三角函数恒等变形小结

1、三角函数、三角恒等变形三角函数、三角恒等变形 小结与复习小结与复习1、同角三角函数的基本关系式：、同角三角函数的基本关系式：cossintan22cossin1(2) 商数关系：商数关系：(1) 平方关系：平方关系：【基本公式【基本公式】3、两角和与差的三角函数公式：、两角和与差的三角函数公式： ) cos( sinsincoscos ) sin( sincoscossin ) tan(.tantan1tantan 4、二倍角公式：、二倍角公式： cossin2 sin2 22sincos cos21cos22 2sin21 2tan1tan2 tan2升降幂公式：升降幂公式： 2cos22c

2、os1 2sin22cos1 5、半角公式：、半角公式：2cos12sin2cos12coscos1cos12tancos1sin2tansincos12tan12tan2sin2 2tan12tan1cos22 2tan12tan2tan2 万能公式：万能公式：xbxacossin 22ba )cossin(2222xbabxbaa 22ba )cossinsin(cosxx 22ba . )sin( xtan, ).ba ba 其其中中由由（的的象象限限共共同同确确定定)sin(cossin22 xbaxbxa6 6、辅助角公式、辅助角公式7、积化和差、和差化积公式：、积化和差、和差化积公

3、式：1sincossin()sin()2；1cossinsin()sin()2；1coscoscos()cos()2；1sinsincos()cos().2 ；2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin；2cos2cos2coscos.2sin2sin2coscos1,1 1,1 奇函数奇函数 偶函数偶函数 2 2 2 R R R 【三角函数的图象及性质【三角函数的图象及性质】222k,2k,()kZ3222k,2k,()kZ2k,2k ,()kZ2k ,2k,()kZ2,()xkkZ 0(, ),()kkZ ,()xkkZ 02(, ),()kkZ 正余弦函数的图象及性质

4、正余弦函数的图象及性质R 正切函数的图象及性质正切函数的图象及性质02(, ),()kkZ 的图象及性质sin()yAx定义域值域图象变换奇偶性周期性单调性对称性1理解三角函数中的理解三角函数中的4个个“三三”：（1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍、半角）同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、倍、半角）.（2）从问题层面看：三角变换三大问题）从问题层面看：三角变换三大问题求值、化简、证明求值、化简、证明.（3）从方法层面看：）从方法层面看：“三个统一三个统一”解决三角函数问解决三角函数问题时要从题时

5、要从“统一角度、统一函数名、统一运算结构统一角度、统一函数名、统一运算结构”方方面思考，这也是审题、解题的算法基础面思考，这也是审题、解题的算法基础.（4）从算法层面看：使用公式的三重境界）从算法层面看：使用公式的三重境界顺用、逆用、变用顺用、逆用、变用.【知识导析【知识导析】 2理解三角恒等变换与代数变换的区别理解三角恒等变换与代数变换的区别. 3归纳并掌握三角恒等变换在研究相关函数性质时归纳并掌握三角恒等变换在研究相关函数性质时的方法流程的方法流程. 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有对于三角变换，由于不同

6、的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点 4由于向量与三角函数之间天然的联系，注意收集由于向量与三角函数之间天然的联系，注意收集并积累向量与三角函数交汇的问题并积累向量与三角函数交汇的问题.例例1. 设设.)cos(,20,2,32)2sin(,91)2cos(的值的值求求且且 ,2)2()

7、2( 分析分析:.12cos2)cos(2 解：解：,20,2 ,224,24 )2(cos1)2sin(2 ,954 )2(sin1)2cos(2 ,35 )2()2cos(2cos )2sin()2sin()2cos()2cos( 329543591 .2757 12cos2)cos(2 .729239 例例2. 已知：已知：2sincos2sinsincossin ，求证：求证：1cos2cos2 .2 证明：证明： 由由得得22(sincos )4sin ，sincos2sin ，即即212sincos4sin ，2sincossin ，又又2212sin4sin ，即即1cos21c

8、os212422 ，1cos2cos2 .2 变式：变式： 已知已知，2sin44cos3yxyx求证：求证：.22121 yx证明：证明：，2sin44cos3yxyx由由得得22sin44cos3x22sin44cos3y222sin44cos1x222sin44cos1y222sin42sin22222sin42sin2212sin22sin212sin22sin22)2sin1(2)2sin1()2sin1()2sin1(2121yx.2；）函数的单调减区间）函数的单调减区间；（；（）函数的周期）函数的周期（；函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值时，时，）当）当（：，求，求，已知已

9、知32441sincossin32cos322 xRxxxxxy22cos12sin322cos13xxxy 22cos2sin3 xx解：解：2)2cos212sin23(2 xx2)62sin(2 x， 44)1( x. 32362 ， x. 123)62sin(， x，32min y.4max y？经过怎样的变化得到的经过怎样的变化得到的函数的图象是函数函数的图象是函数）（xysin4 3 32 例例3：)(22362223Zkkxk ）由）由（）（得得Zkkxk 326 xxxxy22sincossin32cos3 函数函数. )(326Zkkk ，减区间：减区间：；原函数周期为原函数

10、周期为 22)2(T2)62sin(2 xy由（由（1）知：）知：向左平移向左平移/6/6个单位长度个单位长度第第1步步: y=sinx 的图象的图象 y=sin(x + )的图象的图象6 纵坐标不变纵坐标不变各点的横坐标缩短到原来的各点的横坐标缩短到原来的1/21/2倍倍横坐标不变横坐标不变第第2步步: y=sin(x+ )的图象的图象 y=sin(2x+ )的图象的图象6 6 ？经过怎样的变化得到的经过怎样的变化得到的函数的图象是正弦函数函数的图象是正弦函数）（xysin4 各点的纵坐标伸长到原来的各点的纵坐标伸长到原来的2 2倍倍各点沿各点沿y y轴向上平移轴向上平移2 2个单位长度个单

11、位长度知：知：由原函数由原函数2)62sin(2 xy第第3步步: y=sin(2x+ )的图象的图象 y=2sin(2x+ )的图象的图象6 6 第第4步步: y=2sin(2x+ )的图象的图象 y=2sin(2x+ )+2的图象的图象6 6 向左平移向左平移/12/12个单位长度个单位长度第第1步步: y=sinx 的图象的图象 y=sin2x 的图象的图象第第2步步: y=sin2x的图象的图象 y=sin(2x+ )的图象的图象6 纵坐标不变纵坐标不变各点的横坐标缩短到原来的各点的横坐标缩短到原来的1/21/2倍倍？经过怎样的变化得到的经过怎样的变化得到的函数的图象是正弦函数函数的图

12、象是正弦函数）（xysin4 知：知：由原函数由原函数2)62sin(2 xy横坐标不变横坐标不变各点的纵坐标伸长到原来的各点的纵坐标伸长到原来的2 2倍倍第第3步步: y=sin(2x+ )的图象的图象 y=2sin(2x+ )的图象的图象6 6 各点沿各点沿y轴向上平移轴向上平移2 2个单位长度个单位长度第第4步步: y=2sin(2x+ )的图象的图象 y=2sin(2x+ )+2的图象的图象6 6 方法方法2： 例例4. 已知已知:).0(cossin2sin ，y,cossin t令令.的最大值和最小值的最大值和最小值求出求出 y解：解：，)0(cossincossin2 y cos

13、sin212 t则则 2sin1 ，212sint tttf 21)(45)21(2 t)4sin(2cossin t又又， 0，4344 1)4sin(22 21， t，上上是是增增函函数数在在又又21,145)21()(2 ttf，上是减函数上是减函数在在2,21，1)1( f，45)21( f，12)2( f，)21()2()1(fff .145minmax yy，xyO4 43 例例5.设关于设关于x的函数的函数12cos2sin22 axaxy的最小值为的最小值为 f(a)， (1) 写出写出 f(a)的表达式；的表达式；(2)试确定能使试确定能使21)( af的的a的值的值,并求此

14、时函数并求此时函数y的最大值的最大值.解：解：，224)2(cos222 aaax.1,1 t时，时，即，即当当212 aa1222min aay时，时，即，即当当22121 aa，2242min aay时，时，即，即当当212 aa1222min aay1 a41 )2(41)22(224)2(1)(2aaaaaaaf)12(cos2cos2)1(2 axaxy令令,cos xt 则则，224)2(222 aaaty解：解：时，时，当当2 a1)( af.无解无解时，时，当当22 a224)(2 aaaf21 即即0342 aa解得：解得：31 aa或或(舍舍)时，时，当当2 aaaf41)

15、( 21 21 解得：解得：81 a(舍舍)综上所述综上所述:时，时，1 a，21)21(cos22 xy, 1,1cos x时，时，当当1cos x即即时，时，)(2Zkkx .5max y )2(41)22(224)2(1)(2aaaaaaaf由（由（1）知：）知： 例例6. 把一段半径为把一段半径为R的圆木锯成截面为矩形的木料，的圆木锯成截面为矩形的木料，怎样锯法能使截的面积最大？怎样锯法能使截的面积最大？ABCD解：解： 如图设矩形长为如图设矩形长为 x ，宽为，宽为 y , 则则xyS矩形矩形222)2( Ryx)4(222222xRxyxS矩形矩形2244xRx 42224)2(R

16、Rx当当222Rx 即即Rx2时，时，矩形面积最大矩形面积最大. 此时此时，yRx2答：答：圆木截面为正方形时，截的面积最大圆木截面为正方形时，截的面积最大.R2另解：另解： 如图设如图设， DBC则则， sin2cos2RCDRBC CDBCS矩形矩形 sincos42R 2sin22R 当当12sin 即即 902 时，时， 45 矩形面积最大矩形面积最大. 此时此时答：答：圆木截面为正方形时，截的面积最大圆木截面为正方形时，截的面积最大.CDBC ABCDR2,12sin .22RS矩形矩形 巩固练习巩固练习.有一块半径为有一块半径为1，圆心角为，圆心角为60的扇形钢板，的扇形钢板，从这

17、个扇形中切割下一个矩形，即矩形的各个顶点都在从这个扇形中切割下一个矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积.OAB解：解：如图扇形如图扇形AOB, 由题意矩形的截法有两种由题意矩形的截法有两种. （1）内接矩形的一边在扇形的半径上时）内接矩形的一边在扇形的半径上时.（2）内接矩形有两个顶点在扇形的弧上时）内接矩形有两个顶点在扇形的弧上时. QPRSOABPQRS，设设 AOPOROSRSPS ，则则 sin sin33cos RS PQRSSRSPS 2sin33cossin 22cos1332sin21 632cos632sin21 63)2cos212sin23(33 63)302sin(33 30 .63max ）（PQRSSOABQPRS（1）23090 当当即即时，时，060 ，30230150 . （2）OABPQRSMNT设设,POM sincos ,MPOM ，则则 由对称性，由对称性， tan30NSON 3MP 3NS 3sin , MNOMONcos3sin,PS 2PQRSSMP PS2sin(