最小值的最小值. .A(1)2， ，【

23、解析解析】点点 化为直角坐标为化为直角坐标为(0,1).(0,1).曲线曲线sin sin 2 2=4cos ,=4cos ,即即2 2sin sin 2 2=4cos ,=4cos ,可可得直角坐标方程得直角坐标方程:y:y2 2=4x.=4x.焦点焦点F(1,0).F(1,0).直线直线cos +1=0cos +1=0化为直角坐标方程化为直角坐标方程:x+1=0.:x+1=0.由抛物线的定义可得由抛物线的定义可得:d=|PF|.:d=|PF|.A(1)2， ，所以所以|PA|+d=|PA|+|PF|PA|+d=|PA|+|PF|AF|= |AF|= 则则|PA|+d|PA|+d的最小值为的最