2.1-第七节 斯托克斯公式及其应用ppt课件

1、上页 下页 返回 结束 第七节第七节 斯托克斯公式及其斯托克斯公式及其应用应用 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式二、典型例题二、典型例题第十一章第十一章三、场三、场上页 下页 返回 结束 1.1.定向曲面边界曲线的方向定向曲面边界曲线的方向:,的的正正向向为为规规定定其其边边界界曲曲线线曲曲面面是是具具有有边边界界曲曲线线的的定定向向设设 .,上上法法向向量量的的指指向向相相同同的的拇拇指指的的指指向向与与竖竖起起依依边边界界的的绕绕行行方方向向时时当当右右手手除除拇拇指指外外的的四四指指即即的的法法向向量量符符合合右右手手法法则则这这个个方方向向与与定定向向曲曲面面 .的正向边界曲线的正向边

2、界曲线曲面曲面向的边界曲线称为定向向的边界曲线称为定向按照这种方式规定了方按照这种方式规定了方 一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式(stokes)上页 下页 返回 结束 ;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取上侧取上侧 .,时时针针方方向向的的圆圆周周曲曲线线正正向向边边界界为为顺顺取取下下侧侧 ;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为顺正向边界为顺取后侧取后侧 .,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取前侧取前侧 上页 下页 返回 结束 2.2.则则有有上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数连连同同边边界界在在函函数数侧侧符符合合

3、右右手手规规则则的的正正向向与与向向曲曲面面为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的定定以以是是闭闭曲曲线线为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向设设定定理理,)( ),(),(),( . , , 1 zyxRzyxQzyxP.ddd dddddd zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyR斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯斯托克斯(stokes)公式公式上页 下页 返回 结束 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其其中中便于记忆形式便于记忆形式上页 下页 返回 结束 表达

4、了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. .是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广; ;是格是格林公式的推广林公式的推广. .则则面面取取上上侧侧位位于于若若, 0),(xOyzyxR .dddd yQxPyxyPxQxyzO n 格林公式格林公式斯托克斯公式的实质斯托克斯公式的实质斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形上页 下页 返回 结束 xyzOxyD n C,),(),(:xyDyxyxzz , 的的正正向向边边界

5、界曲曲线线可可得得上上侧侧取取.CDxOyxy正向边界曲线正向边界曲线的的面上的投影曲线是面上的投影曲线是在在 . dddd 上的二重积分上的二重积分化为化为设法将设法将xyDyxyPxzzP ,dcoscosdddd SyPzPyxyPxzzP 因因为为证证 与平行与平行 z z 轴的直线只交于轴的直线只交于一点一点上页 下页 返回 结束 的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为有向曲面有向曲面 .11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxffffffff ,coscos yf dcosdddd SyPfzPyxyPxzzPy 所以所以 .dd yxyPfzPy上页 下页 返

6、回 结束 ,),(, yfzPyPyxfyxPy 因为因为 xyDyxyxzyxPydd),(, dd yxyPfzPy所所以以 )(d),(,依据格林公式依据格林公式 CxyxfyxP.d),(,dddd CxyxfyxPyxyPxzzP所所以以xyzOxyD n C上页 下页 返回 结束 , ,),( ),(),( ),(, 轴上的投影也一样轴上的投影也一样在在弧段弧段并且两曲线上的对应小并且两曲线上的对应小一样一样处的值处的值上对应点上对应点在曲线在曲线处的值与函数处的值与函数上点上点在曲线在曲线因为函数因为函数xzyxzyxPyxCyxfyxP xyzOxyD n C.d),(d),(

7、, xzyxPxyxfyxPC所所以以 .d),(dddd xzyxPyxyPxzzP故故.,上式仍然成立上式仍然成立等式两边同时变号等式两边同时变号取下侧取下侧如果如果 上页 下页 返回 结束 . , , , , 所所以以公公式式仍仍成成立立分分相相加加时时正正好好抵抵消消相相反反的的两两个个曲曲线线积积因因为为沿沿辅辅助助曲曲线线而而方方向向相相加加运运用用公公式式再再分分成成几几部部分分则则可可作作辅辅助助曲曲线线把把曲曲面面个个轴轴的的直直线线的的交交点点多多于于一一如如果果曲曲面面与与平平行行于于 z;d),(dddd yzyxQzyzQyxxQ类似地类似地.d),(dddd yzy

8、xRxzxRzyyR三式相加三式相加,即可得公式即可得公式.证毕证毕上页 下页 返回 结束 二、典型例题二、典型例题., ,12,ddd2222取逆时针方向取逆时针方向轴正向看去轴正向看去从从若若的交线的交线与柱面与柱面是平面是平面其中其中曲线积分曲线积分利用斯托克斯公式计算利用斯托克斯公式计算 zyxzyzzyxxyI1:22 yxDxy,22zRxQyP .2所所围围的的部部分分的的上上侧侧被被为为 zy例例1解解上页 下页 返回 结束 22ddddddzxyzyxyxxzzyI yxydd)21( xyDyxydd)21( 1020d)sin21(drr . 上页 下页 返回 结束 yx

9、zyxxzzyzyx ddddddzxy111o例例2. 2. 利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中其中为平面为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整被三坐标面所截三角形的整个个解解: 记三角形域为记三角形域为, 取上侧取上侧,那那么么边境边境, 方向如图所示方向如图所示. zyyxxzddd yxxzzydddddd利用对称性利用对称性 yxDyxdd323 yxD上页 下页 返回 结束 .,1 , 01 , 01 , 023,d)(d)(d)(222222取逆时针方向取逆时针方向轴正向看去轴正向看去若从若从的表面所得的截痕的表面所得的截痕截

10、立方体截立方体是用平面是用平面其中其中计算计算 zzyxzyxyxzxzy xyzOn例例3上页 下页 返回 结束 ),31,31,31(),1 , 1 , 1( nen 222222ddddddyxxzzyzyxyxxzzyI.23:所围的部分所围的部分上侧被上侧被的的 zyx解解 xyzOn上页 下页 返回 结束 Syxxzzyzyxd313131222222 Szyxd)(34,23 zyx上上在在 xyzOn上页 下页 返回 结束 Sd32 xyD d332.29 O1 x1xyD5 . 05 . 0y5 . 0 yx5 . 1 yx xyDyxzz d13222)(6的的面面积积xy

11、D Szyxd)(34上页 下页 返回 结束 例例4. 4. 为柱面为柱面与平面与平面 y = z 的交线的交线,从从 z 轴正向看为顺时针轴正向看为顺时针, 计算计算.ddd2zxzyxyxyI oz2yx解解: 设设为平面为平面 z = y 上被上被 所围椭圆域所围椭圆域 ,且取下侧且取下侧,0cos 利用斯托克斯公式得利用斯托克斯公式得SId Szyd)(210则其法线方向余弦则其法线方向余弦,21cos 21cos coscoscoszyx zxyxy2yyx222 上页 下页 返回 结束 三、场 设设f(x,y,z)及及分别是定义在空间区域分别是定义在空间区域上的数值函数上的数值函数

12、（数量场及矢值函数矢量场）。（数量场及矢值函数矢量场）。kzyxRjzyxQizyxpzyxA),(),(),(),( 上页 下页 返回 结束 一、由微分运算决定的三个量一、由微分运算决定的三个量1 1、梯度：、梯度： gradf=kzfjyfixffkzjyixf )( ,zfyfxf f(x,y,z)本身是数量场，本身是数量场，gradf却是矢量场。却是矢量场。2 2、散度：、散度： ZRyQxpR,Q,Pz,y,xAAdiv )z ,y,x(A是矢量场，但是矢量场，但Adiv却是数量场。却是数量场。3、旋度：、旋度： RQPzyxkjiAArot 这里这里f （数乘）（数乘） A （点乘

13、）（点乘） A （叉乘）（叉乘） 都是以微分运算决定的量，都是以微分运算决定的量，可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。.kzjyix 上页 下页 返回 结束 二、由积分运算决定的量二、由积分运算决定的量 )drnds,dz,dy,dxdr,cos,cos,cosn( dv)zRyQxp(GaussRdxdydzdxQPdydzdsAdvAdiv 场场论论表表达达式式A 物理定义：左端是流速为物理定义：左端是流速为在单位时间内流出闭曲面在单位时间内流出闭曲面的总流量。右端为在的总流量。右端为在内单位时间内产生流体的总流量。内单位时间内产生流体的总流量。1 1、流量通量）、流量通量）上页 下页 返回 结束 2 2、环流量、环流量 RdzQdyPdxdrA RQPzyxdxdy,dzdx,dydzStokesA当当为流速场时，视之为环流量。为流速场时，视之为