第5章多目标模型

1、1第第5章章 多目标规划多目标规划5.1 多目标规划的解集与像集多目标规划的解集与像集 一般认为多目标的概念是由一般认为多目标的概念是由1896年由法国经济学家年由法国经济学家VPareto首先在经济平衡的研究中提出来的。首先在经济平衡的研究中提出来的。1947年年VonNeuman等人从对策论的角度提出了具有彼此相互矛盾的多目标决策问题。等人从对策论的角度提出了具有彼此相互矛盾的多目标决策问题。1951年年TCKoopmans从生产从生产和分配分析中提出多目标优化问题，并正式提出和分配分析中提出多目标优化问题，并正式提出Pareto最优解的概念。最优解的概念。HWKuhn研究和研究和AW T

2、ucker从数学从数学规划的角度提出了向量极值问题的规划的角度提出了向量极值问题的Pareto最优解，研究了这种解的充分必要条件。最优解，研究了这种解的充分必要条件。1963年年LAZadch又从控制又从控制论角度提出了多目标问题。论角度提出了多目标问题。1973年，年，JLCochrance M Zeleny编辑出版了第一本多目标决策的书，对多目标编辑出版了第一本多目标决策的书，对多目标最最优化学科形成起了推动作用。我国从优化学科形成起了推动作用。我国从1976年开始研究和应用多目标规划的理论和方法，经过几十年的努力，年开始研究和应用多目标规划的理论和方法，经过几十年的努力，已经形成了一支队

3、伍，在理论及应用上做了大量工作，引起了各级决策人员和广大管理人员的重视。已经形成了一支队伍，在理论及应用上做了大量工作，引起了各级决策人员和广大管理人员的重视。5.1.1 引例引例 例例1 买糖问题买糖问题 设市场上有甲级和乙级两种糖，单价分别为：设市场上有甲级和乙级两种糖，单价分别为：10元元/斤及斤及5斤。现在要筹办一个茶会，要斤。现在要筹办一个茶会，要求买糖的钱数不超过求买糖的钱数不超过100元，总的糖数不少于元，总的糖数不少于10斤，而甲级糖的斤数不少于斤，而甲级糖的斤数不少于5斤，问应怎样买糖才是最好的方斤，问应怎样买糖才是最好的方案？试建立该问题的数学模型。案？试建立该问题的数学模

4、型。 建模：设建模：设x1为买甲级糖的斤数；为买甲级糖的斤数；x2为买乙级糖的斤数，可以得到以下关系：为买乙级糖的斤数，可以得到以下关系： 目标目标1：购买糖所花的费用最小：购买糖所花的费用最小： 目标目标2：购买糖的数量最大：购买糖的数量最大：21211510,minxxxxf21212,maxxxxxf2约束条件：约束条件： 例例2 投资问题投资问题 假设在一段时间内有一笔数量为假设在一段时间内有一笔数量为a元的资金可用于建厂投资，若记可供选择的项目为，元的资金可用于建厂投资，若记可供选择的项目为，1，2，m，一旦对第个项目投资，则必用掉，一旦对第个项目投资，则必用掉 ai 元。设元。设

5、i 第个项目可得到收益为第个项目可得到收益为ci元。问应如何安排才会得元。问应如何安排才会得到最佳方案？试建立该问题的数学模型。到最佳方案？试建立该问题的数学模型。 建模：设建模：设目标目标1：投资额最小：投资额最小:目标目标2：收益最大：收益最大:约束条件：约束条件：0510100510212121xxxxxx各项目不投资决定对第个项目投资决定对第iixi01miiimxaxxxf121,minmiiimxcxxxf121,maxmixxaxaiimiii, 2 , 101135.1.2 多目标数学规划的标准模型多目标数学规划的标准模型 （1）模型：模型： （5-1）式中式中， （2）各种意

6、义下的解集各种意义下的解集 设设， 即即 , 当有当有, （a） 时时，意味着的每一个分量都严格小于的相应分量，即对于意味着的每一个分量都严格小于的相应分量，即对于 ,均有均有： 。 （b） 时时，意味着意味着F1的每一个分量都小于或等于的每一个分量都小于或等于F2的相应分量的相应分量，但至少有一个的分量但至少有一个的分量F1严格地小严格地小于于的相应的相应F2分量分量，即对于即对于 ，均有均有： ，且至少存在且至少存在， 使使 。 定义定义1 设设 ，若对任意若对任意， 以及任意以及任意 均有均有 成立成立，则称为问题则称为问题（VP）的绝对最优解的绝对最优解。（。（VP）的绝对最优解的全体

7、记为的绝对最优解的全体记为 。绝对最优解的几何解释如图绝对最优解的几何解释如图1所示所示。 绝对最优解是多目标规划的一个特例，只有当若干个目标的最优解重合时，才会出现，而更多情况则是图绝对最优解是多目标规划的一个特例，只有当若干个目标的最优解重合时，才会出现，而更多情况则是图2描述的情况。描述的情况。 定义定义2 设，设， 若不存在若不存在 满足满足 ，则则 称为称为（VP）的有效解的有效解（或（或Pareto解），解），把把（VP）的有效解的全体记为的有效解的全体记为 。 mixgxfxfxfiTp, 2 , 10,min212,21PExxxxnTnnEFF21,TpfffF112111,

8、TpfffF222212,21FF pj, 2 , 121jjff21FF pj, 2 , 121jjffpjj0012100jjffpj, 2 , 1RxRx * *xFxF*xpaR mixgxRxi, 2 , 1,0* *xfxfjjRxabR4 可以看出，若可以看出，若 意味着找不到一个可行解意味着找不到一个可行解x使得使得F(f1(x), (f2(x), (fp(x)T 的每一个目标值都不的每一个目标值都不比比F(f1(x*), (f2(x*), (fp(x*)T的相应值差，并且的相应值差，并且F（x)至少有一个目标值比至少有一个目标值比F(x*)的相应值好。也就是的相应值好。也就是

9、说，当说，当 时时，x*在在“”意义下是找不到另一个可改进的解。意义下是找不到另一个可改进的解。paRxpaRx图图1 绝对最优解的几何解释绝对最优解的几何解释5图图2 有效解的直观示意图有效解的直观示意图定义定义3 设设 ，若不存在若不存在 满足满足 则称则称 为为（VP）的弱有效解的弱有效解（或弱或弱Pareto解解），），把把（VP）的弱有效解的全体记为的弱有效解的全体记为 。图图 3 弱有效解的直观示意图弱有效解的直观示意图Rx *Rx *xFxF*xwpR6 定理定理1 对于问题（对于问题（VP）有）有：5.1.3 像集像集 记记 （5-2） 取定取定, , 可以得到关于可行解可以得

10、到关于可行解x0的的p个性能指标的值个性能指标的值： ，如果把它们排列起来，得到：如果把它们排列起来，得到： 可以看成是可以看成是P维欧式空间维欧式空间EP中的一个点中的一个点。一般地一般地，对任意对任意 ,都可以得到都可以得到EP中的一个点中的一个点F(x)。这这样，我们可以利用上述规划定义一个映像样，我们可以利用上述规划定义一个映像F。即即 , 集合集合:称为约束集合称为约束集合R在映像在映像F之下的像，简称像集。之下的像，简称像集。 由像集由像集F F( (R) )的定义不难看出：对于任何一可行解的定义不难看出：对于任何一可行解 , 必有必有反之，若某反之，若某 ,至少存在一个至少存在一

11、个 （此时称此时称x0为为F 0 的一个原像的一个原像），），有有F（x0）=F 0即像集即像集F(R)中的一个点中的一个点F 0，至少有一个可行解，至少有一个可行解x0，使得它对应的目标函数值为，使得它对应的目标函数值为F 0。 例例3 若（若（n=1,P=2） f1(x)=x2-2x f2(x)= -x R=x0 x2 mixgxRi, 2 , 1, 0 TpxfxfxfxF,21Rx 0 001,xfxfp TpxfxfxfxF002010, 0 xFRRRRwppaabRx xFxF RxxFRFRx 0 RFxF0 RFF 0Rx 07 求像集求像集F(R)( (即求当即求当0 x2

12、) )时在时在E2中中f1与与f2的关系的关系。解：首先给出目标函数与约束集合的图形，见图解：首先给出目标函数与约束集合的图形，见图5。由于。由于x=-f2因而有，因而有，f1=(-f2)2-2(-f2)=(f2)2+2f2=f2(f2+2) 当当x=0时，有时，有f1(0)=0, f2(0)=0 当当x=1时，有时，有f1(1)=-1, f2(1)=-1 当当x=-1时，有时，有f1(2)=0, f2(2)=-2图图4 目标函数与约束集合示意图目标函数与约束集合示意图F图图5 F(P)示意图示意图85.2 处理多目标规划的一些方法处理多目标规划的一些方法5.2.1 约束法约束法 对于对于 可

13、在目标函数可在目标函数 中找出一个主要目标，例如，中找出一个主要目标，例如， 而对其它各目标而对其它各目标 都都可可以事先给定一个所希望的值，不妨记为，以事先给定一个所希望的值，不妨记为， , ,使满足：使满足：于是可以把原来的多目标问题化为如下的单目标规划问题：于是可以把原来的多目标问题化为如下的单目标规划问题： （5-3） 也可以先求出一个也可以先求出一个 , ,使得其他在较次要目标使得其他在较次要目标 的值都不比的值都不比 差的前提差的前提下，来求主要目标下，来求主要目标 的最小值，即求问题的最小值，即求问题 （5-4） mixgxfxfxfVPiTp, 2 , 10,min21）（ x

14、fxfxfp,21 xf1 xfxfp,2002,pff pjfxfjj, 20 pjfxfmixgxfjji, 2, 2 , 10min01Rx 0 xfxfp,2 002,xfxfp xf1 pjxfxfmixgxfjji, 2, 2 , 10min019对于对于n=2, p=2的情形，如图的情形，如图6。 图图6 处理多目标规划的约束法（当处理多目标规划的约束法（当n=2,p=2）示意图）示意图5.2.2 分层序列法分层序列法 对于对于 （VP） 可以把（可以把（VP）中的）中的p 个目标个目标 按重要程度排一个次序按重要程度排一个次序，不妨设问题（不妨设问题（VP）中）中p 个目个目标

15、的次序已排定：标的次序已排定： 最重要最重要， 其次其次，。首先求出第一个目标首先求出第一个目标 的最优解。可记为的最优解。可记为： （P1） （5-5） xf2 xf1 022xfxfxRR mixgxRxxfxfxfVip, 2 , 1, 0,min21 xfxfxfp,21)(1xf)(2xf 11minfxfRx)(1xf10再求第二个目标的最优解，即求问题：再求第二个目标的最优解，即求问题： （P2） （5-6）的解，记为的解，记为 。这实际上是在第一个目标的最优集合上来求第二个目标这实际上是在第一个目标的最优集合上来求第二个目标 的最优解。然后求第三的最优解。然后求第三个目标的最优

16、解，即求问题：个目标的最优解，即求问题： （P3） （5-7）的最优解，记为的最优解，记为， 。如此进行直到求得最后的第如此进行直到求得最后的第p 个问题：个问题： （Pp） （5-8）的最优解的最优解 。 则则 就是多目标（就是多目标（VP）在分层序列意义下的最优解。对于）在分层序列意义下的最优解。对于P=2，n=1的简单情形如图的简单情形如图8所示，图中所示，图中 表示表示 的最优集合。的最优集合。 112minfxfxRxxf2f xf2 2 , 1,min3jfxfxRxxfjj3f 12 , 1,minpjfxfxRxxfjjp， 1Rxx xfRx1min图图7 用分层序列法对用分

17、层序列法对p=2,n=1求最优集合示意图求最优集合示意图x11可以证明可以证明 是问题（是问题（VP）的有效解（证明略）。）的有效解（证明略）。 在使用分层序列法时，若对于某个问题在使用分层序列法时，若对于某个问题（pj）的最优解唯一时，则再求的最优解唯一时，则再求（pj+1）, （pp）的最优解时，的最优解时，已经没有意已经没有意义了。义了。 一般情况，我们可以有如下的宽容意义下的分层序列法：一般情况，我们可以有如下的宽容意义下的分层序列法： 取取 作为一组事先给定的宽容值，即相应目标最优化值的允许误差，与分层序列法相类作为一组事先给定的宽容值，即相应目标最优化值的允许误差，与分层序列法相类

18、似，逐次求（似，逐次求（p1）, （pp）的最优值，其不同的是把原来的问题（）的最优值，其不同的是把原来的问题（pk）修改为：）修改为： （5-9） k=2,3,p 图图8是是n=1, p=2简单情形的宽容分层序列法的求解示意图。简单情形的宽容分层序列法的求解示意图。 图图8 用宽容值求解（用宽容值求解（VP）最优集合示意图）最优集合示意图x1R11f1fx0, 01p 12 , 1,minkjfxfxRxxfjjjj， 125.2.3 功效系数法功效系数法 设有目标：设有目标： ，其中前其中前k个目标：个目标： 要求越小越好，而后要求越小越好，而后P-k个目标：个目标： 要求越大越好。在处理

19、这些目标之间的关系时，往往会由于各目标的量纲不同，而带来一些困难。所谓要求越大越好。在处理这些目标之间的关系时，往往会由于各目标的量纲不同，而带来一些困难。所谓“功效系数法功效系数法”是针对这些目标函数是针对这些目标函数 值的好坏乘以一个功效系数值的好坏乘以一个功效系数d di i（俗称打分），即（俗称打分），即 （5-10） 或或 当达到最满意时，当达到最满意时，di=1( (或或 ) ) 当达到最不满意时，当达到最不满意时，di=0 （1）线性型线性型 设：设： （5-11） （5-12）其中，其中， （5-13） 由于对于由于对于j=1,2,k 时时， 越小越好，故令越小越好，故令 （5

20、-14） 见图见图9。 xfxfxfxfpk,21 xfxfxfk,21 xfxfxfpkk,21 xfi pixfdDiii, 2 , 1,10id10id kjfxfjjRx, 2 , 1minmin pkkjfxfjjRx, 2, 1maxmax mixgxRi, 2 , 1, 0 xfjmaxmin,0, 1jjjjjffffd当当10jdminjfmaxjfjf 图9 j=1,2,.k时的功效系数示意图0id13 由图由图10中的相似三角形可以得到如下相似比：中的相似三角形可以得到如下相似比： 从而得到功效系数：从而得到功效系数： （5-15）对于，对于，同理可以得到同理可以得到：

21、（5-16） （2）指数型）指数型 对于对于j=k+1,k+2,p, 要求越大越好，我们考虑如下的指数形式的函数：要求越大越好，我们考虑如下的指数形式的函数： （5-17） b10101minmaxminjjjjjdffffkjffffdjjjjj, 2 , 1,1minmaxmin10jdjfminjfmaxjfminmax, 0, 1jjjjjffffd当当pkkjffffdjjjjj, 2, 1,minmaxmin xfj jfbbejexd10图10 j=k+1，k+2，p时的功效系数示意图14 在解决实际问题中，对于每个目标函数在解决实际问题中，对于每个目标函数 总可以事先估计两总可

22、以事先估计两个值：个值： 及及 。 当当 时，对于时，对于 来说勉强合格（合格值）来说勉强合格（合格值）。 当当 对于对于 来说不合格（不合格值）来说不合格（不合格值）。 例如，当例如，当 ， （合格值）（合格值） 当当 ， （不合格值）（不合格值） 图图11给出了给出了j=k+1，k+2，p时的指数型功效系数示意图。时的指数型功效系数示意图。因此，有：因此，有： （5-18）于是，由（于是，由（5-18）得到联立方程组：）得到联立方程组： （5-19）故解得，故解得， （5-20）代入（代入（5-17），得），得 （5-21）11eee0jf1jfminjfmaxjf xfj1jf0jf 1

23、jjfxf xfj 0jjfxf xfj37. 01edj 1jjfxf07. 0ejed 0jjfxf0101101jfbbjfbbeeeeeee10010110jjfbbfbb图11 j=k+1，p时的指数型功效系数示意图1010jjjfffb01101jjffb10/110/110jfjfjfxjfjfjfxjfjfxjfbbeeejeeedminjfmaxjf1jf0jf图12 j=1,2，k时的指数型功效系数示意图15 对于对于j=1,2,k，由于，由于 越小越好，故可类似得到越小越好，故可类似得到 （5-22）其几何解释见图其几何解释见图12。 在得到了功效系数在得到了功效系数 （

24、5-23）以后，令以后，令 （5-24）即求问题即求问题 （5-25）的最优解的最优解 ，可以证明：，可以证明：5.2.4 评价函数法评价函数法 （1）理想点法）理想点法 对于对于 xfjkjedjfjfjfxjfej,2,1110/1， pkkjxfdDjjj, 1, 2 , 1, ppjjDFh/11 ppjjjRxRxxfDxFh/11maxmaxxpaRx mixgxRxfxfxfVVPip,2, 1,0,min2116先求出先求出p 个单目标规划问题，记个单目标规划问题，记 （5-26）令评价函数令评价函数 （5-27）再求再求 （5-28）的最优解，记为的最优解，记为 。 有时我们

25、也可取有时我们也可取h（F）为更一般的模函数形式作为评价函数，即为更一般的模函数形式作为评价函数，即 （5-29）式中，式中，q为大于为大于1的整数。可以证明的整数。可以证明 。 （2）平方和加权法）平方和加权法 先求定先求定 为诸单目标规划问题为诸单目标规划问题 （5-30）的下界，亦即的下界，亦即 （5-31）令评价函数令评价函数 （5-32）其中其中， 为事先给定的一组权系数，它满足为事先给定的一组权系数，它满足 pixffiRxi, 2 , 1,min piiipfffffhFh1221, piiiRxRxfxfxF12minminx qpiqiiffFh/11paRx0jf pjxf

26、jRx, 2 , 1,min pjfxfjjRx, 2 , 1,min0 201jjpjjffFhp，2,117 （5-33）再求再求 （5-34）的最优解的最优解 ，可以证明，可以证明 （3 3）虚拟目标法）虚拟目标法 开始如同平方和加权法那样，先确定开始如同平方和加权法那样，先确定 ，使满足使满足再令评价函数再令评价函数 ( (5-35) )然后求问题然后求问题 （5-36）的最优解的最优解 ，可以证明，可以证明 。 （4 4）线性加权法）线性加权法 现对目标函数现对目标函数 按其重要程度给出一组权系数按其重要程度给出一组权系数 （6-37） pjpjj, 2 , 1, 11 201min

27、minjjpjjRxRxfxfFhxpaRx00jf pjfxfjRxj, 2 , 1,min0 2/11200pjjjjfffFh 2/11200minminpjjjjRxRxfffFhxpaRx xfxfxfp,2111pjj02,1p，18再令评价函数再令评价函数 （5-38）然后求问题然后求问题 （5-39）的最优解的最优解 ，可以证明，可以证明 。 对于对于p=2,n=2的情况下，有的情况下，有 （5-40） （5-41） 线性加权的几何意义如图线性加权的几何意义如图13所示。所示。 图图13 p=2，n=2时的线性加权几何意义时的线性加权几何意义 jpjjfFh1 xfFhjpjj

28、RxRx1minminpaRxx 0, 0,min212211,21ffRFffT1211f2f1f2f RFT21，19因而存在因而存在 ，使，使当权系数当权系数 中有等于零者，有中有等于零者，有 ，见图，见图14。 图图14 中有等于中有等于0者时，者时， 是弱有效解的情况是弱有效解的情况 （5）min-max方法方法 对策论中，经常用到的一个思想就是在做决策时，要考虑在最不利的情况下找出一个最有利的策略，即所谓对策论中，经常用到的一个思想就是在做决策时，要考虑在最不利的情况下找出一个最有利的策略，即所谓的的min-max。依次，可令评价函数。依次，可令评价函数 （5-42）然后，化为求然

29、后，化为求 （5-43）Rx 11fxf22fxf2,1，wpRx RF2f1fT0, 11f2f21，x pipiEFfFh,max1 xfFhipiRxRx1maxminmin20的最优解，的最优解， 。值得指出的是。值得指出的是 变量变量x的函数，当的函数，当n=1, p=2时其几何意义如图时其几何意义如图15所示。所示。 图图15 当当n=1,p=2时时min-max方法的几何意义方法的几何意义当然，也可以使用加权的形式，即令当然，也可以使用加权的形式，即令 （5-44）其中，其中， 是一组权系数，满足是一组权系数，满足 （5-45）可以证明，可以证明， 。x xfxFhipi1max

30、 xf1 xf2x xfFx jjpifxFh1maxp，21pjpjj, 2 , 1, 110jwpRx215.2.5 逐步法逐步法 逐步法（逐步法（step methodstep method）简称）简称STEMSTEM法，是一种决策人宣布偏好的多目标决策方法。逐步法每求解一次，分法，是一种决策人宣布偏好的多目标决策方法。逐步法每求解一次，分析人员都要与决策人进行对话，分析人员把计算结果告诉决策人并征求反馈意见。若决策人对结果不满意，则析人员都要与决策人进行对话，分析人员把计算结果告诉决策人并征求反馈意见。若决策人对结果不满意，则分析人员要根据决策人的意见对决策模型中的参数进行必要的修改并

31、重新计算，以改进计算结果，直到决策人分析人员要根据决策人的意见对决策模型中的参数进行必要的修改并重新计算，以改进计算结果，直到决策人对结果满意为止。由于这种方法是逐步进行的，所以称为逐步法。下面通过具体算例加以说明。对结果满意为止。由于这种方法是逐步进行的，所以称为逐步法。下面通过具体算例加以说明。 例例1 1 用逐步法求解如下多目标决策问题：用逐步法求解如下多目标决策问题： s.t. 假设决策人的偏好为原问题的理想点假设决策人的偏好为原问题的理想点 ，因此分析人员要用逐步法求解来逼近理想点。第一步，因此分析人员要用逐步法求解来逼近理想点。第一步，求理想点。即求解两个单目标最优化问题。求理想点

32、。即求解两个单目标最优化问题。 第一步，求理想点。即求解两个单目标最优化问题，得到：第一步，求理想点。即求解两个单目标最优化问题，得到： 2122113min2)(minxxxfxxxf，5040926212121xxxxxx21, ffF11)5, 1 (11fXT，13,) 1,4(22fXT1311,21，ffF22 第二步，解极小化极大问题。第二步，解极小化极大问题。 所谓极小化极大问题，就是决策人希望离决策者偏好最远的目标的偏差最小化。即求下面的最优化问题：所谓极小化极大问题，就是决策人希望离决策者偏好最远的目标的偏差最小化。即求下面的最优化问题： s.t. （5-46）其中，其中，

33、权重：权重： 由下式给定：由下式给定： （5-47）式（式（5-47）中是规范了的目标函数的偏差幅度：）中是规范了的目标函数的偏差幅度： （5-48）列出如下性能指标表：列出如下性能指标表： 表表5-1 性能指标表性能指标表 min xffjjj0njj, 2 , 1，njnjjjj, 2 , 1,1Nijijjjjcfff12max1f2fmaxjf1X2X 函数最优解=(1,5)-11-8-8=(4,1)-6-13-623计算权重：计算权重：带入带入（5-46）式，得：式，得：求下面的单目标规划问题：求下面的单目标规划问题： s.t.122. 05113)2() 1(11)8(112211

34、70. 010137) 1()3(13)6(13222418. 0170. 0122. 0122. 01582. 0170. 0122. 0170. 02598. 4836. 0418. 0)211(418. 02121xxxx566. 7582. 0746. 1)313(582. 02121xxxxmin50409260566. 7582. 0746. 14598. 0836. 0418. 02121212121xxxxxxxxxx24解得：解得： 第三步，把上述结果交给决策人，由他对（第三步，把上述结果交给决策人，由他对（-9.2，-11.6）与理想点（）与理想点（-11，-13）进行比较

35、，判断那个目）进行比较，判断那个目标值需要改进。假设决策人认为标值需要改进。假设决策人认为 需要改进，则可以使得需要改进，则可以使得 降低一个单位：降低一个单位：并令，并令， ，进行第二轮迭代，即求解：，进行第二轮迭代，即求解： s.t.可得：可得： )2 . 3,8 . 2(),(211xxX2 . 9)(11Xf6 .11)(12Xf1f2f2 . 92)(211xxxf6 .103)(212xxxf0121，min2 . 926 .10350409260112212121212121xxxxxxxxxxxx 6 .10,7 . 9)7 . 3,3 . 2(22212xfxfx，图16 求

36、解结果255.3 确定权系数的方法确定权系数的方法5.3.1 专家评判法专家评判法 所谓专家评判法就是邀请一批专家，请他们对权系数的取法发表意见，为了便于他们独立地发表意见，常所谓专家评判法就是邀请一批专家，请他们对权系数的取法发表意见，为了便于他们独立地发表意见，常将事先准备好的调查表送给他们，让他们分别填写。如表将事先准备好的调查表送给他们，让他们分别填写。如表5-2。5-2 专家评价调查表专家评价调查表 上表中上表中k 表示专家的编号，表示专家的编号， 表示第表示第i个专家对第个专家对第j个目标个目标 给出的权系数给出的权系数 。在得到了专家们的意见之后，算出对权系数的平均值（数学期望）

37、：在得到了专家们的意见之后，算出对权系数的平均值（数学期望）： （5-49）对每个专家对每个专家 ，算出与平均值，算出与平均值 的偏差：的偏差： （5-50） 目标 权专家1 xf1 xf2 xf1k1112p11k2kkpij xfjpjki, 2 , 1, 2 , 112ppjkkiijj, 2 , 111kii1jpjjijij, 2 , 126 确定权系数的第二轮是要开会进行讨论。首先然那些有最大偏差的专家发表意见，通过充分的讨论达到确定权系数的第二轮是要开会进行讨论。首先然那些有最大偏差的专家发表意见，通过充分的讨论达到对各自目标重要性的正确认识，以帮助消除在权系数估计中的一些可能的

38、误解，如此重复进行。对各自目标重要性的正确认识，以帮助消除在权系数估计中的一些可能的误解，如此重复进行。 这里，可以把表格的第这里，可以把表格的第j j 列看出是随机变量列看出是随机变量 的具体实现，因此，数理统计的有关概念和方法可以用来的具体实现，因此，数理统计的有关概念和方法可以用来更好地确定出更好地确定出 。5.3.2 法法 为了简明起见，我们先用为了简明起见，我们先用P P =2=2的情形说明此方法，首先求解单目标规划问题：的情形说明此方法，首先求解单目标规划问题： 的最优解，的最优解，记记其几何图形如图其几何图形如图1717所示。所示。 在像空间过点在像空间过点 及及 确定一条确定一

39、条直线，其方程设为：直线，其方程设为： （5-51）其中其中 （5-52）于是有于是有 图图 17 在像集空间的示意图在像集空间的示意图 （5-53） jp,21 xfpiRximin2 , 1ixi 1111xff 1212xff 2121xff 2222xff RF11f12f21f22f1f2f1f2fTff1211,Tff2221,2211ff12111f21f12f22f222211122111ffff27若问题（若问题（VP）不存在绝对最优解，则必有）不存在绝对最优解，则必有 （5-54） （5-55）由方程组（由方程组（5-53）解出：）解出： （5-56） （5-57）最后，对

40、于一般具有最后，对于一般具有 个目标情形，也完全与此类似。先求个目标情形，也完全与此类似。先求P P个单目标规划问题个单目标规划问题 的最优解，的最优解，设为设为 ，记，记过过p个点个点做一个超平面，其方程设为做一个超平面，其方程设为 （5-58）当（当（VP）不存在绝对最优解时，可以确定出方程组（）不存在绝对最优解时，可以确定出方程组（6-556-55）的一组解（是唯一的一组解），以此来确定权）的一组解（是唯一的一组解），以此来确定权系数。系数。 11112111fxfxff 22221212fxfxff 02212112122121ffffff 02212112111212ffffff2p xfpiRximinpixi, 2 , 1, pjpixffiiji, 2 , 1, 2 , 1pjfffjpjj, 2 , 1,21piipiiipjf111, 2 , 1285.3.3 以理性点为准则求权系数的方法以理性点为准则求权系数的方法 本法以理性点作为准则来求出权系数，使其能较好地反映出各个目