2020高考数学理科大一轮复习导学案《椭圆》(版含答案)

1、第五节椭圆20 79考纲考憎考第篁常考情分析1,学步哨国的定父"几何区用:标 掂万程及其单几何性质范圉+对株性、 茁后、寓心率.工了解岛圆的置单力用，3 一提卷数形结合的恚至.楣IKK定义.标准方程、几何性疵以及Arm与垃位知识铝合应用是近几年 高考奇电茁哥抵2,但土豆线、H量、三垄等的双交汇港董，恚董学生分用可就.艇步司就的 能力.工三种一都有可能出现.选择、填空题一眦为中低档题、第苔/龙春喈京.感知.自测:知识点一椭圆的定义平面内与两个定点Fi, F2的距离的和等于常数(大于|匕F的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.时点快媒1 .判断正误

2、(1)平面内与两个定点Fi, F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(X )(2)动点P到两定点A(0, 2), B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹 是椭圆.(X )2 .已知动点 P(x, y)的坐标满足 x2 + (y+ 7f + x2 + (y-7)2 =16,则x2 y2动点P的轨迹万程为15+64=1.解析：由等式关系可知，点 P(x, y)到两定点(0,7)以及(0, 7)的距离 之和等于16,且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点 P的轨迹是以点(0,7)和点(0, 7)为焦点，长半轴长为8的椭圆，具方程为1.15+64范围一。W " W &

3、;一 b W y W b-b W x W h-o W 丫 W n对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点4(-”,0) H (u,0) 国(0, -幻也(0川41 (0, -a) ,-4 : ( 0, ) 与(T,0)也(b,0)轴长轴44的长为左;短轴耳马的长为竺焦距1 F,1 = 2c离心率e -E ( 0 J )najc 的关系c2 = a2 - b2性 质q时点快爆x2 y23.已知椭圆C:孑+ b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为 Fi, F2,离心率为尊 过F2的直线l交C于A, B两点，若AFiB的周长为43,则C 3的方程为（A ）222 x yx 2 /A.y

4、 + 2 = 1B.3+y2 = 1C.T2+8 = 1D.x2+4 =3解析：AFiB的周长为4v3, .4a=4V3,.a=离心率为七,3.c= 1,. b=a2 c2 =，2, .,椭圆 C 的方程为 x + y= 1.故选 A.3 2224. （2018全国卷I ）已知椭圆C: 1 + =1的一个焦点为（2,0）,则C的1B.2离心率为（C ）1A.z 3解析：不妨设a>0,因为椭圆C的一个焦点为（2,0）,所以c=2,所以 a2= 4 + 4=8,所以a=2/2,所以椭圆C的离心率e= c=乎.25. （2018浙江卷）已知点P（0,1）,椭圆x4+y2 = m（m>1）

5、上两点A, B满足AP=2PB,则当m=殳时，点B横坐标的绝对值最大.解析：设 A(xi, yi),B(x2, y2),由AP = 2PB,-X1=2x2,一一_ i得" c / 即Xi= -2x2,yi=32y2.因为点A, B在椭圆上,4x2 c c 2彳，+ 3-2y2 =m,所以,、/+ y2=m,1 yi = 2(y21 ),一 131c得 y2 = 4m+4，所以 x2=m- (32y2)2= 4m2 + |m 4= 4(m5)2 + 4W4,所以当m=5时，点B横坐标的绝对值最大, 最大值为2.感知延伸，1 .椭圆方程中的a, b, c(1)a, b, c关系：a2=b

6、2+c2.(2)e与b：因为e=c = "a二b = '/!bX所以离心率e越大，则b越 aa a a ©/a小，椭圆就越扁；离心率e越小，则b越大，椭圆就越圆. a2 .焦点三角形：椭圆上的点 P(xo, yo)与两焦点构成的 PF1F2叫作焦点三角形.1 = |PF12=|PF2|, /FFF2= 0, PF1F2 的面积为 S,则在椭2 2圆$+ b2= 1(a>b>0)中：(1)当1 =2时，即点P的位置为短轴端点时，8最大；c A ,一(2)S= b考向一椭圆的定义 【例11 (1)已知 ABC的顶点B, C在椭圆1+y2=1上，顶点A是 椭圆

7、的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则 ABC的周长是 () A. 25 B. 6 C. 473 D. 12 (2)F1, F2是椭圆X2 + y2=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且/ AF1F2 7= 45°,则AAFiF2的面积为()tan2=c|y0|,当|y°|=b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最 大值，最大值为bc.3 .焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短, 弦长 lmin=2b.ax2 y24 . AB 为椭圆 a2+ 即=1(a>b>0)的弦，A(xi, yi), B(x2, y2),弦中点 M(xo, y&

8、#176;),则弦长 l=>/l + k|xi-x2|=yi+j12|yi-y2|;直线AB的斜率kAB=蹙.a yo津里探究潦度别斯bA. 77B4D.呼【解析】(1)由椭圆的方程得a=B.设椭圆的另一个焦点为F,则由 椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF| = 2a,所以 ABC的周长为|BA|十|BC| 十 |CA|= |BA|+ |BF|+ |CF|+|CA|=(|BA|+ |BF|)+ (|CF|+ |CA|)= 2a+2a = 4a= 4m(2)由题意得a=3, b=巾，c=也,.|FF2|=2亚，|AFi|+|AF2|=6.|AF2= |AFi十|FiF2一2|

9、AF1| |FF21cos45 = |AFi一4|AF1|+8,/.(6- |AF1|)2 = |AF1|2-4|AF1|+8.|AFi| = (. /AF1F2 的面积 S=2X2X2X 2 =2,【答案】(1)C (2)C突破攻略椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点 Fi, F2组成的三角 形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PFi| |PF2|,通过整体代入可求其面积等卜 00©x2(1)椭圆点+y2=i上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦 25点的距离为(D )

10、A. 5 B. 6C. 7 D. 8x2 y2，一，(2)(2019河北衡水中学调研)设Fi、F2分别是椭圆25 + 16=1的左、右 焦点，P为椭圆上任意一点，点 M的坐标为(6,4),则|PM|PFi|的最小值 为二5.解析：(1)由椭圆的定义知点P到另一个焦点的距离是10 2=8.(2)由椭圆的方程可知 F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=2a|PF2|.|PM| |PFi|= |PM| (2a |PF2|)= |PM| + |PF2|-2a>|MF2|-2a,当且仅当M,巳F2三点共线时取得等号，又 |MF2|= 63)2+ (40)2 = 5,2a= 10,/. |PM

11、|-|PFi|>5-10= 5,即|PM| |PFi|的最小值为5.考向二椭圆的标准方程【例2】（1）（2019济南调研）已知两圆（x 4）2+y2=169, C2： （x + 4）2+y2=9,动圆在圆Ci内部且和圆Ci相内切，和圆C2相外切，则动圆 圆心M的轨迹方程为（）x2 y2x2 y2A - -= 1 B = 1A.64 48.48 64y2C.48 64 1 D.64+ 48 1（2）（2019宁德*II拟）一个椭圆的中心在原点，焦点F3F2在x轴上，P（2, 正）是椭圆上一点，且IPF1I, IF1F2I, |PF2成等差数列，则椭圆的方程为（）22x , y /B.16+

12、 6 =122AX=1x2 y2D.8+7 = 122C.4+y2=1【解析】（1）设圆M的半径为r,则|MC1|十|MC2|=（13 r） + （3 + r）=16>8=2。2,所以M的轨迹是以G, C2为焦点的椭圆，且2a=16,2c=8, < ,x2 y2 故所求的轨迹方程为 最+上=1. 64 4822（2）设椭圆的标准方程为a2 + b2=1（a>b>0）.由点pq,43）在椭圆上知a2+b2=1.又IPF1I, IF1F2I, IPF2I成等差数列，则 |PF1|十|PF2|=2|FF2|,c 1即 2a=2X2c, - =a 2，4 3 .孑+咨=1，又

13、c2=a2 b2,联立c2=a2 b2,c 1 =二 、a 2，22得a2= 8, b2 = 6,故椭圆方程为弓+ 6=1.【答案】(1)D (2)A突破攻略(1域椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a>|FiF2;利用待定系数法要 先定形(焦点位置卜再定量，也可把椭圆方程设为 mx2+ ny2=1(m>0, n>0, m# n的形式.(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点_22(3,5),则椭圆方程为V=1.(2)设Fi, F2分别是椭圆E： x2 + y2=1(0<b<1)的左、右焦点，过点Fi 的

14、直线交椭圆E于A, B两点.若|AFi| = 3|FiB|, AF2，x轴，则椭圆E的方 程为 x2 + 2y2= 1.解析：(1)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m, n>0, m*n).l3m+5n= 1, 111解得 m=6，n=10. , y2 x2 椭圆方程为1+ 6=1.设点B的坐标为(x0, y0).vx2 + y2=15 /. F1(-b2, 0), F2N1 b2, 0). bvAF2±x 轴，设点 A 在 x轴上方，. AC/1b2, b2). , , . |AF1| = 3|F1B|, .AF1 = 3F1B, . (-2)1-b2, b2) = 3(x

15、o +11 b2, y。). xo = - 3V1 - b2, yo= 一 万.二点B的坐标为和b2,一将 B .1 b2, -b3卜弋入 x2 + b2=1,得 b2=2.椭圆E的方程为x2 + 3=1.考向三椭圆的几何性质【例3】（1）（2018全国卷H ）已知Fi, F2是椭圆C: 1 +）=320） 的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 坐的直线上，PF1F2 为等腰三角形，/ FiF2P=120°,则C的离心率为（）21A.3 B.2（2）椭圆x2 + 5= 1（0<b<1）的左焦点为F,上顶点为A,右顶点为B,若 FAB外接圆的圆心P（m, n）在

16、直线y= x的左下方，则该椭圆离心率的 取值范围为（）C. 0,L 1)”,2J【解析】（1）由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示,设|FF2| = 2c, . PF1F2 为等腰三角形，且/ FiF2P=120°,|PF2| = |FiF2| = 2c.|OF2| = c, .点 P 坐标为(c+ 2ccos60 , 2csin60),即点 P(2c, 屹c). 丁点P在过点A,且斜率为 坐的直线上，Hc.=噜，解得(=!62c 十 a 6 a 41:e= 4,故选 D.(2)设 F(-c,0), A(0, b), B(a,0),且 FAB 的外接圆的方程为(x- m)2c a+

17、 (yn)2=r2.将(一c,0), (0, b), (a,0)分别代入圆的万程，可得 m=-2一，b2-ac t 一 c+a b2-ac 一一 .c n= 2b .由 m+n<0, 可得22<0，即 1 c+ bg<0? bc+br-c<0,所以 b c<0,即 b2<c2,则 e2>1,所以乎<e<1,故选 A.b22【答案】(1)D (2)A突破攻崎椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率 (或离心率的 取值范围 而两种常用方法：c(1京出a, c,代入公式e= a.(2根据条件彳#到关于a, b,c的齐次式，结合b2 =

18、a2c2转化为关于a, c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程( 不等式)，解方程(不等式即可得e的值或取值范围.*0©x2 y2(1)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 Fl, F2,离心率为e.P是椭圆上一点，位于第一象限，满足 PF2，FiF2,点Q在线段PFi上，7777且FiQ=2QP.若FiPF2Q = 0,则 e2=( C )A.<2-1B. 2-V2C. 2 mD.V5-2(2)中心为原点O的椭圆的焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭 圆上一点，若/ OPA=90°,则该椭圆的离心率e的取

19、值范围是(B )B.A11)nrf c(c 2b2)'皿Q3? 3a卜x2 ax+ y2= 0, x2 y A i+b2'，所以。胃<a,可得乎<e<1,故选B.ab 一一bb2解析：(1)由题可得 Fi( c,0), F2(c,0), Pc,- a a ,2c 2b2 二 二 b2).二二 2 2c 2b2»： b2)4c2 2b4=一了，汨，FF=Fc，占> - F2Q Fip=r至，函Jyc，7卜-T+3a2=0,结合 b2 = a2 c2化简得 e4-4e2+ 1 = 0,解得 e2 = 2iJ30<e<1,e2 =2- &

20、#174;故选C.x2 y2(2)设椭圆标准方程为 孑+台=1(a>b>0), P(x, y),由题息知点 P在以OA为直径的圆上，圆的方程为x a2+y2=a2,化简为x2-ax+y2= 0.由 '' 2/2-Jab2可得(b2a2)x2 + a3xa2b2=0,贝U x= f,因为 0<x<a, c 考向四 直线与椭圆的位置关系x2【例4】(2018全国卷I )设椭圆C: x + y2=1的右焦点为F,过F 的直线l与C交于A, B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：/ OMA=/OMB

21、.【解】(1)由已知得F(1,0), l的方程为x= 1.由已知可得，点A的坐 标为(1,*)或(1,乎).所以AM的方程为y=乎x+&或y = 22x-V2.(2)证明：当l与x轴重合时，/ OMA=/OMB = 0°.当1与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以/ OMA=/ OMB. 当1与x轴不重合也不垂直时，设1的方程为y= k(x1)(k?0), A(xi,0),B(x2, y2),则Xi< X2也 直线MA, MB的斜率之和为kMA + kMB = E；+'.Xi 2 X2 2由 yi=kxi k,y2 = kx2 k 得 kMA+ kMB =2kx1x2 3kfx1 + x2)+ 4kXi 2 X2 2X2 C,1 cccc将 y= k(x 1)代入, + y2= 1 得(2k2+ 1)x2 4k2x+2k22=0.所以，x1 +4k22k2-2X2=2k2Z1，X1x2= 2k2T1.则 2kXiX2 3k(xi