导数的几何意义

1、导数的几何意义导数的几何意义1 1、平均变化率、平均变化率 一般地，函数在区间上一般地，函数在区间上 的平均变化率为的平均变化率为 )(xf,21xx1212)()(xxxfxfxy割线割线的斜率的斜率1212)()(xxxfxfxykOABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y复习引入复习引入2.2.导数的概念导数的概念00000()()()limlimxxf xxf xffxxx 3、求函数、求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的步骤：处的导数的步骤：00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求

2、平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式. 0000,.,?fxfxxxfxxxfx我们知道 导数表示函数在处的瞬时变化率 反映了函数在附近的变化情况 那么 导数的几何意义是什么呢提出问题提出问题P1P2P3P4PTTTTPP xfy xfy xfy xfy OyxOyxOyxOyx21 .3图 1 2 3 4 ?,4, 3,

3、 2, 1,21 .300什么是趋势化变的割线时趋近于点沿着曲线当点图如察观nnnnPPxfxPxfnxfxP探究探究yxo)(xfy P相切相交再来一次PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PPn趋近于确定的位置，这个确趋近于确定的位置，这个确定位置的直线定位置的直线PT称为点称为点P处的处的切线切线.曲线在点曲线在点P处切线的定义处切线的定义xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)Mxy割线的斜率与切线的斜率有什么呢？割线的斜率与切线的斜率有什么呢？xxfxxfkPQ)()(xy00 即：当即：当x0时，

4、割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线，就是曲线在点在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，xxfxxfxyxx)()(k0000limlim所以：切线 0 xf 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是处的切线的斜率是 . )(0 xf 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 导数的几何意义导数的几何意义xxfxx

5、fxyxfxx)()()(k00000limlim切线 .,.105 . 69 . 4, 31 . 312102附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例tttthttth0l1l2lthO0t1t2t31 . 3图变变化化情情况况. .刻刻画画曲曲线线在在动动点点附附近近的的, ,利利用用曲曲线线在在动动点点的的切切线线 .,210变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttth展示展示 .,.,10000几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当ttxltthtt .,. 0,2111111附近单调递减

6、在即函数降附近曲线下在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt .,. 0,3222222单调递减附近也在即函数附近曲线下降在所以的斜率处的切线在曲线时当ttthttthltthtt .,31 . 32121附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图ttthll0l1l2lthO0t1t2t31 . 3图hto3t4t 附近的变化情况。、在较曲线根据图像，请描述、比43ttth。数在两点附近单调递增点附近曲线上升，即函，所以在两斜率均大于处的切线的、函数在0tt43附近上升的快速附近比在这说明曲线在处切线的倾斜程度，处切线的倾斜程度大于但是434

7、3tttt变式变式 结论：结论：根据导数的几何意义，根据导数的几何意义， 当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；是上升的，即函数在这点附近是单调递增； 当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；是下降的，即函数在这点附近是单调递减； 例例2:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000

8、 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函数在点处的导数等于函数的导 函 数在点处的函数值函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在

9、x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程可以看到,当时当时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那那么么,当当x变化时变化时,便是便是x的一个函数的一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数.yxy例3.已知，求 xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子看一个例子:练习练习:如图已知曲线如图已知曲线

10、, 求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.3、求切线方程的步骤：、求切线方程的步骤：)() 1 (0 xfk求切线斜率)()2(000 xxxfyy切线方程为：总结总结1、导数的几何意义：、导数的几何意义： 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)