4.空间向量的概念及运算ppt课件

1、考纲泛读考纲泛读了解空间向量的概念，了解空间向了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示交分解及其坐标表示.理解空间向量的线性运算及其坐标理解空间向量的线性运算及其坐标表示表示.理解空间向量的数量积及其坐标表理解空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直与垂直.理解直线的方向向量与平面的法向理解直线的方向向量与平面的法向量量.能用向量语言表述直线与直线、直能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系线与平面、平面与平面的垂直、平行关系

2、.能用向量方法证明有关直线和平面能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理位置关系的一些定理,能用向量方法解决直能用向量方法解决直线与直线、直线与平面所成的角及平面与线与直线、直线与平面所成的角及平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用研究几何问题中的作用.高考展望高考展望空间向量是求解立体几何问题的重要工具，空间向量是求解立体几何问题的重要工具，也是高考的热点也是高考的热点.高考对空间向量的考查是以解高考对空间向量的考查是以解答题的形式呈现的，尤其注重在给出的几何体答题的形式呈现的，尤其注重在给出的几何体中，建立适当的空间直角坐

3、标系中，建立适当的空间直角坐标系.因此，应熟练因此，应熟练掌握空间向量的概念及运算，特别是坐标运算，掌握空间向量的概念及运算，特别是坐标运算，掌握用向量法解决垂直、平行的论证及探究性掌握用向量法解决垂直、平行的论证及探究性问题，掌握空间角、距离的计算程序问题，掌握空间角、距离的计算程序.向量的线性运算向量的线性运算111111122.A B C DABCDMACCMMANA DA NNDABa ADb AAcabcMN 在平行六面体中，在上，且， 在上，且设，试用 ， ， 表示1.,11331 = 3 ANMNMAANACABADabMAACabANADDNADNDADA D 连结，则又所以由

4、已知， 2112331 3cbMNMAANabcbabc 于是 用已知向量表示未知向量，要结用已知向量表示未知向量，要结合图形，以图形为指导是解题的关键根合图形，以图形为指导是解题的关键根据图形，联想相关的运算法则和公式，就据图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量对照目标，对不符合目近表示所需向量对照目标，对不符合目标要求的向量进行适当调整，直到所有向标要求的向量进行适当调整，直到所有向量都符合目标要求量都符合目标要求111111.A B C DABCDACBDMABa ADb AAcabcB M 在长方体中，与的交点为设，试用 ， ，表示111 21 ()21 211 .22B M

5、B BBMcBDcADABbacabc 空间向量的数量积空间向量的数量积60123abcabcrabcrabc 已知向量 ， ， 两两夹角都是，且，求向量的长和 与 ， ， 的夹角的余弦值2222222 | 22260133255.2rabcabcabcabacbcabcabacbcrrabc，因为向量 ， ， 两两夹角都是，所以，所以，即的长度为222728272772cos51084cos,1052792cos1510raabcaaabacrbabcbabbbcrcabccacbccr arar ar brbr br crcr c又，所以 ， ， ， ， 向量数量积定义、定义的变形式向量数

6、量积定义、定义的变形式和基本性质是求向量模和夹角的计算公式，和基本性质是求向量模和夹角的计算公式，要理解记忆并且正确运用要理解记忆并且正确运用.OABCOABCOBACOCAB 已知空间四边形中，求证：00()0,()0,0.OABC OBACOABCOBACOAOCOBOBOCOAOAOCOBOCOCABOCOBOAOC 由已知,得，所以， ，所以所以所以0.,.OBOCOAOCABOCAB 所以所以 在空间直角坐标在空间直角坐标系中，系中，BC=2，原点，原点O是是BC的中点的中点, 设点设点A( , ,0 )，点，点D在平面在平面yOz内，内，且且BDC=90,DCB=30. (1)求向

7、量求向量OD的坐标；的坐标； (2)设向量设向量AD与与BC的夹角为的夹角为, 求求cos的的值值.向量的坐标运算向量的坐标运算1232 (1)如图，过如图，过D作作DEBC，垂足为，垂足为E. 在在BDC中，由中，由BDC=90,DCB=30, BC=2， 得得BD=1，CD= .3 所以所以DE=CD sin30= ，OE=OB BD cos60=1 - = , 所以所以D点的坐标为点的坐标为(0 , , )，32121212 32 即向量即向量OD= . (2)因为因为OA= ，OB=(0 , -1, 0 ) , OC=(0 , 1 , 0) , 所以所以AD=OD -OA= ，BC=O

8、C OB = (0 , 2 , 0). 故故 .13(0,)22 3 1(, ,0)2233(, 1,)22 10cos5AD BCAD BC 向量的坐标运算为向量的运算及向量的坐标运算为向量的运算及夹角、距离的研究提供了运算基础，关键夹角、距离的研究提供了运算基础，关键是确定点和向量的坐标是确定点和向量的坐标.此题此题(1)利用向量的利用向量的坐标的定义，求坐标的定义，求D点的坐标；点的坐标；(2)利用数向量利用数向量的量积，求两向量的夹角的量积，求两向量的夹角. 已知空间三点已知空间三点A(-2 , 0 , 2)、B(-1 , 1 , 2)、C(-3 , 0 , 4), 设设 =a , =

9、b. (1)求求a , b的夹角的夹角的余弦值；的余弦值； (2)若向量若向量(ka+b)(ka -2b)，求，求 k 的值的值.AB AC (1)因为因为a=AB=(-1 , 1 ，2) - (-2 , 0 , 2) = (1 , 1 , 0),b=AC=(-3 , 0 , 4) - (-2 , 0 , 2) = (-1 , 0 , 2), 所以所以 . (2)因为因为ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4), 所以所以(k-1,k,2)(k+2,k,-4) =(k-1)(k+2)+k2-8=0,即即2

10、k2+k-10=0，解得，解得k= 或或k=2.110cos1025a ba b 52 1.有下列命题：有下列命题： 若向量若向量a , b与空间任意向量不能构成与空间任意向量不能构成基底，则基底，则ab; 若若ab , bc，则，则ac; 若若OA , OB , OC是空间的一个基底，是空间的一个基底，且且OD= OA+ OB+ OC，则，则A，B，C，D四点共线；四点共线；131313 若向量若向量 a+b , b+c , c+a 是空间的一个是空间的一个基底，则向量基底，则向量 a , b , c 也是空间的一个基底也是空间的一个基底. 其中正确命题有其中正确命题有 个个.3 2.已知向

11、量已知向量a=(2x , 1 , 3) , b=(1 , -2y , 9).若若ab，那么，那么 x= ，y= .1632 3. 234,234_ .OABCDOAxBOyCOzDOxyz 已知 是空间任意一点， 、 、 、 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且则2x3y4z23412341.OAOBOCODxyzxyz 因为，所以，所以1 4.三棱锥三棱锥O-ABC中，中，M、N分别是分别是OA、BC的中点，点的中点，点G在线在线段段 M N 上 ， 且上 ， 且MG=2GN. 设设OA=a, OB=b, OC=c，试用，试用a , b , c表示向量表示向量OG. OG=OM+MG12

12、2312()2312 11()23 22111()233111633OAMNaONOMaOBOCOAabcaabc 5.已知点已知点A(0 , 2 , 3), B(-2 , 1 , 6) , C(1 ,-1 , 5)为空间三点为空间三点. (1)求以求以AB , AC为邻边的平行四边形的为邻边的平行四边形的面积；面积； (2)若若n分别与向量分别与向量AB，AC垂直，且垂直，且|n|=3，求向量，求向量 n 的坐标的坐标. (1)由题意，得由题意，得AB=(-2 , -1 , 3) , AC=(1 , -3 , 2)， 那么那么|AB|= , |AC|= , 所以所以 ，故故sinCAB= .

13、 所以所以S=|AB| |AC|sinCAB= ， 即以即以AB，AC为邻边的平行四边形的面为邻边的平行四边形的面积为积为 .14142361cos21414AB ACCABABAC 327 37 3 (2)设设n=(x , y , z). 由已知得由已知得 , 解得解得 或或 .所以所以 n=(1 , 1 , 1)或或 n=(-1, -1, -1).2222303203xyzxyzxyz 111xyz 111xyz 1.空间向量的运算空间向量的运算 空间向量的运算是空间向量的坐标运空间向量的运算是空间向量的坐标运算的基础，如证明直线与平面平行时，先算的基础，如证明直线与平面平行时，先在平面内

14、找到两个向量，通过这两个向量在平面内找到两个向量，通过这两个向量根据向量垂直的数量积运算关系求出平面根据向量垂直的数量积运算关系求出平面的法向量，再证法向量与已知直线的方向的法向量，再证法向量与已知直线的方向向量垂直向量垂直. 2.空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算 根据几何条件，分析要研究的问题需根据几何条件，分析要研究的问题需要用什么向量知识来解决，如是平行或垂要用什么向量知识来解决，如是平行或垂直或求角，同时，针对目标建立空间直角直或求角，同时，针对目标建立空间直角坐标系，并明确哪些向量是可用的，把需坐标系，并明确哪些向量是可用的，把需要的向量的坐标找出来；可用向量是否是要的向量的坐标

15、找出来；可用向量是否是已知向量，若不是，看它们最易用哪些已已知向量，若不是，看它们最易用哪些已知向量去表示；对表示出来的所有向量进知向量去表示；对表示出来的所有向量进行合理的运算，最终得到所需要的结论行合理的运算，最终得到所需要的结论.111111 1 (2010)6ABCDA B C DEFADCDDHBBBGEFGPPGHlGHC P泰州市期末联考已知边长为 的正方体 ， ， 为、上靠近 的三等分点，为上靠近 的三等分点， 是的中点设点 在线段上，且，试确定 的值，使得的长度最短112222122,0,60,2,66,6,46,0,01,1,60,6,0 (5,52) (552 )(51,5126)|(51)(55)(26) 54EFHAGCGHGPGHPC P 如图建系可得，所以，设， ， 所以， 164621627C P ， 当时， 的长度取得最小值 ：利用空间向量共线定理、向量的坐标运算和空间两点间距离公式建立目标函数，再利用二次函数知识解决，考查学生知识的综合应选题感悟用能力 2(2010)23PABCDABPAACBDOBDPC 南京市模拟考试 如图，正四棱锥 中，、相交于点 ，判断直线与直线的位置关系222.22.33211.PABCDO