有界磁场问题

1、带电粒子在有界磁场中运带电粒子在有界磁场中运动的临界条件确定方法动的临界条件确定方法 物理系统由于某种原因而要发生物理系统由于某种原因而要发生突变时所处的状态，叫临界状态。突变时所处的状态，叫临界状态。突变过程是从量变到质变的过程，突变过程是从量变到质变的过程，在临界状态的前后，系统服从不在临界状态的前后，系统服从不同的物理规律，按不同的规律变同的物理规律，按不同的规律变化。如光学中的化。如光学中的“临界角临界角”、超、超导现象中的导现象中的“临界温度临界温度”、核反、核反应中的应中的“临界体积临界体积”、光电效应、光电效应中的极限频率、静摩擦现象中的中的极限频率、静摩擦现象中的最大静摩擦力等

2、，最大静摩擦力等， 在中学物理中像这样的明确地指在中学物理中像这样的明确地指出的临界条件是容易理解和掌握出的临界条件是容易理解和掌握的，但在高考试题中涉及的物理的，但在高考试题中涉及的物理过程中常常是隐含着一个或几个过程中常常是隐含着一个或几个临界状态，需要考生通过分析临临界状态，需要考生通过分析临界条件，挖掘出临界值，这对大界条件，挖掘出临界值，这对大多数考生来说是比较困难的。而多数考生来说是比较困难的。而带电粒子在有界磁场中运动的临带电粒子在有界磁场中运动的临界问题是历年高考理科综合命题界问题是历年高考理科综合命题中的热点。中的热点。 一对称法一对称法 带电粒子垂直射入磁场后，将作匀速圆带

3、电粒子垂直射入磁场后，将作匀速圆周运动。分析粒子运动，会发现它们具有周运动。分析粒子运动，会发现它们具有对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入对称的特点，即：粒子的运动轨迹关于入射点射点P与出射点与出射点Q的中垂线对称，轨迹圆的中垂线对称，轨迹圆心心O位于对称线上，入射速度、出射速度位于对称线上，入射速度、出射速度与与PQ间的夹角（也称为弦切角）相等，间的夹角（也称为弦切角）相等，并有并有 如图所示，应用这一粒子运动中的如图所示，应用这一粒子运动中的“对称对称性性”不仅可轻松地画出粒子在磁场中的运不仅可轻松地画出粒子在磁场中的运动轨迹，对于某些临界问题的求解也非常动轨迹，对于某些临界问题的求解也

4、非常便捷。便捷。t2 例例1（2001年全国高考物理试年全国高考物理试题题18题）如图所示，在题）如图所示，在y0，0 x0，xa的区域的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为两区域内的磁感应强度大小均为B。 在在O点出有一小孔，一束质量为点出有一小孔，一束质量为m、带电、带电量为量为q（q0）的粒子沿）的粒子沿x周经小孔射入磁周经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值。已知速度最大一最大值之间的各种数值。已

5、知速度最大的粒子在的粒子在0 xa的区域中运动的时间之比为的区域中运动的时间之比为25，在，在磁场中运动的总时间为磁场中运动的总时间为7T/12，其中，其中T为该为该粒子在磁感应强度为粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆的匀强磁场中做圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。范围（不计重力的影响）。 解：对于解：对于y轴上的光屏亮线范围轴上的光屏亮线范围的临界条件如图的临界条件如图1所示：带电粒所示：带电粒子的轨迹和子的轨迹和x=a相切，此时相切，此时r=a，y轴上的最高点为轴上的最高点为y=2r=2a ; 对于对于 x轴上光屏亮线范围的

6、临界条件轴上光屏亮线范围的临界条件如图如图2所示：左边界的极限情况还是所示：左边界的极限情况还是和和x=a相切，此刻，带电粒子在右边相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到在的轨迹是个圆，由几何知识得到在x轴上的坐标为轴上的坐标为x=2a;速度最大的粒子速度最大的粒子是如图是如图2中的实线，又两段圆弧组成，中的实线，又两段圆弧组成，圆心分别是圆心分别是c和和c 由对称性得到由对称性得到 c在在 x轴上，设在左右两部分磁场中运动轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为时间分别为t1和和t2,满足满足1225tt12712ttT 解得解得 由数学关系得到：由数学关系得到： 代入数据得

7、到：代入数据得到： 所以在所以在x 轴上的范围是轴上的范围是116tT2512tT32RaOP=2a+R3OP=2(1+)3a32ax2(1+)3a 三平移法三平移法 带电粒子以一定的速度沿任意方带电粒子以一定的速度沿任意方向射入匀强磁场时，它们将在磁向射入匀强磁场时，它们将在磁场中作匀速圆周运动，其轨迹半场中作匀速圆周运动，其轨迹半径相同，若射入初速度为径相同，若射入初速度为v0，则，则圆周运动半径为圆周运动半径为 ，如图所示。，如图所示。同时可发现这样的粒子源的粒子同时可发现这样的粒子源的粒子射磁场后，粒子在磁场中作匀速射磁场后，粒子在磁场中作匀速圆周运动圆心在以入射点圆周运动圆心在以入射

8、点P为圆为圆心、半径心、半径 的圆（这个圆在的圆（这个圆在下面的叙述中称为下面的叙述中称为“轨迹圆心轨迹圆心圆圆”）上。）上。qBmvR0qBmvR0 由此我们也可得到一种确定临界条件由此我们也可得到一种确定临界条件的方法：确定这类粒子在有界磁场中的方法：确定这类粒子在有界磁场中运动的临界条件时，可以将一半径为运动的临界条件时，可以将一半径为 的圆沿着的圆沿着“轨迹圆心圆轨迹圆心圆”平移，从而平移，从而探索出临界条件，这种方法称为探索出临界条件，这种方法称为“平平移法移法”。qBmvR0 例例5（04年全国高考物理广东广西年全国高考物理广东广西卷卷18题）如图所示，真空室内存在题）如图所示，真

9、空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内，磁场内有一块平面感光板有一块平面感光板ab，板面与磁场方，板面与磁场方向平行，在距向平行，在距ab的距离的距离L=16cm处，处，有一个点状的有一个点状的放射源放射源S，它向各个方，它向各个方向发射向发射粒子，粒子，粒子的速度都是粒子的速度都是v=3.0106m/s，已知，已知粒子的电荷与粒子的电荷与质量之比质量之比 ，现只考虑在图纸，现只考虑在图纸平面中运动的平面中运动的粒子，求粒子，求ab上被上被粒子粒子打中的区域的长度。打中的区域的长度。kgCmq7100

10、 . 5 解析解析：粒子从粒子从S点垂直磁场以点垂直磁场以一定大小的速度朝各个方向射入，一定大小的速度朝各个方向射入，在磁场中沿逆时针方向做匀速圆在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，可求出它们的运动轨迹周运动，可求出它们的运动轨迹半径半径R，由，由 得：得： 代入数值得代入数值得R=10cm，可见，可见2RLRRvmqvB2BmqvR 由于朝不同方向发射的由于朝不同方向发射的粒子粒子的圆轨迹都过的圆轨迹都过S，可先考察速，可先考察速度沿负度沿负y轴方向的轴方向的粒子，其粒子，其轨迹圆心在轨迹圆心在x轴上的轴上的A1点，将点，将粒子运动轨迹的圆心由粒子运动轨迹的圆心由A1点点开始，沿着开始，沿着

11、“轨迹圆心圆轨迹圆心圆”逆时针方向移动，如图所示。逆时针方向移动，如图所示。 由图可知，当轨迹圆的圆心移由图可知，当轨迹圆的圆心移至至A3点时，粒子运动轨迹与点时，粒子运动轨迹与ab相交处相交处P2到到S的距离为的距离为2R，P2即为粒子打中即为粒子打中ab上区域的右边上区域的右边最远点。由图中几何关系得：最远点。由图中几何关系得：2222LRNP 当当粒子的轨迹的圆心由粒子的轨迹的圆心由A3点移至点移至A4点的过程中，粒子运动轨迹均会与点的过程中，粒子运动轨迹均会与ab相交，当移到相交，当移到A4点后将不再与点后将不再与ab相交相交了，这说明圆心位于了，这说明圆心位于A4点的轨迹圆，点的轨迹

12、圆，与与ab相切的相切的P1点为粒子打中区域的左点为粒子打中区域的左边最远点。可过边最远点。可过A4点作平行于点作平行于ab的直的直线线cd，再过，再过A4作作ab的垂线，它与的垂线，它与ab的交点即为的交点即为P1，同样由几何关系可知：，同样由几何关系可知： ， 则所求长度为则所求长度为P1P2=NP1+NP2 代入数值得：代入数值得：P1P2=20cm。221RLRNP 例例6：在：在xoy平面内有许多电子平面内有许多电子（质量为（质量为m、电量为、电量为e）从坐标）从坐标原点原点O不断地以相同的速率不断地以相同的速率v0沿沿不同方向射入第一象限，如图所不同方向射入第一象限，如图所示。现加

13、一垂直于示。现加一垂直于xoy平面向里，平面向里，磁感应强度为磁感应强度为B的匀强磁场，要的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场区域后都能求这些电子穿过磁场区域后都能平行于平行于x轴向轴向x轴正向运动。求符轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。合该条件磁场的最小面积。 例例10（05全国全国）如图，在一水）如图，在一水平放置的平板平放置的平板MN的上方有匀强的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为质量为m带电量为带电量为+q的粒子，以的粒子，以相同的速率相同的速率v沿位于纸面内的各沿位于纸面内的各个方向，由小孔个

14、方向，由小孔O射入磁场区域。射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其粒子可能经过的区域，其 中。哪个图是正确的？（中。哪个图是正确的？（ ） 例例11（1999年全国卷）如图所示，年全国卷）如图所示，MN为垂直于纸面的平面与纸面为垂直于纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为在一磁感应强度为B的匀强磁场，的匀强磁场，方向垂直纸面向外，方向垂直纸面向外，O为为MN上的上的一点，从一点，从O点可以向磁场区域发点可以向磁场区域发射电量为射电量为+

15、q，质量为，质量为m，速率为，速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内的各个方向，度可在纸面内的各个方向， 已知先后射入的两个粒子恰好在已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的磁场中给定的P点相遇，点相遇，P到到O的的距离为距离为L，不计重力及粒子间的，不计重力及粒子间的相互作用，求这两粒子从相互作用，求这两粒子从O点射点射入磁场的时间间隔。入磁场的时间间隔。 四数学解析法：四数学解析法： 由于圆的方程很容易用由于圆的方程很容易用xoy坐标坐标中的解析方程表达出来，因此，中的解析方程表达出来，因此，带电粒子在有界磁场中运动的临带电粒子在有界磁场中运动的临界条件也

16、可通过界条件也可通过“数学解析法数学解析法”来确定。来确定。 例例7：如图所示，在平面直角坐标系的第：如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内，有一束宽度为一象限内，有一束宽度为d的电子流，其的电子流，其中每个电子的质量为中每个电子的质量为m，电量为，电量为e，图中，图中A点的坐标为（点的坐标为（L，0），且），且Ld，现要求，现要求这束电子通过垂直于这束电子通过垂直于xoy平面的匀强磁场平面的匀强磁场后都能通过后都能通过A点，且距离点，且距离x轴为轴为d的电子的电子经磁场偏转后恰好垂直经磁场偏转后恰好垂直x轴通过轴通过A点。求：点。求：这个区域内磁场的磁感应强度这个区域内磁场的磁感应强度B的大

17、的大小和方向小和方向 设计一个符合上述要求且面积最小的设计一个符合上述要求且面积最小的匀强磁场区域，求出它的面积。并在匀强磁场区域，求出它的面积。并在xoy平面上画出磁场边界。平面上画出磁场边界。 解析解析：如图所示，先分析距如图所示，先分析距离离x轴为轴为d的电子，它经磁场偏转的电子，它经磁场偏转后恰好垂直后恰好垂直x轴通过轴通过A点，由左手点，由左手定则知磁场的方向是垂直纸面向定则知磁场的方向是垂直纸面向里，电子的轨迹半径里，电子的轨迹半径R=d 又又 由以上两式可得：由以上两式可得：RvmBev2edmvB 关键在于确定符合条件的匀强磁关键在于确定符合条件的匀强磁场区域，考察距离场区域，考察距离x轴为轴为d的电子经的电子经磁场后偏转过磁场后偏转过A点，则圆弧点，则圆弧QA为磁为磁场的上边界，难以确定的是下边界。场的上边界，难以确定的是下边界。为了确定下边界可以应用为了确定下边界可以应用“数学解数学解析法析法”。分析距离。分析距离x轴为轴为y的电子的的电子的运动，设它从运动，设它从P点（点（x，y）进入