微分方程第四节ppt课件

1、第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当例如例如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.一、线性方程一、线性方程. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.ed)( xxPCy1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分

2、方程的解法使用分离使用分离变量法变量法这这里里记记号号 xxPd)(表表示示)(xP的的某某个个确确定定的的原原函函数数. . 2. 2. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(ddxQyxPxy 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换. .作变换作变换 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP ,de)()(d)(CxxQxuxxP 积分得积分得所以一阶

3、线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和将将yy ),(e )(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e )(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cxxxyxxxxdesined1d1 Cxxxxxdesinelnln)dsin(1 Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(Cx

4、xQyxxPxxP 例例1 1求求方方程程2e22ddxxxyxy 满满足足1)0( y的的特特解解. . 解解通通解解为为 dee2ed2d22Cxxyxxxxx d2e2Cxxx )(e22Cxx , , 由初始条件由初始条件1)0( y, , 1 C, , 即即所所求求特特解解为为 ) 1(e22 xyx. . 例例2 2求求方方程程0d)(d3 yyxxy的的通通解解. . 解解方方程程含含有有3y, ,故故不不是是关关于于未未知知函函数数y线线性性方方程程, , 2ddyyxyx , , 可可把把y视视为为自自变变量量, ,把把方方程程改改写写为为 此此即即一一阶阶线线性性方方程程,

5、 ,解解得得通通解解为为 deed12d1Cxyxyyyy d12Cxyyy 43yyC . . 例例3 3nyxQyxPxy)()(dd )1 , 0( n解法解法: :二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程得得两两端端除除以以，ny),()(dd1xQyxPxyynn ,1 nyz 令令，则则xyynxzndd)1(dd ),()1()()1(ddxQnzxPnxz 求出通解后求出通解后, 将将 代入即得原方程的通解代入即得原方程的通解 .nyz 1代入上式代入上式.4dd2的的通通解解求求方方程程yxyxxy ,4dd12xyxxyy ,yz 令令,4dd22xzxxz 得得de2ed22d2Cxxzxxxx .224 Cxxy解解得得两两端端除除以以，y,22 Cxx,22dd2xzxxz 得原方程的通解为得原方程的通解为 例例4 4求求方方程程04)(2 xyyxy )0( y的的通通解解. . 解解把把y作作为为自自变变量量, ,原原方方程程改改写写为为 xxyyx4141dd , , 这这是是伯伯努努利利方方程程, ,两两边边乘乘以以x, ,化化为为线线性性方方程程 2121dd22 xyyx, , 得得通通解解 )(C