飞行管理与交调的频率设计

1、西安交通大学 Xian Jiaotong University1.飞行管理问题飞行管理问题西安交通大学 在约1万米高空的某边长为160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行,区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时,记录其数据后,要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞,如果会碰撞,则应计算如何调整每架(包括新进入的)飞机飞行的方向角,以避免碰撞。现假定条件如下:(1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;(2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;(3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;(4)

2、进入该区域的飞机在到达区域边缘时与区域内 飞机的距离应在60公里以上;(5) 最多需考虑6架飞机;(6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。西安交通大学 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。并对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).飞机编号飞机编号横坐标横坐标X纵坐标纵坐标Y方向角方向角(度度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新进入新进入0052西安交通大学1.问题分析问题分析目的：不碰撞。手段：调整飞行方向角。要求：调整的幅度尽量小。求解思路：(1) 找出不碰

3、撞的条件。(2)求调整幅度的极小值。 建立优化模型。建立优化模型。西安交通大学题目的条件题目的条件(1) 飞机在正方形区域内水平飞行。(2) 飞机不碰撞的标准为二者距离大于8公里 。 根据 (1)可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 根据 (2)可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4公里为半径的圆状物体。 每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定。 这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题。两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可。 西安交通大学2.模型假设模型假设(1

4、) 飞机进入区域边缘时,立即作出计算,每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变;(2) 每架飞机在整个过程中至多改变一次方向;(3) 忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响);(4) 新飞机进入空域时,已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适,不会碰撞;(5) 对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的。西安交通大学3.模型的建立模型的建立(1) 圆状模型圆状模型 由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究。两圆不相交,则表明不会发生碰撞事故;若两圆相交,则表明会发生碰撞事故。 为了研究两飞机相撞问题,采用相对速度作为研究对象,因为飞机是否相撞的关键是相对速度。西安交通大学下图给出任意两

5、架飞机间的关系。西安交通大学图中符号含义如下: i,j 第i、第j架飞机的圆心;aij 第i架飞机与第j架飞机的碰撞角,是两圆的切线交角中指向圆的那个角的一半;vij第i架飞机相对于第j架飞机的相对飞行速度;lij第i架飞机与第j架飞机的圆心距;ij第i架飞机对于第j架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的交角。规定以第i架飞机为原点,ij连线从i指向j为正方向,逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角; AB、CD为两圆的公切线, mi/AB, nj/CD 西安交通大学 另外再引入记号:i 第i架飞机的飞行方向与直角坐标xoy中x轴正向的夹角(转角);xi 第i架飞机在坐标xoy中的位置矢量;vi 第

6、i架飞机的飞行速度矢量。 由图得到两飞机不相撞(两圆不相交)的充要条件是|ij|aij.当|ij|aij时,则通过调整两飞机的方向角i与i,使飞机不相撞。 西安交通大学(2) 决策目标决策目标 题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小,这个尽量小是针对每架飞机而言,同时也要求整体满意程度(即对管理层而言,应使每架飞机的调整都尽量的小). 构造目标函数时,可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言,其调整量可满意,则由假设(5)对其余飞机调整量均可满意。即要求每架飞机的调整量都小于某个数 故可取目标函数为 ,求其最小值 min 西安交通大学(3) 由圆状模型导出的方程由圆状模型导出的方程飞行方向角改变

7、量i 、j 相对飞行速度方向角ij的改变量ij讨论ij 与i 、j的关系。对飞行速度矢量vi ，由题目条件有，|vi=|vi=800 =A(km)飞行方向角为i用复数表示vi得。iiiAev西安交通大学记第i,j两架飞机飞行方向改变前的速度、两架飞机的相对速度分别为：,11111jiijijiivvvAevAevji飞行方向改变后的速度、相对速度分别为：222)(2)(2,jiijijiivvvAevAevjjii则相对飞行速度方向角的改变量ij由 得出。12/ijijvv西安交通大学定理定理 对第i,j架飞机,其相对速度方向的改变量ij等于两飞机飞行方向角改变量的平均值。2jiij故2122

8、sin2sinjiijijjiiijijevv则调整方向后两飞机不相撞的充要条件是： |ij + ij |aij.西安交通大学总结以上结果得如下优化模型 min (1) s.t.|ij+ ij |aij.,ij =（i +j） (2) |i |, i=16, (3) |i |30,i=16, (4) 0 30 (5) (4) 线性规划模型。 将上述优化模型进行化简,可转化为线性规划模型。西安交通大学|ij+ ij |aij可化为：ij+ ij aij 当ij0ij + ij -aij 当ij2aij -2 ij 当ij0 (7) i1 -i2 + j1 -j2 2 ij -2 aij 当ija

9、ij(即不会相撞)。 其中有些飞机对有|ij|-aij aij 0.01, 只须将模型中的ai用 ai0.01代替即可。 将调整后各量再代入模型进行计算得 min= 0即此时无需再调整。经模拟程序运行可观察动态结果是正确的。西安交通大学6. 6. 模型评价与推广模型评价与推广 此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的,同时采用相对速度作为判断标准,即体现了碰撞的本质(相对运动),又简化了模型的计算。 建模中用了适当的简化,将一个复杂的非线性规划问题简化为线性规划问题。既求到合理的解,又提高了运算速度。这对于解决高速运行的飞机碰撞问题是十分重要的。此模型对题目所提供的例子计算得出的结果是令人满意的

10、。(1) 简化模型中忽略了ij =0(即两架飞机迎面飞行)的情况。 ij =0时,可使用约束条件(7)式或(8)式求出最优解。比较此两组解可得最优解。西安交通大学(4) 模型中的约束条件数为 +4n=n(n+7)/2 (n是飞机数),n增大时,约束条件数是n的二次函数,计算量增加不大。 2nC西安交通大学数学建模的一些方法数学建模的一些方法1 1提问题法提问题法1）这个问题与什么问题相类似？2）改变问题的某些条件会怎样？3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？4）重新组合又会怎样？5）我们还可以做些什么工作？6) 还有没有需要进一步完善的内容？7）可否换一种数学工具来解决问题？西安交通大学 抓住

11、问题的关键词，然后不受约束的浮想联翩； 把联想到的内容记在卡片上。 通过对卡片上的内容琢磨，激发产生新的主意。 通过对这些卡片的整理，形成解决问题的初步思路。2 2 关键词联想法关键词联想法西安交通大学3 3 整体把握问题法整体把握问题法 将问题分为“三要素”，既初态、目标态和过程。初态：察觉到的现在状态。 “有什么”：如已知的条件、数据等。目标态：察觉到的希望目标。 希望什么、避免什么。 过程：在初态和目标态之间发生作用的行动。 “做什么” 形成研究对象的一个整体结构。形成研究对象的一个整体结构。西安交通大学 1.1.问题问题 1.1 1.1 背景背景 在通信工程中，信号的可靠性是至关重要的

12、，在信号的传输过程中，往往遇到噪声干扰，干扰可能来自系统的外部，也可能有系统本身的非线性输出过程产生。例如有一非线性系统：其输入与输出的关系是 (其中t是时间)，那么当输入是包含频率 的信号 时，输出y(t)中不仅包含输入信号而且还会出现 等新的频率成分,这些新的频率称为交调,如果交调的频率出现在原有频率 的附近，就会产生干扰。2(t)u(t)u (t)y12,ff12u(t)cos(2)cos(2)f tf t( ,1,2)ijff i j12,ff2.2.非线性交调的频率设计非线性交调的频率设计西安交通大学1.2 1.2 具体问题具体问题 现有一SCS(非线性)系统,其输入输出关系由如下一

13、组数据给出：其中A1=25，A2=10，A3=45式输入信号的振幅，对输入信号频率的设计要求为：112233( )cos(2)cos(2)cos(2)u tAf tAf tAf t1233640,4150,4655fff(1)(2) 输出中的交调均不得出现在 的范围内(i=1,2,3), 此范围称为 的接受带（如下图）5if if输入信号为:输入u0510203040506080输出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50西安交通大学(4) 不得出现在的 接收带内（ i,j=1，2，3，ij)(5)为简单起见， 只取整数值，且交调只考虑2阶类型 （即 ，

14、i,j=1，2，3）和3阶类型（即 ，i ，j，k=1，2，3）。(3) 定义输出的信噪比 （单位:dB），其中Bi是 输出中对应于频率为 的信号的振幅，Cn是某一频率为 的交调的振幅。若 出现在处 （i=1,2,3）,则 对应的SNR应大于10 分贝 。2210lginBSNRCifnfnf6niff ifjfijffifijkfff西安交通大学 3.1. 3.1. 问题分析问题分析交调交调什么是交调?交调是如何产生的?输入输出关系交调的阶?选择频率确定信噪比避免交调的影响西安交通大学交调及其阶交调及其阶)(2cos)(2cos21) 122cos21()(2cos2cos2cos)(212

15、1211212332211tkktkkAAtkAtutkAtkAtkAtuuk(t)可能产生可能产生k阶类型的交调阶类型的交调;西安交通大学1).不考虑系统外部的干扰。2).拟合出的输入输出关系，对输入信号 自变量u(t)为负的部分也是成立的。注注: 假设是论文研究中要用到的, 不要硬凑。 不要写题目明确给出的条件。 假设个数不要太多。 在研究过程中对假设进行修改。2.2.模型假设模型假设西安交通大学3.3.模型建立与求解模型建立与求解确定输入输出关系配置频率确定信噪比数据拟合理论分析、计算机计算系数的确定西安交通大学+xyy=f(x)(xi,yi)i数据拟合的一般提法为数据拟合的一般提法为:

16、 : 已知某函数y=f(x)的一组测量数据 (xi,yi)(i=1,2,n),要寻求一个函数g(x),使g(x)与上述测量数据在某种准则下最为接近。 即g(xi)yi,则可以用g(x)近似代替f(x)。西安交通大学221111,. ,( ) ()()iiinnmiiiikkiiiiixywing xsw g xywa gxy 给定一组数据（ ， ），权系数 ，求一广义多项式，使达到极小。1 1 线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合00( )( )( ),mkkmkkkgxg xa gx设是 线 性 无 关 的 函 数 系称 为 广 义 多 项 式 问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2, am

17、使使 s 最小最小。 因为a1,a2, am 都以线性形式出现,故称此方法为线性最小二乘拟合。权系数wi根据需要可灵活选择。西安交通大学111110(1,2,. )()()0()()(),(1,2,. )knmijjiikiijmnnijikijiikijiikmawa gxy gxw gx gxaw y gxkm s由 得整理得0( )mkkgx 上方程称为正规方程组. 对于给定的测量数据,只要函数系 选得合适,就可以从正规方程组中解出a1,a2, am .西安交通大学2.2.多项式插值拟合：多项式插值拟合：101,. ,( )( )iinkkkiixying xa xg xy给定一组数据（

18、 ， ），求一多项式，使3.3.样条函数拟合样条函数拟合( (略略) )西安交通大学g(x)=a1g1(x)+ +amgm(x)中函数中函数gg1 1(x), g(x), gm m(x)(x)的选取的选取 1. 1. 通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 g(x)g(x)；+g=a1+a2xg=a1+a2x+a3x2g=a1+a2x+a3x2g=a1+a2/xg=aebxg=ae-bx 2. 2. 将数据将数据 (xi,yi) i=1, n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 g(x)： 3. 3. 取取g(x)为为x 的多项式函数的多项式函数西安交通大学 (

19、1).输入输出关系的确立输入输出关系的确立 根据题目给出的数据条件,首先要确定输入 输出的函数关系.这是一个数据拟合问题。 由于交调是因为输入u(t)的乘方产生的.故此处用多项式拟合输入输出关系是恰当的。输入u0510203040506080输出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50用什么函数拟合？西安交通大学 那么,我们试用不同次数的多项式进行拟合来比较,结果发现: 用4次的多项式进行拟合时,拟合出的多项式,其次数4的项的系数非常小(10),以致不会对结果产生影响。 故用三次多项式进行拟合已达到精度了。 uk(t)可能产生k阶类型的交调; 题目要求考

20、虑二阶和三阶类型的交调; 故最高次数必定3。拟合多项式的最高次数是多少? 注注: 拟合函数一般只对内插有效拟合函数一般只对内插有效, 外推一般不可靠。外推一般不可靠。西安交通大学设拟合多项式为:230123 y(t)=a( )( )( )au ta u ta u t 在所给的数据中有u=0时,y=0.故选取a0=0较好。于是拟合多项式化为:23123 y(t)=( )( )( )a u ta uta u t(3.1)(3.2)112233 y= xxxaaa 用线性最小二乘拟合，对y(t)进行三元回归确定系数。记23123,xu xuxu(3.3)则(3.2)式变为 西安交通大学2i11i22

21、i33i1 (y xxx) ,9niSaaan令123,a a a求 使S为最小。由 ，得正规方程组:0,1,2,3iSia211212313111112121223232111121312323331111,nnnniiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiinnnniiiiiiiiiiiaxax xax xx yax xaxax xx yax xax xaxx y西安交通大学1230.24409 0.045383 -0.00041327aaa解得： 高阶误差为2.6716e-007，故三阶拟合是比较精确的。得输入输出关系式为： 010203040506070800102030405

22、06070809010023( )0.24409 ( )0.045383( )0.00041327( ) y tu tu tu t拟合曲线如图：拟合曲线如图：(3.4)西安交通大学也可以用也可以用Mathematica求出求出拟合函数：拟合函数： 函数形式函数形式 功能功能 . . Fitdate，funs，vars 用变量为vars,函数类为funs,按 最小二乘法拟合一组数据date程序：程序：date = 0, 0, 5, 2.25, 10, 6.80, 20, 20.15, 30, 35.70, 40, 56.40, 50, 75.10, 60, 87.85, 80, 98.50Fit

23、date, u, u2, u3, u结果：结果：0.244091 u + 0.0453829 u2 - 0.000413273 u3西安交通大学假设： 输入输出关系(3.4)对u(t)为负的部分也是成立。1,1,2,32, ,1,2,33, , ,1,2,3iijijkf iffi jfffi j k阶:阶:阶:(2) (2) 频率约束条件下的初步配置频率约束条件下的初步配置 将输入代入(3.4)式，经整理得到输出y(t)的频率成分有以下几种:31( )cos(2)kkku tAf t(3.5)输入西安交通大学1223640,4150,46556, ,1,2,36, , ,1,2,36 ,1,

24、2,3ijkijkmijffffffi j kffffi j k mffi j 由约束条件（1），（2）,（4）得如下不等式组：(3.6) 直接用计算机求解满足上述条件的频率组，计算量较大。先化简。因为：333776,1,2,3196 ,1,2,36, ,1,2,3ijijijkfffi jfffi jffffi j k 西安交通大学故约束条件只剩下3阶交调一部分：1223640,4150,4655( , )2( , , ) ijijkfffd i jffijg i j kfffijk (3.7) 用计算机求解满足（3.7）的频率组。具体作法是: 采用穷举法,逐一选出满足（3.7）式的频率组(

25、在计算过程中,不妨设f1f210 (B)。因此,需从上述6组解中,进一步求出满足SNR要求的解。西安交通大学1231233333311133331113(33, ,1 , ,1(cos )(cos )(cos )()()()222()2jjikkijkiijjkkijkIIIIII iijkijkI vvvijkv v vi j kyaAAAeeeeeeaAAAaAAAe 将y3表为复数形式1 12233123123(33,3()2i nnnnnnnnnayCe y3为周期函数，可将其展为Fourier级数：3 31 12 2123,31231 1 12 2 2InInInn n nCyeee

26、d d d 西安交通大学于是y3中对应于单频率成份i的系数是)(,)(,)(,31, 0, 01 , 0, 020, 1, 00, 1 , 010, 0, 10, 0, 1fCCfCCfCC对应对应对应归纳为一般形式： y3中对应于单频率成份i的系数Cn1, n2 , n3满足 n1+ n2 + n3 1,且|n1|+| n2| +| n3| 1类似地得,y3中对应于频率成份2i-j,i+j-k的系数Cn1, n2 , n3满足 n1+ n2 + n3 1,且|n1|+| n2| +| n3| 3.西安交通大学0, 0, 10, 0, 12312213133123)(1,31,330, 0,

27、1)663(22)2(11321321CCAAAAAadddeeAAAaCIvvvIvvvkjikjikji 故y3中对应于1的系数是：)663(422312213130, 0, 10, 0, 1AAAAAaCD得对应于频率f1的振幅为:)663(4231221313111AAAAAaAaB计算信噪比中所需频率的振幅。西安交通大学22133123)2()(1,31,330, 1, 2322)2(121321321AAadddeeAAAaCIvvvIvvvkjikjikji 22130, 1, 20, 1, 2432AAaCD得对应于频率2f1-f2的振幅为:类似得对应于频率f1+f2-f3的振

28、幅为:32131, 1 , 143AAAaD西安交通大学归纳得y(t)中有关频率的振幅为:1对应于频率fi的振幅Bi(i=1,2,3)为)()663(422331ikjAAAAAaAaBkijiiii2对应于频率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.ji)为jiAAa23433对应于频率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.ijk)的振幅为：321323AAAa 将上述各种频率的振幅用于(2)中求出的满足频率约束条件的6组配置,分别计算出有关的信噪比SNR,检验是否SNR10(dB).最终求出满足条件的解有二组: (36,42,55), (35,49,55)西安交通大学4.4.稳定性分析稳定

29、性分析(1) 解关于拟合多项式系数的稳定性解关于拟合多项式系数的稳定性 由前可以看出，拟和多项式的系数不会影响交调频率的改变，但各种频率的振幅将随拟和多项式的系数发生变化。故须讨论拟合多项式系数变化时对信噪比的影响，即当拟和多项式的系数在什么范围变化时，设计频率的解具有不变性(原解仍为解,非解仍为非解)。33221)()()()(tuatuatuaty设另一个拟和多项式为：西安交通大学类似得 中有关频率的振幅为:1对应于频率fi的振幅Bi(i=1,2,3)为)()663(422331ikjAAAAAaAaBkijiiii2对应于频率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.ji)为jiAAa23433对应于频率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.ijk)的振幅为：321323AAAa)(ty 计算有关的信噪比,并使1,2组频率仍为解,36组频率仍为非解。即可得 的变化范围, 在此范围内解是稳定的。321,aaa西安交通大学22323232322322232132322213222221321