高中数学必修5复习课件第31讲(必修5)三角形中的三角函数

1、1.能熟练利用正弦定理、余弦定能熟练利用正弦定理、余弦定理将三角形的边角转化理将三角形的边角转化.2.掌握三角形形状的判断，三角掌握三角形形状的判断，三角形内三角函数的求值及三角恒等式形内三角函数的求值及三角恒等式的证明的证明.1.ABC中中,已知已知sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,则三角形的形则三角形的形状是状是( )DA.等边三角形等边三角形 B.等腰三角形等腰三角形C.直角三角形直角三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形 由由sin2A=sin2B+sin2C,得得a2=b2+c2.所以所以ABC为直角三角形，为直角三角形，A=90，由由sinA=2s

2、inBcosC，得，得2sin2B=1.因为因为B为锐角，所以为锐角，所以sinB= ,从而从而B=45，C=45，所以所以ABC为等腰直角三角形，故选为等腰直角三角形，故选D.222.在锐角在锐角ABC中，已知中，已知cosA= , sinB= ,则则cosC的值是的值是( )B51335A. B. C. 或或 D.-56651665166556651665 因为因为cosA= ,sinB= ,所以所以sinA= = ,cosB= = ,所以所以cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=- + = .5133521 cos A121321 sin

3、 A455134512133516653.在在ABC中中,设命题设命题p: = = ,命命题题q:ABC是等边三角形，则命题是等边三角形，则命题p是命题是命题q的的( )CsinaBsinbCsincAA.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 p: = = ，由正弦定理由正弦定理 = = ，所以所以sinA=sinB=sinC,所以所以A=B=C a=b=c,故选故选C.sinaBsinbCsincAsinaAsinbBsincC4.在在ABC中，三个内角满足中，三个内角满足2A=B+C，且，且最大边与

4、最小边分别是方程最大边与最小边分别是方程x2-12x+32=0的两根，则的两根，则ABC外接圆的面积为外接圆的面积为( )AA.16 B.64C.124 D.156 由方程由方程x2-12x+32=0，解得，解得x=4或或x=8,不妨设不妨设b=8,c=4,因为因为2A=B+C,所以所以A+B+C=3A=180,A=60,由余弦定理得，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos60=64+16-284 =48.所以所以a=4 .由正弦定理，得由正弦定理，得2R=asinA= =8,R=4,所以所以S圆圆=R2=16,故选故选A.1234 3325.ABC中，已知中，已知a=x,b=2,B=4

5、5,若解此三若解此三角形有两解角形有两解,则则x的取值范围是的取值范围是 .(2,2 )2 sinA= x= x,因三角形有两解，因三角形有两解，所以所以45A2,且且 x1,解得解得2xb2+c2,或或90A180;(4)锐角三角形：若锐角三角形：若a为最大边，且满足为最大边，且满足a2b2+c2或或A为最大角，且为最大角，且0A90.2.在在ABC中常用的一些基本关系式中常用的一些基本关系式(1)A+B+C= ;(2)sin(B+C)= ,cos(B+C)= ，tan(B+C)= ;(3)sin = ;(4)cos = ;(5)tanA+tanB+tanC= .sinA-cosA-tanA

6、2BC2BCcos2Asin2AtanAtanBtanC例例1 在在ABC中，中，A、B、C所对的边长分所对的边长分别为别为a、b、c，且满足，且满足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，试判断，试判断ABC的形状的形状. (方法一方法一)化成角的关系求解化成角的关系求解.由条件可得，由条件可得，a2sin(A-B)-sin(A+B)=-b2sin(A+B)+sin(A-B).利用和差角公式展开利用和差角公式展开,得得a2cosAsinB=b2sinAcosB,由正弦定理由正弦定理,上式化为上式化为sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.因为因为sinAsin

7、B0，所以，所以sinAcosA=sinBcosB,即即sin2A=sin2B,因为因为A、B为三角形的内角，为三角形的内角，所以所以A=B,或或A+B= ，故故ABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.2(方法二方法二)化为边的关系求解化为边的关系求解.由条件由条件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,可得可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c(a2+b2)( - )=(a2-b2)c(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2a2+b2=c2或或a=b.故故ABC的形状为直角三角形或等腰三角形的形状为直角三角形或等腰三角形.222

8、2acbc2222bcac三角形中的恒等式或三角形的形三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般一般考虑两个方向进行变形，一个方向是考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路是角，走三角变形之路.例例2 在在ABC中，中，已知已知sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0，求角求角A、B、C的大小的大小. (方法一方法一

9、)由由sinA(sinB+cosB)-sinC=0，得得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0，所以所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即即sinB(sinA-cosA)=0.因为因为B(0,)，所以，所以sinB0，从而，从而cosA=sinA,由由A(0,)，知，知A= ，从而，从而B+C= ,由由sinB+cos2C=0，得，得sinB+cos2( -B)=0,即即sinB-sin2B=0,亦即亦即sinB-2sinBcosB=0.由此得由此得cosB= ,B= ,C= ,所以所以A= ，B= ，C= .43434123512

10、43512(方法二方法二)由由sinB+cos2C=0，得，得sinB=-cos2C=sin( -2C).由由0B、C,所以所以B= -2C或或B=2C- ,即即B+2C= 或或2C-B= ,由由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,所以所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,32322322即即sinB(sinA-cosA)=0.因为因为sinB0，所以，所以cosA=sinA,由由A(0,),知知A= ，从而从而B+C= ,知知B+2C= 不合要求，不合要求，再由再由2C-B= ，

11、得，得B= ，C= ，所以所以A= ，B= ，C= .434322351243512 本题主要考查三角形问题等知识，本题主要考查三角形问题等知识，关键是运用关键是运用sin(A+B)=sinC代换及解题方向代换及解题方向的确定的确定.例例3 有一块半径为有一块半径为1 m,中心角为中心角为 的扇的扇形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形形铁皮材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形上，然后作其最大的内接矩形上，然后作其最大的内接矩形.请求出最请求出最大面积大面积.3 如图，设如图，设COB=(0 ),则则BC=sin=AD,OB=cos.又又

12、 =tan ,所以所以OA= AD= sin，所以所以AB=cos- sin,则则S矩形矩形ABCD=sin(cos- sin)= sin2+ cos- = sin(2+ )- ,当当sin(2+ )=1,即即= 时，时，矩形面积取最大值矩形面积取最大值 m2.ADOA3333333333123636336366636 与圆相关的最值问题，常设角参与圆相关的最值问题，常设角参数（注意范围），把题目中出现的边数（注意范围），把题目中出现的边角用含角的三角函数表示，再转化求角用含角的三角函数表示，再转化求三角函数的最值三角函数的最值.其中确定是什么样的其中确定是什么样的三角形，用哪些定理或哪些边角

13、关系，三角形，用哪些定理或哪些边角关系，列出等式或不等式是关键列出等式或不等式是关键.1.解斜三角形问题往往用到正弦定理与余解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是弦定理以及三角变换，解题时角度的选取是关键关键.并关注角的取值范围并关注角的取值范围.如已知两边及其中如已知两边及其中一边的对角解三角形，要注意解的情况一边的对角解三角形，要注意解的情况.2.对于解斜三角形的实际应用问题，要理对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，把实际问题转意图，抽象或构造出三角形，把实际问题转化为解三角形，要明确先用哪个公式或定理，化为解三角形，要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法先求哪些量，确定解三角形的方法.在演算过在演算过程中，要算法简练，算式工整、计算正确，程中，要算法简练，算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求还要注意近似计算的要求.对于实际应用问题中的有关名词、术语、对于实际应用问题中的有关名词、术语、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，正确画出