2材料力学轴向拉压ppt课件

1、第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FFFFFFFF受力受力(简简)图图受力变形特点受力变形特点: 外力或其合力的作用线沿杆件的轴线外力或其合力的作用线沿杆件的轴线(轴载轴载), 主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。主要变形为轴向伸缩。这样的杆件称拉压杆。钢拉杆连杆FFFAABBxFNF F+ +2.1拉压杆的内力拉压杆的内力 轴力及轴力图轴力及轴力图FFmmxxmmxxFFNmmxFNFx横截面是杆件内最有代表性的截面，横截面是杆件内最有代表性的截面，其上的内力可用截面法求出。其上的内力可用截面法求出。由隔离体的平衡条件截面上只由隔离体的平衡条件截面上只有截面法向的内力分量有截面法

2、向的内力分量 FN(x),称为轴力。称为轴力。FxFFxFFNNx)(0)(有由约定使杆件产生纵向伸长变形的约定使杆件产生纵向伸长变形的轴力为正，即轴力方向与截面外轴力为正，即轴力方向与截面外法向一致时为正，反之为负。法向一致时为正，反之为负。以截面位置和内力值为坐标可绘以截面位置和内力值为坐标可绘出内力在杆件上的分布图形，称出内力在杆件上的分布图形，称为内力图为内力图,而拉压杆的内力图即为而拉压杆的内力图即为轴力图。通常要求内力图画在与轴力图。通常要求内力图画在与受力图对应的位置。受力图对应的位置。例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。例：一变截面直杆受力如图，试画该杆的内力图。ABC

3、D20kN30kN50kNlll112233FA解：杆件受轴载作用解：杆件受轴载作用, A 处反力处反力 FA也为也为轴向外力轴向外力,故内力为轴力故内力为轴力,内力图即轴力图内力图即轴力图kNFFAx403020500kNFkNFkNForkNFFNNNAN2010302040302050403211求支反力求支反力求内力求内力画内力图轴力图）画内力图轴力图）D20kNFN3CD20kN30kNFN2BCD20kN30kN50kNFN1AFN1FA20kN10kN40kN+-+校核校核B+-FN+FN-FB=50kN5040100BNNxFFFFFd1d2l)(xp例：图示重量为例：图示重量

4、为P 的变截面圆杆的质量密度为的变截面圆杆的质量密度为，顶端受轴向外载，顶端受轴向外载 F，考虑自，考虑自重的影响，试画该杆的内力图。重的影响，试画该杆的内力图。dF)(xFNx解：自重是均匀分布的体积力，在本问解：自重是均匀分布的体积力，在本问题中其合力作用线与轴线重合是轴载。题中其合力作用线与轴线重合是轴载。F)(xFN- -F+PP杆件受力计算中分布外力用沿轴线的分布杆件受力计算中分布外力用沿轴线的分布集度描述集度描述)()(4)()(24)()()() 0(2121221212121xpxldddgxlddxlddddgdxxdFPFlFFFNNN3)()(4)(0)(4)(32212

5、21212121210 xlddxldddxdgFxFdldddgFxFFNxNx叠加原理适用叠加原理适用21212)(44.)()().(.)(lddddAgAddAgddVgddFp若若d1=d2 =d 则有则有 为常量为常量42dAplPdxdFxlPFxFlPgApNN)(FF+P- - 拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约拉压杆各横截面上的内力只有轴力，可用截面法求得，约定使杆件受拉的轴力为正。定使杆件受拉的轴力为正。 轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的轴力是截面位置的函数，其表达式称为轴力方程。函数的图形直观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。图形直

6、观反映了轴力沿杆轴线的分布，称为轴力图。 轴力图要画在与受力图对应的位置。轴力图要画在与受力图对应的位置。 集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小集中力作用处两侧截面的轴力值发生突变，改变量的大小与集中力的大小相等。与集中力的大小相等。 轴力对截面位置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度轴力对截面位置坐标的一阶导数的大小等于外载分布集度的大小。的大小。 小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用小变形下，叠加原理适用于内力计算。即多个力同时作用引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。引起的内力等于各个力单独作用引起的内力叠加结果。NF)(xFNANANAFFF)()

7、(xpdxxdFN拉压杆的内力拉压杆的内力2.2拉压杆的应力拉压杆的应力FFFFN一、平面假设 横截面上的应力几何分析：根据实验观测，假设变形后横截几何分析：根据实验观测，假设变形后横截面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平面仍保持为平面且与轴线垂直，即拉压的平面假设。这样，横截面上各处法向线应变相面假设。这样，横截面上各处法向线应变相同，切应变为零。即变形是均匀的。同，切应变为零。即变形是均匀的。物性分析：内力与变形有确定的关系，对于物性分析：内力与变形有确定的关系，对于连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上连续均匀材料，从几何分析可推论横截面上的内力为均匀分布的法向内力。即的内力为均匀分布

8、的法向内力。即为常量为常量为零。为零。静力学分析：静力学分析：AFAdAdAFNAAN拉应力为正拉应力为正压应力为负压应力为负拉压杆横截面上正应力计算公式拉压杆横截面上正应力计算公式x)()()(xAxFxN变截面杆或分布轴载作变截面杆或分布轴载作用下横截面正应力计算用下横截面正应力计算公式适用于轴载作用的杆件。公式适用于轴载作用的杆件。FF2.2拉压杆的应力拉压杆的应力FF二、斜截面上的应力二、斜截面上的应力讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应讨论任一方位截面上的应力及与横截面上应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应力的关系，斜截面上各处法向线应变和切应变相同，即变形是均匀的。因此内力均

9、匀分变相同，即变形是均匀的。因此内力均匀分布。布。斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力斜截面上的全应力可分解为正应力和切应力coscoscosAFAFpAAFApdApdApFAAFFmmxnmmFFpnmmtp2sin2sincossin2cos22coscos2ppA 横截面面积横截面面积A 斜截面面积斜截面面积公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。一点处不同方位截面上应力的集合一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌应力全貌)称为一点处的应力状态。称为一点处的应力状态。 规定方位角规定方位角以以 x轴为起始边逆时针转为轴为起始边逆时针转为正；切

10、应力以使隔离体有作顺时针转动的趋正；切应力以使隔离体有作顺时针转动的趋势为正。势为正。000max22224545min4545max009090min横截面上横截面上纵截面上纵截面上=45o截面截面上上切应力成对切应力成对9022222222单向单向( (单轴单轴) )应力状态应力状态例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。知：作用。知：F=20kN，b=200mm，t=10mm，=30o。试求焊缝内的应力。试求焊缝内的应力。FFbt解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力先计算横截面上的应力先计算横截面

11、上的应力MPabtFAFN1001.02.010203再用斜截面应力公式计算要求的应力再用斜截面应力公式计算要求的应力MPaMPa33. 4)302sin(10212sin215 . 730cos10cos302230即焊缝处的正应力为即焊缝处的正应力为7.5MPa，切应力为，切应力为4.33MPa。)()()(xAxFxN 拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面上正应力上正应力为常量，切应力为常量，切应力为零。对正应力规定拉应力为为零。对正应力规定拉应力为正，压应力为负。正，压应力为负。 两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布

12、的。同一两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切应力为正。应力为正。 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉压杆内各点为单向应力状态。压杆内各点为单向应力状态。拉压杆的应力拉压杆的应力2sin21cos22.3拉压杆的变形拉压杆

13、的变形一、拉压杆的轴向变形一、拉压杆的轴向变形FFll1bb1lllll1轴向变形轴向变形轴向线应变轴向线应变 拉为正拉为正dxlddxd)(实验表明，当实验表明，当 F 在一定的范围时，有：在一定的范围时，有：EAFllAFlldxddxFNFNlFll /AF /EorEEAlFlNlNNEAdxFlEAdxFld)(胡克定律胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量称弹性模量或杨氏模量, 与应与应力有相同的量刚力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。称杆的拉压刚度。 niiiNiniiniliNilNEAlFlEAdxFEAdxFli1112.3拉压杆的变形拉压杆的变形二、拉压杆的横向变形二、拉

14、压杆的横向变形FFll1bb1bbbbb1横向变形横向变形横向线应变横向线应变实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：lFll /AF /or5 . 00即即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之比的绝对值为一常数，称为泊松比。比的绝对值为一常数，称为泊松比。弹性模量弹性模量 E 和泊松比和泊松比都是材料的弹性常数，都是材料的弹性常数，由实验测得。由实验测得。例：图示等截面直杆，横截面面积为例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量，弹性模量E，自重为，自重为W。杆的自由端受轴。杆的自由端受轴向力向力F作用，考虑杆的自重

15、影响，求自由端作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面及杆中截面C 的轴向位移。的轴向位移。Fl/2l/2ABCx解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程)()(xllWFxFN杆的上端杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段的伸长量。的伸长量。EAxxllWEAFxxxllWFEAxEAxFlxxxNAx)2(d)(1d)()(200将将 x=l 和和 x=l/2 代入，得：代入，得：EAlWFEAlWFCB2

16、)43()21()(2)41(EAlWFlCBCBBCB、C 两截面的相对轴向位移为：两截面的相对轴向位移为：位移是力的线性函数位移是力的线性函数叠加原理适用叠加原理适用例：例： 图示桁架，在节点图示桁架，在节点 A 承受铅直力承受铅直力 F 作用。知：杆作用。知：杆1 用钢管制成，弹性模量用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积，横截面面积 A1=100mm2，杆长，杆长 l1=1m；杆；杆2 用硬铝管制成，弹性模量用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积，横截面面积 A2=250mm2；载荷；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。试求节点的水平和铅直位移。FB

17、CA45o21A2AA1AAA1A2AA4A545ol1l2解：取节点解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力为研究对象，计算各杆的轴力FAFN1FN 2kNFFFFFNNy14.142045cos11(拉伸拉伸)kNFFFNx1002(压缩压缩)节点节点 A 变形后的新位置变形后的新位置 AmmmmAElFlAAN707. 01007. 7101001020011014.144693111111mmmAElFlAAN404. 010250107045cos11010693222222小变形小变形在小变形下，可用切线代替弧线，则在小变形下，可用切线代替弧线，则A 可视为可视为A的新位置的新位置由

18、几何关系，可求得：由几何关系，可求得：)(404. 145tan45sin)(404. 02154422mmllAAAAmmlAAAyAxFBCA45o21A2A1A解：采用解析方法求节点位移解：采用解析方法求节点位移kNFkNFNN1014.1421mmAElFlmmAElFlNN404. 0707. 02222211111iAyiAxilsincos在小变形下，节点位移与杆件变形的关系在小变形下，节点位移与杆件变形的关系)1800(tansin)90(tancosorlliiAxiiAyiiAyiiAxxAi iAiAiAxliyAAyiiiiiAAAAAAlAAsinsincoscos)

19、cos(则有：则有：例：例： 图示桁架，在节点图示桁架，在节点 A 承受铅直力承受铅直力 F 作用。知：杆作用。知：杆1 用钢管制成，弹性模量用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积，横截面面积 A1=100mm2，杆长，杆长 l1=1m；杆；杆2 用硬铝管制成，弹性模量用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积，横截面面积 A2=250mm2；载荷；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。试求节点的水平和铅直位移。)180()0()90(iiAxiiAxiiAylllFBCA45o21A2A1A)(404. 1)45tan45sin()45tan()45sin(45

20、)(404. 002121122mmllllmmlAyAx)1800(tansin)90(tancosorlliiAxiiAyiiAyiiAxxAi iAiAiAxliyAAy代入各杆参数：代入各杆参数：解：采用解析方法求节点位移解：采用解析方法求节点位移例：例： 图示桁架，在节点图示桁架，在节点 A 承受铅直力承受铅直力 F 作用。知：杆作用。知：杆1 用钢管制成，弹性模量用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积，横截面面积 A1=100mm2，杆长，杆长 l1=1m；杆；杆2 用硬铝管制成，弹性模量用硬铝管制成，弹性模量E2=70GPa，横截面面积，横截面面积 A2=250mm

21、2；载荷；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。试求节点的水平和铅直位移。)180()0()90(iiAxiiAxiiAylll 拉压杆的变形主要是轴向变形拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。用线应变来度量变形程度。 除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的关系，即泊松效应。关系，即泊松效应。 杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得到简化。到简化。 小

22、变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加结果。结果。拉压杆的变形拉压杆的变形应力应力-应变图应变图 -曲线曲线ll /F/A2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能一、低碳钢在拉伸时的力学性能一、低碳钢在拉伸时的力学性能弹性阶段弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失撤除外力后变形可完全消失线弹性阶段线弹性阶段 OA非线性弹性阶段非线性弹性阶段 ADpe屈服阶段屈服阶段 产生残余变形，应力基本不变而产生残余变形，应力基本不

23、变而变形继续增加。变形继续增加。强化阶段强化阶段 要使变形增加，需要加大应力。要使变形增加，需要加大应力。颈缩阶段颈缩阶段ldDACBGHOFlpesbeepAA1l1pE比例极限比例极限e弹性极限弹性极限s屈服极限屈服极限b强度极限强度极限%100%10011AAAlll伸长率伸长率(延伸率延伸率)断面收缩率断面收缩率ee冷作硬化冷作硬化拉伸图拉伸图强度指标：强度指标：屈服极限屈服极限强度极限强度极限塑性指标：塑性指标：伸长率伸长率断面收缩率断面收缩率称为塑性材料，称为塑性材料，sb%5称为脆性材料。称为脆性材料。%52.4材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能二、其他材料

24、在拉伸时的力学性能二、其他材料在拉伸时的力学性能塑性材料塑性材料2 . 0p名义屈服极限或屈服强度名义屈服极限或屈服强度ll /F/AO2 . 0p%2 . 0p脆性材料脆性材料b直到拉断也没有明显的残余变形，直到拉断也没有明显的残余变形，断口为横截面。断口为横截面。2.4材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能三、材料在压缩时的力学性能三、材料在压缩时的力学性能塑性材料塑性材料屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限脆性材料脆性材料压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极限限ll /F/AOOll /F/A压

25、缩试件压缩试件2.5拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算一、许用应力一、许用应力busuor失效条件：失效条件：u工作应力达到材料的极限应力工作应力达到材料的极限应力许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力许用应力nun为大于为大于1的系数，称安全系数的系数，称安全系数二、强度条件二、强度条件maxmaxmaxAFNmaxmaxAFN2.5拉压杆的强度计算拉压杆的强度计算三、强度计算三、强度计算1.强度校核：给定构件形式、资料、尺寸和载荷工况，校核构件是否满足强强度校核：给定构件形式、资料、尺寸和

26、载荷工况，校核构件是否满足强度条件。度条件。3.确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷的最大许用值。的最大许用值。2.确定截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截确定截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截面尺寸。面尺寸。)(minminminmaxAfdAFAdN)(maxmaxNFNNFfFFFAF如果最大工作应力超过了许用应力，但超如果最大工作应力超过了许用应力，但超过量在过量在5%以内，在工程设计中仍然是允以内，在工程设计中仍然是允许的。许的。max2.5拉

27、压杆的强度计算拉压杆的强度计算四、应力集中对强度计算的影响四、应力集中对强度计算的影响应力集中现象：截面发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。应力集中现象：截面发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。AFKNmaxK 称为应力集中因子称为应力集中因子(系数系数) 1对于塑性材料制成的构件，静载作用下强度计算可以不考虑应力集中的影响。对于塑性材料制成的构件，静载作用下强度计算可以不考虑应力集中的影响。Kmax对于脆性材料制成的构件，强度计算则必须考虑应力集中的影响。但铸铁材对于脆性材料制成的构件，强度计算则必须考虑应力集中的影响。但铸铁材料例外。料例外。maxmaxsb例：某压

28、力机的曲柄滑块机构如图所示，且例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且 l =2r。工作压力。工作压力 F=3274kN，连杆，连杆 AB 横截面为矩形，高与宽之比横截面为矩形，高与宽之比 h/b =1.4，材料为，材料为45号钢，许用应力号钢，许用应力=90MPa。试设。试设计截面尺寸计截面尺寸h和和b。 F F解：连杆解：连杆 AB 为二力杆，工作中受轴载作用为二力杆，工作中受轴载作用ABrlbhBFFNFB计算计算 AB 杆的轴力：杆的轴力：cosFFNkNkNlrlFFN3780332742/22max当曲柄为铅直位置时轴力当曲柄为铅直位置时轴力(值值)最大最大(受压受压)确定连杆截面尺

29、寸：确定连杆截面尺寸：4 . 1max2maxNNFbbhFAmmbh2424 . 1mmmmb173)(904 . 11037803max例：图示三角托架。在节点例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆作用，其中钢拉杆AC由两根由两根6.3边厚边厚为为6mm等边角钢组成，等边角钢组成，AB杆由两根杆由两根10工字钢组成。材料为工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应钢，许用拉应力力t=160MPa，许用压应力，许用压应力c=90MPa ，试确定许用载荷，试确定许用载荷 F 。 21FBCA30o1m解：求各杆内力与载荷解：求各杆内力与载荷 F 的关系的关系FA30oFN

30、1FN2xyFFFFFFNNy230sin030sin11FFFFFNNNx3030cos212根据强度条件确定许用载荷根据强度条件确定许用载荷2222212860143026 .14578 .7282mmmmAmmmmAkNNAFAFAFttN6 .11621606 .1457221111AC杆：杆：AB杆：杆：kNNAFAFAFccN6 .1483902860332222kNkNkNF6 .116)6 .148,6 .116min(许用载荷许用载荷(拉拉)(压压)查表得：查表得：2.6拉压超静定问题拉压超静定问题ABCFFAFB未知力可由平衡方程完全确定的问题称为未知力可由平衡方程完全确定

31、的问题称为静定问题。未知力的数目超过独立平衡方静定问题。未知力的数目超过独立平衡方程的数目，仅用平衡方程不能确定所有的程的数目，仅用平衡方程不能确定所有的未知力，称为超静定问题。而超出的未知未知力，称为超静定问题。而超出的未知力数目，称为超静定次数。力数目，称为超静定次数。超静定结构都存在多于维持平衡所必需的超静定结构都存在多于维持平衡所必需的约束或杆件，习惯上称为多余约束。多余约束或杆件，习惯上称为多余约束。多余约束的数目即为超静定次数。约束的数目即为超静定次数。BAxFFFF0FA解除多余约束，代之以相应反力，可得到解除多余约束，代之以相应反力，可得到含有未知外力作用的静定结构含有未知外力

32、作用的静定结构,称为原超静称为原超静定结构的静定基定结构的静定基(基本静定系统基本静定系统)。ADCB12超静定系统受力变形必须满足平衡条件、超静定系统受力变形必须满足平衡条件、物理关系及变形几何相容关系，综合三方物理关系及变形几何相容关系，综合三方面考虑，除平衡方程外还可建立足够数量面考虑，除平衡方程外还可建立足够数量的补充方程，从而能求解出全部未知力。的补充方程，从而能求解出全部未知力。0ABAxlBAFFF12llCyDy一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆ABAB及两弹性杆件及两弹性杆件EC EC 及及FD FD 组成，在组成，在

33、B B端受力端受力 F F 作用。两弹作用。两弹性杆的拉压刚度分别为性杆的拉压刚度分别为E1A1 E1A1 和和E2A2 E2A2 。试求杆。试求杆EC EC 和和 FD FD 的内力。的内力。 ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2CDAFHAFVABFN2FFN1解：一次超静定问题，取解：一次超静定问题，取AB 杆为研究对杆为研究对象象FFFFllFlFMNNNNA32032302121变形几何相容条件变形几何相容条件(变形协调条件变形协调条件)：平衡条件：平衡条件：FDECllDDCC22221由胡克定律：由胡克定律：2221112AEaFAEaFNN联立求解得：

34、联立求解得：平衡方程平衡方程补充方程补充方程FAEAEAEFFAEAEAEFNN221122222111114643结果表明，超静定结构中各杆件的内力与其刚度相关结果表明，超静定结构中各杆件的内力与其刚度相关FAFBABCFlab解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。BAxFFFF0FAABCF取静定基，求出杆内轴力：取静定基，求出杆内轴力：BANCBANACFFFFFF)(根据原结构的约束情况，有变形协调条件根据原结构的约束情况，有变形协调条件:)()(0)(0lFaFlFbFEAbFFEAaFEAbFEAaFEAdxFlBAAANCBNAClN即即:求

35、解得求解得:Fb/lFa/l- -+ +求求C 处的位移处的位移(水平位移水平位移)：)(lEAFbaEAaFlNACACCx注意：注意：Ax=l ，即变形变形，即变形变形协调条件可以用多余约束处的协调条件可以用多余约束处的约束条件表示；所有未知力也约束条件表示；所有未知力也都可用多余反力表示。从这一都可用多余反力表示。从这一点入手，可以导出求解超静定点入手，可以导出求解超静定问题的典型方法。问题的典型方法。CBACll变形协调条件也可表示为变形协调条件也可表示为一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求

36、C C 处的位移。处的位移。一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C C 处的位移。处的位移。FAFBABCFlab解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。解：杆件受共线力系作用，为一次超静定。X1ABCF取静定基，将与被解除的多余约束相应的反取静定基，将与被解除的多余约束相应的反力力(或内力分量或内力分量)作为基本未知量，且用作为基本未知量，且用 Xi 表表示，相应位移记示，相应位移记i。分别计算原有外力以及。分别计算原有外力以及每个基本未知量相应的单位力单独作用时的每个基本未知量相应的单位力单独作用

37、时的支反力和杆内轴力，并画出相应的内力图：支反力和杆内轴力，并画出相应的内力图：1110111oBoNCBoNACFBFNCBFNACFFFFFFFF011111111FFX利用平衡条件利用平衡条件:利用多余约束处的变形协调条件利用多余约束处的变形协调条件:+ +- -FNF ：F0N ：F11可得到关于基本未知量的方程，且方程数目可得到关于基本未知量的方程，且方程数目与基本未知量数目相同，这样的方程或方程与基本未知量数目相同，这样的方程或方程组称为原超静定问题的基本方程。组称为原超静定问题的基本方程。其中其中ij ij 是与是与Xj Xj 相应的单位力对位移相应的单位力对位移i i 的影响，

38、称为影响系数。的影响，称为影响系数。), 1()0(1niXiiFnjjij一、外力作用下的超静定问题一、外力作用下的超静定问题例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求例：求图示杆件的支反力，画出轴力图，并求C C 处的位移。处的位移。FAFBABCFlab解：一次超静定解：一次超静定X1ABCF分别计算各影响系数和自由项分别计算各影响系数和自由项1110111oBoNCBoNACFBFNCBFNACFFFFFFFF01111FXFb/lFa/l- -+ +求求C 处的位移处的位移(水平位移水平位移)：)(111EAlFablFbEAaXCxFCxCx代入方程求解得代入方程求解得+ +- -F

39、NF ：F0N ：F1EAlEAlFEAFbEAbFoNFNCBF1111)()(11111lFbXFlFbXAF)(111lFaXFXFFFoBFBBlFaFlFbFXFFFNCBNACoNFNN111二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆ABAB及两弹性杆件及两弹性杆件1 1 及及2 2 组成，两弹性杆的材料与横截面积组成，两弹性杆的材料与横截面积 A A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E = 210GPaE = 210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l =1.2l =1.210-5 oC -110-5 oC -1。试求当杆试求当杆1

40、 1的温度升高的温度升高T=50 oC T=50 oC 时时, ,杆杆1 1 和和 2 2的正应力。的正应力。 解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或解：随着温度的改变，物体会发生膨胀或收缩，即温度变形，对超静定结构收缩，即温度变形，对超静定结构,这种温这种温度变形会受到限制从而产生相应的应力度变形会受到限制从而产生相应的应力,称称为热应力为热应力(温度应力温度应力)。212130434NNNNCFFaFaFM变形协调条件及补充方程：变形协调条件及补充方程：平衡条件及平衡方程：平衡条件及平衡方程：)(3)(3)(33122121NlNNNlTFTEAFEAlFEAlFTlllBBAA变形分析：一

41、次超静定结构变形分析：一次超静定结构,假如没有杆假如没有杆2的的限制限制,杆杆1由于温度升高可自由伸长到由于温度升高可自由伸长到A1,而因而因杆杆2的限制的限制,实际伸长到实际伸长到A。FN2CAFRBFN1ACBa / 43a / 41l2ABA1B1二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆ABAB及两弹性杆件及两弹性杆件1 1 及及2 2 组成，两弹性杆的材料与横截面积组成，两弹性杆的材料与横截面积 A A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E = 210GPaE = 210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l =1.2l =1.210-5

42、oC -110-5 oC -1。试求当杆试求当杆1 1的温度升高的温度升高T=50 oC T=50 oC 时时, ,杆杆1 1 和和 2 2的正应力。的正应力。 解：解：213NNFF)( 312NlNFTEAFMPaPaAFMPaPaAFNN8 .371050102 . 11021034 .1131050102 . 110210959225911联立求解得：联立求解得：各杆内的热应力：各杆内的热应力：10310921TEAFTEAFlNlNFN2CAFRBFN1ACBa / 43a / 41l2ABA1B1二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆ABAB及两

43、弹性杆件及两弹性杆件1 1 及及2 2 组成，两弹性杆的材料与横截面积组成，两弹性杆的材料与横截面积 A A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E = 210GPaE = 210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l =1.2l =1.210-5 oC -110-5 oC -1。试求当杆试求当杆1 1的温度升高的温度升高T=50 oC T=50 oC 时时, ,杆杆1 1 和和 2 2的正应力。的正应力。 解：一次超静定问题，去掉多余杆件杆解：一次超静定问题，去掉多余杆件杆2 ，代之以未知内力代之以未知内力X，得到原结构的静定基。，得到原结构的静定基。XFMNC301变形协调条件、

44、基本方程：变形协调条件、基本方程：求静定基内力：以求静定基内力：以AB 杆为研究对象杆为研究对象EAXlEAXlTlEAXllEAlFllTllNXXBXlTTBT3333321112lBXBTBACBa / 43a / 41l2XCAFRBFN1BAC1X2XTBTl1XBXl2二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由刚性杆例：图示结构由刚性杆ABAB及两弹性杆件及两弹性杆件1 1 及及2 2 组成，两弹性杆的材料与横截面积组成，两弹性杆的材料与横截面积 A A 均相同，已知材料的弹性模量均相同，已知材料的弹性模量E = 210GPaE = 210GPa，线膨胀系数，线膨胀系数l =

45、1.2l =1.210-5 oC -110-5 oC -1。试求当杆试求当杆1 1的温度升高的温度升高T=50 oC T=50 oC 时时, ,杆杆1 1 和和 2 2的正应力。的正应力。 解：解：EAXlEAXlTll333求解得：求解得：MPaAFMPaAFTEAXFTEAXFNNlNlN4 .1138 .371033103112212ACBa / 43a / 41l2XCAFRBFN1BAC1X2XTBTl1XBXl2B03330EAXlEAXlTllBBBB而对超静定结构，各杆件的变形受到约束，而对超静定结构，各杆件的变形受到约束，一般会产生附加内力，相应的应力称为装配一般会产生附加内

46、力，相应的应力称为装配应力或初应力应力或初应力 。3211221213132121211232)sin(sin0)sin(sin)sin(sin0)sin(sinNNNNNNNNFFFFFFFFFF二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为E1A1 E1A1 、 E 2A 2E 2A 2和和E 3A 3 E 3A 3 ，因制造误差，杆因制造误差，杆3 3 比其应有的长度比其应有的长度 l l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：杆件制成后尺寸有微小误差是难免的。解

47、：杆件制成后尺寸有微小误差是难免的。在静定结构中在静定结构中,这种误差只会使结构形状略这种误差只会使结构形状略为改变，不会引起附加内力。为改变，不会引起附加内力。平衡条件：平衡条件：A 点为研究对象点为研究对象AA1l222311FN1FN2FN3A)sin(1sinsin)sin(sinsin)tan()sin(tansin211222221111333211221222111AElFAElFAElFllllNNNAxAxAxAyyx3211232121)sin(sin)sin(sinNNNNFFFF二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为例：图示结

48、构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为E1A1 E1A1 、 E 2A 2E 2A 2和和E 3A 3 E 3A 3 ，因制造误差，杆因制造误差，杆3 3 比其应有的长度比其应有的长度 l l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：解：变形协调条件：变形协调条件：即：即：AA1l222311AAA0AFN1FN2FN3A3lxAAxxAxAA)(sin)sinsin)(sin(2122212211221332123AElAElAElFNyx二、热应力二、热应力 初应力初应力例：图示结构由三根杆件组成，各杆的拉压刚度分别为例：图示结构由三根杆件组成，各杆

49、的拉压刚度分别为E1A1 E1A1 、 E 2A 2E 2A 2和和E 3A 3 E 3A 3 ，因制造误差，杆因制造误差，杆3 3 比其应有的长度比其应有的长度 l l 短了短了，试求在杆系装配好以后各杆的内力。，试求在杆系装配好以后各杆的内力。解：解：求解得：求解得：AA1l222311AAA0AFN1FN2FN3AlAEAEAEFN3321222212111222123)(sincossincossin)(sinlAEAEAEFlAEAEAEFNN33212222121112212123321222212111222211)(sincossincossinsin)sin()(sincossincossinsin)sin(（受拉）（受拉）（受压）（受压）2211co