广东省广州市2020届高三普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题(解析版)

1、2020年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）、选择题（共12小题）1,若集合 A=x|y= v?F, B=x|x2-xW0,则 AAB=()A. 0, 1)B. 0, 1C. 0, 2)D. 0, 2? 一，一，,2,已知复数 z= 1+bi (bCR), 是纯虚数，则 b=()2+?A. - 2B. - 111C. -D. 1223 .若 a= log33, b= lnL c=0.6 0.2,则 a, b, c 的大小关系为()22A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c> b4 .首项为-21的等差数列从第8项起开始为正

2、数，则公差 d的取值范围是（）A. d>3B. d< 7C. 3<d<-7D. 3vdwg5 .周髀算经中提出了 “方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古 代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r,正方形的边长为 a （0vavr）,若在圆内随机取点, 得到点取自阴影部分的概率是 p,则圆周率 兀的值为（）?A.；(1-?)?2B' (1+?)?2(1-?)?D- (1+?)?6 .在三棱柱 ABC - A1B1C1中，E是棱AB的中点，动点 F是侧面 ACC1A1 （包括边界）

3、上一点，若EF /平面BCC1B1,则动点F的轨迹是（）B.圆弧A.线段C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分1 ,7 .函数f (x) =- 2x+正的图象大致是( |?|8.如图，在梯形 ABCD 中，AB/CD, ABXAD ,AB =2AD = 2DC,E是BC的中点，F是 AE 上点， ？= 2?贝1?妾 ()9.已知命题p： (x2- 1? n的展开式中，仅有第22021 +2D.322020 2A. -322020 +2B. 3,?11 .过双曲线C: - r = 1（a>0, b>0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足 ?., . ff .一 一.为P,与双曲线交

4、于点 A,若？?=3?加?？则双曲线C的渐近线方程为（）A . y= ± 1xB. y= ± x22C. y=±2xD, y=±-x512 .若关于x的不等式e2x- alnx >1a恒成立，则实数 a的取值范围是（）A. 0, 2eB.(一巴 2eC. 0, 2e2D. (-oo, 2e2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分。13.已知角”的顶点与坐标原点重合，始边与角a的终边上，则Sin2 a=.x轴的非负半轴重合，若点 P （2, - 1）在14 .如表是某厂2020年14月份用水量（单位：百吨）的一组数据月份x1234用水量y2

5、.5344.5其线性回归方程是？?=由散点图可知，用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,?尹1.75,预测2020年6月份该厂的用水量为 百吨.15 .过抛物线y2= 4x焦点F的直线交该抛物线于 A, B两点，且|AB|=4,若原点O是4 ABC的垂心，则点 C的坐标为 .16 .正四棱锥P - ABCD的底面边长为2,侧棱长为2，？过点A作一个与侧棱 PC垂直的 平面a,则平面a被此正四棱锥所截的截面面积为 ,平面a将此正四棱锥分成的 两部分体积的比值为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考

6、题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17 . AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a= 1 , B= ? AABC的面积为2. 34(1)求 ABC的周长；(2)求 cos (B - C)的值.18 .如图，在三棱柱 ABC - AiBiCi 中，侧面 BBiCiC 为菱形，AC = ABi, BiCABCi=O.(1)求证：BiCXAB ；(2)若/CBBi = 60° , AC = BC,且点A在侧面BBiCiC上的投影为点 O,求二面角B-AAi-C的余弦值.19 .已知点A,B的坐标分别是(-"?0) ,( V?0),动点 M(x,

7、y)满足直线 AM和BM的斜率之积为-3,记M的轨迹为曲线 E.(1)求曲线E的方程；(2)直线y=kx+m与曲线E相交于P,Q两点，若曲线E上存在点R,使得四边形 OPRQ 为平行四边形(其中 。为坐标原点)，求 m的取值范围.20 .当今世界科技迅猛发展，信息日新月异.为增强全民科技意识，提高公众科学素养， 某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者 对科技类图书的情况进行了调查.该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如表:借阅科技类图书(人)借阅非科技类图书(人)年龄不超过50岁2025年龄大于50岁1045(1)是否有99%的把

8、握认为年龄与借阅科技类图书有关?(2)该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书.用表中的样本频率作为概率的估计值.(i)现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量已求E的分布列和数学期望;(ii)现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少?附：K2= ?(?-?),其中 n=a+b+c+d.(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821 .

9、已知函数 f (x) = lnx sinx+ax ( a> 0).(1)若 a= 1,求证：当 x C (1, -)时，f (x) v 2x - 1; 2(2)若f (x)在(0, 2兀)上有且仅有1个极值点，求a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选彳4-4 ：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为?= ?= ?+ ?为参数),以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线4C2的极坐标万程为念1+3?(1)写出曲线Ci和C2的直角坐标方程;(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲

10、线Ci的切线，切点为A,求|PA|的最大值. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数f (x) = |x+1|-|2x-2|的最大值为 M,正实数a, b满足a+b=M.(1)求2a2+b2的最小值；(2)求证：aabb>ab.、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1,若集合 A=x|y=、？ ？, B= x|x2- x< 0,则 AnB=(A. 0, 1)B. 0, 1C. 0, 2)D. 0, 2【分析】求出集合 A, B,由此能求出 APB.解：,.集合 A = x|y= v?=x|xW2,B = x|x2 x w

11、 0 = x|0w x w 1,则 An B = x|0<x< 1=0,1,2.已知复数 z= 1+bi (bCR),?一 - 一， 一是纯虚数，则b=()2+?A. - 2B.D. 1【分析】由复数的除法法则把? 、一 ,、. 一 .一2+?上成复数的一般形式，实部为零，虚部不等于零计算即可.?1+? (1+?)(2-?)解：因为=2+?2+?(2+?)(2-?)2+?+(2?-1)?,由于其是纯虚数,所以 2b 1W0 且 2+b= 0 贝U b= - 2.3.若 a = log3", b= ln-, c= 0.6 0.2,则 a,22b,c的大小关系为(A. c&g

12、t;b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a> c> b【分析】利用对数函数、指数函数的单调性质直接求解.3. 一.解：0=log3lva=log3£ vlog33= 1,b= ln < ln1 = 0,2c= 0.6 0.2 >0.60= 1,c> a> b.故选：B.4.首项为-21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差 d的取值范围是()A. d>3B. d< 2C. 3<d<-7D. 3vdwg【分析】从第8项起开始为正数，可得 a7<0, a8>0,解出即可得出.解：

13、an= - 21+ (n 1) d.从第8项起开始为正数， .a7= - 21+6d<0, a8= - 21+7d>0,解得3vdw7.2故选：D.5 .周髀算经中提出了 “方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方” “天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r,正方形的边长为 a (0vavr),若在圆内随机取点,得到点取自阴影部分的概率是p,则圆周率兀的值为(?A' (1-?)?2?B. 己(1+?)?C. (1-?)?D,(1+?)?p,则兀可求.【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，求出对

14、应面积比得解：圆形钱币的半径为 rcm,面积为S圆=兀？ r2;正方形边长为 acm,面积为S正方形= a2.在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p_ ?柒?方形=1至则兀=?.（1-?）?2故选：A.6 .在三棱柱 ABC-A1B1C1中，E是棱AB的中点，动点F是侧面ACC1A1 （包括边界）上一点，若EF /平面BCC1B1,则动点F的轨迹是（）A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分【分析】分别取 AC, A1C1, A1B1的中点N, F, M,连接ME , MF , NE , EF ,可得N,解：分别取AC, A1C1, A1B1的中点N,F, M,连接 ME ,

15、 MF , NE, EF ,因为E为AB的中点，可得NE / BC且11NE= 2? FM / B1C1, MF = B 1C1,所以N, E, M, F共面，所以可得 ME/ BB 1, BE / BC,E, M, F共面，且可得使 EF /平面BCC1B1,所以F在线段FN上.而 NE AME = E, BCABBi=b,所以面NEMF /面 BC1,而 EF?面 MN ,所以 EF /面BC1,所以要使EF/平面BCC1B1,则动点F的轨迹为线段FN .1 ,7.函数f (x) =- 2x+而的图象大致是()|?|【分析】由函数解析式易知 XV0时，f (x) >0,且f (2)

16、<0,由此利用排除法得解.解：当xv 0时，？?(?= -?+焉> ?故排除选项BD； |?|又？(?= -?+ 2= - 7 <?故排除选项 A.故选：C.8.如图，在梯形ABCD 中，AB / CD, AB±AD , AB=2AD = 2DC, E 是 BC 的中点，F是AE上一点,?=2?则?!A . 1 ? 1 ?B . 1 ? 1 ?23321111C.- 2?+ 3? D.- 3?【分析】直接利用向量的三角形法则以及基本定理即可求得结论.解：由梯形 ABCD 中，AB/CD, AB±AD, AB = 2AD = 2DC , E 是 BC 的中点

17、，F 是AE 上一点,?= 2?,?则？2 ? ?= -?+ 3?= -?+ 3 x-(?- ?= -?+ 3(? ?+ ?=-? ?+ 1 (? ?+ ?+ 1? = - 1? ? 1? ? ? 3223故选：C.9.已知命题p： (x2- 1? n的展开式中，仅有第 7项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为495;命题q：随机变量E服从正态分布 N (2, 2),且P ( y 4) = 0.7,则P (0< K 2) =0.3.现给出四个命题： pAq, pVq, pA (q),(p) V q, 其中真命题的是()A.B.C.D.【分析】由(x2- 1J n的展开式中，仅有第 7项

18、的二项式系数最大求得 n,写出二项展开式的通项，令x的指数为0求得r,得到常数项判断 p；再由正态分布的对称性求得P(0v % 2)判断q,再由复合命题的真假判断得答案.解：在(x2- 1J n的展开式中，只有第 7项的二项式系数最大，n=12,则？?+?干？?，? 1?= (-?) ?修?-?令 24 3r =0,得 r=8,，展开式中的常数项为？?= 舄L？?做p为真命题;8!?4!随机变量E服从正态分布N (2, b 2),则其对称轴方程为x=2,又 P ( EV 4) = 0.7,则 P (0V y 2) = 2(?- ?X ?)= 0.2,故 q 为假命题.则pA q为假命题；pVq

19、为真命题；pA (q)为真命题；(p) V q为假命题.其中真命题的是故选：C.10.设数列an的前n 项和为 Sn,且 a = 2, an+an+1 = 2n(n6N*),贝U S2020=22020 2A. -322020 +2B.3【分析】本题根据递推公式an+an+i = 2n (n CN* )的特点在求S2020时可采用分组求和法,然后根据等比数列的求和公式即可得到正确选项.解：由题意，可知S2020 = ai+a2+a2020= (a+a2)+ (a3+a4)+ + (22019+22020) =21+23+-+2201921-2 2019?221-2 222021 -23故选：C

20、.?11.过双曲线C: - - = 1 (a>0, b>0)右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P,与双曲线交于点A,若？?= 3?则双曲线C的渐近线方程为(C. y=±2x【分析】由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为 ？?=?求得直线F2P： y= -?(?-?)与已知渐近线方程联立求得P的坐标，再由向量等式求得 A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线 C的渐近线方程.解：如图，不妨设一条渐近线方程为？?= ?则F2P所在直线的斜率为?直线F 2P： y= ?%?- ?) ?,?)?= ?。或联立?,解得P (空y。)，由?= 3? ? = 3 (xo c,

21、 yo), 一？?= - ?(?- ?)?设 A (xo,解得A (?+空，注?. 3?3?代入”-"=1,得e2?%2 -3?'9?0?9?整理得：?= 1.?2双曲线C的渐近线方程为y= ±2?12 .若关于x的不等式e2x- alnx >2a恒成立，则实数 a的取值范围是()A. 0, 2eB. (-8, 2e C. 0, 2e2D. (8, 2e2【分析】讨论a<。时，f(x) = e2x- alnx无最小值，不符题意；检3a=0时显然成立;讨论a>0时，求得f (x)的导数和极值点 m、极值和最值，解不等式求得m的范围,结合a=2me2m

22、,可得所求范围.解：当a<0时，f (x) =e2x-alnx为(0, +oo)的增函数，f (x)无最小值，不符合题 意；当a=0时，e2x-alnx >2a即为e2x> 0显然成立；当 a>0 时，f(x) = e2x- alnx 的导数为 f' (x) = 2e2x- ?由于 y=2e2x- ?£ (0, +8)递增，设1( x) = 0 的根为 m,即有 a=2me2m,当 0vxv m 时，f' ( x) v 0, f (x)递减；当 x> m 时，f' ( x) > 0, f ( x)递增，可得x=m处f (x)

23、取得极小值，且为最小值e2m- alnm ,由题意可得 e2m - alnm >-a, gp ? - alnm >-a,2 '2?2 '化为 m+2mlnm w 1,设 g (m) = m+2mlnm , g ' ( m) = 1+2 (1 + lnm ),当 m=1 时，g (1) =1, m>1 时，g' (m) >0, g(m)递增，可得 m+2mlnm < 1的解为0vmW1,则 a=2me2me (0, 2e2,综上可得a0, 2e2,故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13 .已知角a的顶点与坐标

24、原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，若点 P (2, - 1)在角a的终边上，则 sin2 a=【分析】由已知结合三角形函数的定义可求Sin a, COS a,然后结合二倍角的正弦公式即可求解.12解：由题息可得，Sin?= =, cos?二百:,所以 sin2 a= 2sin acos 后45-故答案为：-4514 .如表是某厂2020年14月份用水量（单位：百吨）的一组数据月份x1234用水量y2.5344.5其线性回归方程是？?=由散点图可知，用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系,?+1.75,预测2020年6月份该厂的用水量为5.95 百呻.【分析】求出样本中心的坐标，代入回归

25、直线方程，求出 ?然后彳弋入 x=6,推出结合即可.解：由题意可知 ?= 1+2+3+4=23,?=2.5+3+4+4.54=3.5 ;线性回归方程是?= ?+1.75,经过样本中心，所以3.5 =?+1.75,解得：？?=0.7,所以?=0.7x+1.75,x=6 时,?= 0.7X6+1.75= 5.95 （百吨）预测2020年6月份该厂的用水量为 5.95百吨.故答案为：5.95.15 .过抛物线y2=4x焦点F的直线交该抛物线于 A, B两点，且|AB|=4,若原点O是4 ABC的垂心，则点 C的坐标为(-3, 0).【分析】由题意设直线 AB的方程，与抛物线联立求出两根之和，由抛物线

26、的性质可得 弦长|AB|的表达式，再由题意可得参数的值，进而求出直线的方程，代入抛物线的方程 求出A, B的坐标，由 O为三角形 ABC的垂心可得 C在x轴上，设 C的坐标，由 OA XBC,可得数量积为 0,求出C点的坐标.解：显然直线AB的斜率不为0,由题意设直线 AB的方程为：x=my+1,设A (xi, yi),B (x2, y2),联立直线AB与抛物线的方程y2 - 4my -4=0, yi+y2=4m,所以?= ?+ ?必.？?？:整理可得xi+x2= 4m2+2,由抛物线的性质可得|AB |= xi+x2+2 = 4m2+4,由题意可得4m2+4=4,所以m = 0,即直线 AB

27、垂直于x轴,所以可得 A (i, 2) , B (i, - 2),._. . » ,一. 一 一一、 一一、. 、一 . 一 ,一 因为原点O是4ABC的垂心，所以C在x轴上，设C(a,0),可得AOLBC,即？?？?20即(i, 2) ? (i - a, - 2) = 0,整理可得：i - a - 4= 0,解得 a= - 3,所以C的坐标为：(-3, 0),故答案为：(-3, 0).16 .正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,侧棱长为2J?过点A作一个与侧棱 PC垂直的 平面”，则平面“被此正四棱锥所截白截面面积为 _43平面a将此正四棱锥分成 3 1的两部分体积的比值为-（或2

28、）.-2【分析】由已知得 PAC为正三角形，取 PC的中点G,得AG ± PC,且AG="？然 后证明AG ± EF ,且求得AG与EF的长度，可得截面四边形的面积；再求出四棱锥 P -AEGF的体积与原正四棱锥的体积，则平面a将此正四棱锥分成的两部分体积的比值可求.解：如图，在正四棱锥P - ABCD中，由底面边长为 2,侧棱长为？?/?可得 PAC为正三角形，取 PC的中点G,得AGXPC,且AG="?设过AG与PC垂直的平面交 PB于E ,交PD于F ,连接 EF ,则 EGPC, FGXPC,可得 RtAPGERtAPGF,得 GE=GF, PE

29、=PF,在 PAE与 PAF中，由PA=PA, PE = PF, / APE = /APF ,得 AE = AF .AGXEF .在等腰三角形PBC中，由8+8-43PB = PC=2v? BC=2,倚 cos/ BPC= 2 x 2&X2/ =4'则在Rt PGE中，得PE?v24 上? / =?= 33'4同理 PF= 422,则 EF / DB,得到 EF= 422 33. 114 4 槎 4a一？的边形?=? 2 X ? ?= 2 X v?X 3 = -3，则？3?-?无 1x47 XV?=挈 339-V _1_ _ 二 4V6乂 ?-? o x ?x ?x v

30、?= o，33，平面a将此正四棱锥分成的上下两部分体积的比为4v6-9-4V6 4V6"3O"故答案为：42勺；1 (或2). 32三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。. .? -, 3a/317 . AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知a= 1 , B= ? AABC的面积为 上 34(1)求 ABC的周长;(2)求 cos (B - C)的值.【分析】(1)由已知结合三角形的面积公式可求c,然后结合余弦定理

31、可求b,进而可求；(2)由已知结合余弦定理及同角平方关系可分别求解cosC, sinC,然后结合差角余弦公式可求.解：（1）因为 a= 1, B= £ ABC 的面积 S= 1?= 33,3244c= 3,，人te=t/口 ?i 一由余弦 7E 理可得，b2= ?1?+ ?夕-?= ?+ ? ?X ?X ?X - =7,32.b= v?故 ABC的周长4+ v?2?(2)由余弦定理可得，cosC= ?+?落?2故sinC=艾空, i4cos（B-C） =cosBcosC+siBsiC=2x（- 4 + 要毛?18 .如图，在三棱柱 ABC-AiBiCi 中，侧面 BBiCiC 为菱形

32、，AC = ABi, BiCABCi=O.(1)求证：BiCXAB ；(2)若/CBBi = 60° , AC = BC,且点A在侧面BBiCiC上的投影为点 O,求二面角B-AAi-C的余弦值.【分析】(i)由侧面BBiCiC为菱形，得BiCBO,再由AC=ABi,。为BiC的中点， 得BiCAO,利用直线与平面垂直的判定可得BiC,平面ABO,从而得到BiCXAB；(2)点A在侧面BBiCiC上的投影为点 O,即AOL平面BBiCiC,由(i)知OBOBi, 以。为坐标原点，分别以OB, OBi, OA所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系. 分 别求出平面 BAAi的一个

33、法向量与平面 ACAi的一个法向量，由两法向量所成角的余弦 值可得二面角B-AAi-C的余弦值.【解答】(1)证明：二,侧面 BBiCiC为菱形，BiCXBO ,又 AC = ABi,。为 BiC 的中点，BiC± AO,而 AO A BO=O, . BiC,平面 ABO,得 BiC± AB；(2)解：二点A在侧面BBiCiC上的投影为点 O,即AOL平面BBiCiC,又由(i)知 OBOBi,以O为坐标原点，分别以OB, OBi, OA所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.CBBi = 60° , AC = BC,设 BC = 2a,贝U B(v?0,

34、0) ,Ai(-"a,a,为?,A(0,0,衣?？，C(0,-a, 0),-> -> ->?= (- V? ? V?) ?= (- V? ? ?) ?= (? ? Az?) V,) V ，? V , / , , V!设平面BAAi的一个法向量为？= (?加？?2 ?,？ ?= - V?+ v?= ? w/日-由-_ - ，取 zi = i,得？ = (?, V? ?)? ?= - V?+ ?= ?设平面ACAi的一个法向量为？?= (?'？?2 ?因,山,？?？?= - V?+ ?= ?前” 一曰-V?= ?= ?+/. cos< ? ?> =由

35、-_，取？?= V? 4#?= (?, V>?33= 51?1?1 x3 5由图可知，二面角B-AAi-C为锐角,53 一面角B - AAi - C的余弦值为一.19.已知点 A, B的坐标分别是（-6? 0）,（而? 0）,动点 M （x, y）满足直线 AM和BM的斜率之积为-3,记M的轨迹为曲线 E.（1）求曲线E的方程;（2）直线y=kx+m与曲线E相交于P,Q两点，若曲线E上存在点R,使得四边形 OPRQ为平行四边形（其中 。为坐标原点），求 m的取值范围.【分析】（1）根据题意得kAM? kBM= + 后? N = ? = - 3, （ yw0）,化简可 ?+ 2 ?-v2?

36、，-2得曲线E的方程.（2）设P（X1, yi） , Q（X2, y2）,联立直线与曲线 E的方程，得关于x的一元二次 方程，结合韦达定理得 xi+x2, yi+y2, 4。，根据题意得PQ的中点也是OR的中点， 得R点的坐标，再代入曲线E的方程，得2m2= k2+3，将代入得m的取值范围.解:(1) kAM? kBM =? _?4V2,?-v2 = ?-2-3, (yw0)化简得曲线E的方程:?-一+ = ? "0)(2)设 P (x1, y1)，Q (x2, y2)?= ?+? ?联立?2 ?,得(3+k2) x2+2kmx+m26= 0,T+¥= ?x1+x2=2?3

37、+?2'y1+y2=k (x1+x2)6?+2m=3,3+?2 = (2km) 2-4X (3+k2) ( m2 - 6) =- 12m2+24k2+72 > 0,即-m2+2k2+6>0,若四边形OPRQ为平行四边形，则 PQ的中点也是 OR的中点,一 .,2?6?所以R点的坐标为(-J? ),3+?2 3+?2/ 2?2/ 6?、2又点R在曲线E上得，(- 3+?2) + (3+?2) = ?*简得2m2= k2+326将代入得，m2>0,所以mw0,由得2m2>3,所以m或m< -二 所以m的取值范围为-半u 亘 +°°).20.

38、当今世界科技迅猛发展，信息日新月异.为增强全民科技意识，提高公众科学素养， 某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动，并对不同年龄借阅者 对科技类图书的情况进行了调查.该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名，数据统计如表：借阅科技类图书(人)借阅非科技类图书(人)年龄不超过50岁2025年龄大于50岁1045(1)是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关?(2)该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书，规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分，每借阅一本非科技类图书奖励积分1分，积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书.用表中的样本频率作为概率的估计值.(i)

39、现有3名借阅者每人借阅一本图书，记此3人增加的积分总和为随机变量已求E的分布列和数学期望;(ii)现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少?附：的?(?-?), 其中 n=a+b+c+d.(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】(1)根据K的表达式带入计算即可判断；(2) (i)由题知借阅科技类图书的概率P= 3,若这3人增加的积分总和为随机变量E,10分别计算出P ( 4 3) , P (白4) , P ( E= 5) , P (白6),即可得到分布列及期望； 3

40、(ii)根据题意得随机变量 X满足XB (16, )的二项分布，列出不等式组，解出即10可解：(1) K2= 100(20 X 45-10。25 = 16900_8.129>6.635, 307045552079所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关；(2) ( i)因为用表中的样本频率作为概率的估计值，所以借阅科技类图书的概率P=303=- 10010'因为3名借阅者每人借阅一本图书，这 3人增加的积分总和为随机变量巳所以随机变量E的可能取值为3, 4, 5, 6,p (4 3) = ?*?= 1340-P(44)= ?*?= 1440P (右 5) = ?*?= 10

41、00P( E=6)= ?软卷)?170)?= 127r从而E的分布列为:3456343100044110001891000271000所以 E (9 =3X也+ 4xa+ 5x理+ 6X = 3.9; 1000100010001000'(ii)记16人中借阅科技类图书的人数为 X,则随机变量X满足二项分布,3、XB (16, )10设借阅科技类图书最有可能的人数时k (k = 0, 1, 2,，16)?(?= ?)> ?(?= ?2 ?)、?(?= ?)>?(?= ?+ ?)而?嬲扁)?(170)?桂?软130)?-?需)?-?了?痛命?舄严?桂?+-?13)?+?/ ?-

42、?解得 4.1<k<5.1,故 k= 5,所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是21.已知函数 f (x) = lnx sinx+ax ( a> 0).?.(1)若 a=1,求证：当 xC (1,-)时,2f (x) v 2x T ;(2)若f (x)在(0, 2天)上有且仅有1个极值点，求a的取值范围.?【分析】(1)构造函数g (x) = f (x) - (2xT),对其求导研允其在xC(?, 2)单调性，即可证明结论;(2)先f (x)求导，然后把f (x)在(0, 2兀)上有且仅有1个极值点转化为f' (x)胃？?？?勺零点问题，利用 y= ?声？?(a&g

43、t;0)与函数y=cosx, x? 一 (0, 一)的图象2只有一个交点求出 a的取值范围即可.解：(1)证明：当 a= 1 时，f (x) = lnx - sinx+x，令 g (x) = f (x) ( 2x 1) = lnx?-sinx - x+1, x C (?, 2),则 g' (x) =1- cosx - 1= 1?- ? g (x)在(1,-)上单调递减, ?2所以 f (x) v 2x - 1;故 g (x) <g (1) = sin1<0,(2)解：由题知f1 (x) = ?令 f' ( x) = 0? - + ?= ? ?f (x)在(0, 2兀)上有且仅有函数y= ?+ ?(a>0)与函数y = cosx, x £?(0,)的图象只有一个交点,2+ 2rK ?即 a< 1- L2?2?所以a的取值范围为(。，1- 2?、选择题?= ?22.在直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为?= ?+ ?为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线4C2的极坐标万程为41+3赤痂(1)写出曲线Ci和C2的直角坐标方程;