D3_3泰勒公式ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的运用三、泰勒公式的运用 目的用多项式近似表示函目的用多项式近似表示函数数.泰勒公式 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立在讲微分时有:0yfxxox 0000f xf xfxxxo xx 0000f xf xfxxxo xx)(xf)()(000 xxxfxf)(1xpx 的一次多项式的一次多项式特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf )(01xp0 x)(1xpxxy)(xfy O目录 上页 下页 返回

2、结束 为了提高准确度，我们思索用n次多项式来近似)(xf)(xpn0annxxaxxaxxa)()()(020201 f x要求满足, )()(00 xfxpn, )()(00 xfxpn( )( )00()()nnnpxfx00(),af x10(),afx( )0()nfx1!nna 故)(xpn)(0 xf)(00 xxxfnnxxxf)(00)(1!n200)(xxxf 12!目录 上页 下页 返回 结束 公式公式 称为称为 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项阶泰勒公式的拉格朗日余项 .2. 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理

3、 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf ( )00()()!nnfxxxn( )nRx其中(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn那么当)0(之间与在xx泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的佩亚诺阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需求余项的准确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR阐明：1留意到

4、2 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf即为拉格朗日中值定理)0(之间与在xx目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林称为麦克劳林( Maclaurin )公式公式 ., 00 x那么有)(xf)0(fxf)0( (1)1()(1)!nnfxxn2!2)0(xf nnxnf!)0()(3在泰勒公式中假设取, ) 10(x记例例1. 求求lncosyx在4x处的带有拉格朗日余项处的带有拉格朗日余项 的的2阶阶泰勒公式.解解: 要求到要求到3阶导数阶导数目录 上页 下页 返回 结束 )(xf)(0 xf)(00 xxxf(3)30( )()3!fxx200)(!2

5、)(xxxf 4f2ln21ln2,2 tanfxx 14f 2secfxx 2,4f 22sectanfxxx lncosx1ln224x24x321sectan34x目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xxfe)() 1 (,e)()(xkxf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!) 1( n) 10(1nxxe)(xf)0(fxf)0( (1)1()(1)!nnfxxn2!2)0(xf ( )(0)!nnfxn麦克劳林公式麦克劳林公式 ) 10(目录 上页 下页 返回 结束 212s

6、in()mx)sin( xxxfsin)()2( )( )kfx xsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfk1) 1(m) 10(21mx(21)!m)(xf)0(fxf)0( (1)1()(1)!nnfxxn2(0)2!fxnnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式 01,f 00,f 01,f 400,f目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林公式麦克劳林公式 ! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m) 10(m) 1(22mx)(xf

7、)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(222cos()mx目录 上页 下页 返回 结束 ) 1(,)1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 )

8、1()1ln()()5(xxxf知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n因此可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()() 10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的运用三、泰勒公式的运用1. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限2240coslim.xxxex由于解解:4x用泰勒公式将分子展到项,cosx1!22x!44x5o x 2222522122!

9、xxxeo x 245128xxo x 454012limxxo xx112原式=目录 上页 下页 返回 结束 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(2. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例3. 证明证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx+目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时

10、为麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P142 P144 ),ex, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的运用泰勒公式的运用求极限 , 证明不等式 等.例如 泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753