箱变坐标系和变值函数

1、箱变坐标系与变值函数初识一种新型数学思路与方法(曹玉聘, 陈战杰, 黄玉义等)摘要箱变坐标系和变值函数的根本特点是其坐标单位处处可变，坐标系数或变值系数可为首项为一任意非0常数的连续型初等函数（不再只是常数1）。本法（还可再做扩展）不仅从根本上解决了诸如扭面方程、非线性不均匀动态空间、函数与图象的动态对应等各类疑难问题，更从根本上扩充了现代数学的基石，其推广应用将会引起现代数学及其相关学科的某些重大突破或变革。本文概略介绍了本法的基本思路及其部分求法和算法。关键词扭面方程；箱变坐标系；变值系数；变值函数；变值运算。了解本法，各种扭面类问题和非线性不均匀扭曲动态空间等疑难问题的精确表达和有关精确

2、快捷定位运算将不再疑难！引言在长期的矿产勘查和储量计算实践中，为解决各类扭面问题的精确表达和有关精确运算，笔者探求了箱变坐标系、变值函数等新型数学方法（可叫变值方法）。虽然这一方法还比较初级和原始，但却揭示了某种带有根本性的数学规律，不仅解决了目前难以解决的各种扭面问题、非线性不均匀空间、函数与图象的动态对应和与之有关的各类数学难题，并从根本上扩充了现代数学的基石，其推广应用将会引起现代数学及其相关学科的某些重大突破或变革。为便于交流和节约篇幅，现将其基本思路和方法略述于后，以示概貌。其中，由于某些表述常常超越传统范畴，故在不得已时采用了一些新术语，望予谅解、指正。 H H12 H11 M1

3、O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 图1 线性变化储量块段1、箱变坐标系要点简介要了解箱变坐标系应首先了解扭面方程和正箱体。21、扭面和扭面方程初识所谓扭面可由一条母线沿着两条异面导线适当移动或伴有某种变化而成，因其两条异面导线常可由某种常规的同面导线经适当扭动而成而故名，其扭动角度可叫扭面角或扭角。当导线和母线均为直线时则为线性扭面(如图1中的H11H12H21H22面),否则，既可为非线性扭面也可为线性扭面（见正箱体）。常规的平面和曲面只是扭面角为0的一种特例。为便于讨论，可把表示扭面的函数叫做扭面方程。目前，各种扭面方程的精确表达和有关运算尚属空白。但问题

4、并非绝对，只要对常规数学思路与方法有所扩展或突破，此类问题便不难解决。现将扭面方程的基本求法简述如下。（1）线性扭面方程的基本求法：如图1所示，为一投影法的简单储量块段，其中，H11、H12、H21、H22表示正厚度（对应于四个平行工程），M1、M2两面相互平行（LY1=LY2）但不等宽（LX1LX2），顶面（H11H12H21H22）为一简单线性扭面。试求其对应方程。当M1、M2两面平行等宽时（图中虚线），则两面上的对应正厚度算式为：HX1=HX1(X)=H11+(H12-H11)X/LX1=AH1+BHX1X，式中，AH1=H11，BHX1=(H12-H11)/LX1，HX2=HX2(X)

5、=H21+(H22-H21)X/LX2=AH2+BHX2X，式中，AH2=H21，BHX2=(H22-H21)/LX1。由上述四式可得M1、M2两面间的正厚度算式为：H(X,Y)=HX1+(HX2-HX1)Y/LY1=AH+BHxX+BHyY+CHxyXY，（1）式中，AH =H11, BHx=BHX1=(H12-H11)/LX1, BHy=(H21-H11)/LY1, CHxy=(H22-H21-H12+H11)/LX1/LY1。式（1）为一线性扭面方程或叫一次函数。这里的一次是指整幂多项式中单个自变量最高为一次。对各种函数来说，当只考虑一个自变量时可称之为偏函数（一元函数可视为一种特殊的偏

6、函数）。因此，线性扭面方程应是偏函数最高为一次的整幂多项式。当M1、M2两面宽度不等或不平行或既不平行也不等宽时，则该扭面方程将难以采用常规方法直接求出。考察上述两面平行等宽时的求法可知：在笛卡儿坐标系中，两面间的纵、横坐标单位数各自处处对应相等，式中自变量的取值实际上均为同名坐标单位数。由此便可推知，若能通过适当变换使两面平行等宽或两面间X、Y的坐标单位数各自处处对应相等（如均为LX1、LY1），便可仿照上述的常规方法（采用坐标单位数）直接进行精确表达，所得扭面方程仍如（1）式所示。这里的关键是如何进行上述变换。一般来说，实现上述变换可有两种方法：一是改变M1、M2两面间的空间密度，使之变为

7、等长等宽的不等密空间；二是改变坐标单位使两面间的纵、横坐标单位数各自处处对应相等。以上两种变换的实质和结果完全等同，其中，后者更便于进行数学表达。其基本方法是：先设定某一基准坐标单位，然后将其附加一个非0系数（可叫坐标系数）即可。在上述变换中，采用的基准单位为坐标轴上的坐标单位，坐标系数为首项为1的某一初等函数。以上便是解决扭面问题的最初思路和方法。 H H12 H11 M1 O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 图2 非线性变化储量块段（2）非线性扭面方程的基本求法：此类方程也可按照上述思路与方法求之，但需先求出纵、横两个单向非线性变化之和，然后减去一个双向线性

8、变化。如图2所示，H11H12H21H22为一非线性扭面，其基本求法是：先将M1、M2两面间的纵、横坐标单位数变为各自处处对应相等，并求出四个侧面上的正厚度函数，然后按纵、横两个方向求出侧面间的两个非线性函数和一个线性函数，进而便可求得该扭面方程。设两个横侧面和两个纵侧面上的正厚度函数分别为：HX1=HX1(X)、HX2=HX2(X)和HY1=HY1(X)、HY2=HY2(X)，则当X方向为非线性、Y方向为线性时：HX2Y=HX2Y(X,Y)=HX1+(HX2-HX1)Y/LY1，当Y方向为非线性、X方向为线性时：HY2X=HY2X(X,Y)=HY1+(HY2-HY1)X/LX1，当X、Y方向

9、均为线性变化时同前述式(1)，用HXY或HXY(X,Y)表示。进而可得一般非线性扭面方程为：H(X,Y)=HX2Y+HY2X-HXY。当各侧面上的正厚度变化曲线均为二次抛物线时，可得其对应函数为：HX1(X)=AHX1+BHX1X+CHX1X2、HX2(X)=AHX2+BHX2KX2X+CHX2KX22X2和HY1(Y)=AHY1+BHY1Y+CHX1Y2、HY2(Y)=AHY2+BHY2KY2Y+CHY2KY22Y2，其中，KX2=LX2/LX1,KY2=LY2/LY1。进而可得二次扭面方程为：H(X,Y)=AH+BHxX+BHyY+CHxxX2+CHxyXY+CHyyY2+DHxxyX2Y

10、+DHxyyXY2，（2）式中，AH=H11，BHx=BHX1，BHy=BHY1，CHxx=CHX1，CHxy=(BHX2KX2-BHX1)/LY1+(BHY2KY2-BHY1)/LX1-(H22-H21-H12+H11)/LX1/LY1，CHyy=CHY1，DHxxy=(CHX2KX22-CHX1)/LY1，DHxyy=(CHY2KY22-CHY1)/LX1。依据上述思路和方法对笛卡儿坐标系和常规函数及其有关算法进行适当扩展便构成了箱变坐标系和变值函数等这一新型数学思路与方法。 1 4 1 4 5 2 5 2 2/ 3(3/) 2/ 3(3/) 6 7 8 6 7 8 J 6/ 7/ (a)

11、 J 6/ 7/ (b)图3 正箱体概念示意图(a)线性直近箱体 (b)线性直次箱体1.2、正箱体的数学约定所谓正箱体是指有四个侧面同垂（或正交）于某一平面的凸棱六面体或六面凸棱体（如图3）。所谓凸棱体是指各相邻侧面所构成的内角均不大于值的空间体。此外，除正箱体以外的凸棱六面体叫斜箱体。正箱体和斜箱体统称为似箱体。由于斜箱体的有关探索尚少，故下面重点说明正箱体。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)图4 正箱体基本类型示意图(a)线性直近箱体 (b)线性曲近箱体 (c)非线性直近箱体 (d)非线性曲近箱体(e)线性直次箱体 (f)线性曲次箱体 (g)非线性直次箱体 (

12、h)非线性曲次箱体正箱体的四个侧面可两两称为横侧面和纵侧面，剩余两面叫顶底面。四个侧面均可为平面或直线型曲面（如柱状抛物面）；顶底面均可为平面、曲面或扭面；与四个侧面同垂的平面叫箱基面或基面（J面），四个侧面在基面上的投影叫基底面或基底（常为四边形）。正箱体的纵、横侧面之交线（为直线）叫侧棱，顶、底面间与基面垂直的直线叫高线，高线长度叫高距；两个横侧面间的纵向距离叫长距，两个纵侧面间的横向距离叫宽距。这里的长距、宽距概念不同于通常的长度和宽度。另当某一正箱体有三个共点侧面（含底面）为互垂平面时叫标准正箱体，否则可叫一般正箱体。一般正箱体均可通过降维变换而成标准正箱体。所谓降维变换是指通过降低维

13、数的对应等值变换以确保变换前后的原维等值。标准正箱体的三个共点互垂侧面叫基侧面，另外三个侧面（含顶面）叫变侧面。此外，斜箱体的各部名称可与正箱体相仿，但其侧棱可为曲线，侧面可为扭面等。 Z 0 X Y 图5 线性变值坐标系KX(Y)=1+KXBY，KY(X)=1+KYBX KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXY正箱体可分为八种基本类型（如图4，图中均为标准正箱体）。其中，当正箱体的基底为矩形时叫方箱体，为梯形时叫近箱体，为任意四边形时叫次箱体。常规箱体（即直方体）为等高方箱体，属正箱体的最简单类型。此外，斜箱体的分类也可仿之进行。1.3、箱变坐标系的数学约定如图5所示，箱变坐标系

14、常以某一标准正箱体（图中实线）为基准或原型（叫基箱体），按照等比对应或变值对应进行网状分割而成（图中虚线）。在箱变坐标系中，与基箱体对应的坐标网叫基准网。当基箱体处于最简位置时（三个基侧面与坐标平面相互重合），该坐标系称为最简箱变坐标系或最简坐标系，此时，基箱体在三个坐标轴上的长距、宽距和高距分别称为基长、基宽和基高，可统称为基距。基距也可根据需要适当设定（见通基变换）。由于箱变坐标系仍属于直角坐标系（坐标轴互垂），故也可称其为直角变值坐标系。通常坐标轴上的坐标单位叫基值单位，对应坐标值叫基值坐标（同一坐标网线上的对应基值坐标或坐标单位数处处相等）；处处可变的同名坐标单位叫变值单位，对应坐标值

15、叫变值坐标；相应地，处处相等的同名坐标单位可叫等值单位，对应坐标值可叫等值坐标。变值单位与同名基值单位之比叫坐标系数（用于坐标系）或变值系数（用于函数），即：变值系数=变值单位/基值单位。由于同一坐标网线或网面上的同名坐标单位数处处相等，故得：变值系数=变值坐标/基值坐标，或：变值坐标=基值坐标´变值系数。此式可叫变值公式，是进行坐标变换的算法依据。为便于区别，变值坐标和等值坐标常用小写字母表示(如x,y,z)，基值坐标常用大写字母表示(如X,Y,Z)。各种坐标系数或变值系数（K）可为首项为任意非0常数的连续型初等函数（首项和K恒为0时，则为点空间）。通常首项为正数，当为负数时可用于

16、反向移位问题。在最简箱变坐标系中，坐标系数常用首项为1的整幂多项式，以便简化有关计算。若将首项用KA表示，其余各项用KR或R表示（叫变值余项或余项），则K=KA+R或R=K-KA。其中，KA表示等值部分；R表示变值部分。当R=0、KA=1时，则K=KA=1，此时的箱变坐标系变为笛卡儿等值坐标系。1.4 箱变坐标系的建立方法广义的箱变坐标系包括斜箱坐标系（其基箱体为标准斜箱体），这里重点说明其中的最简坐标系。在建立最简坐标系时，可先建立笛卡儿坐标系，然后求出其坐标系数并做好标注即可。这里的关键是如何求出坐标系数，通常可有设定法和基箱法两种求法。设定法（无基箱体时）可根据实际需要直接将坐标系数设定

17、为首项为1的某一连续型初等函数，此时，任取一组基距便可获得某一基箱体；基箱法（有基箱体时）通常是将某一基箱体的基侧面与笛卡儿坐标平面相互重合（属最简位置），并求出其长距、宽距和高距的函数式（即各自对应的变侧面方程），然后除以同名基距（亦即各自函数的截距）而得（此时首项为1）。表1、表2中列出了最简箱面和箱体坐标系中比较常用的坐标系数或变值系数。最简箱面坐标系常用坐标系数简表 表1箱面类型坐标名称常用坐标系数(或变值系数)备注线性变化非线性变化(以二次抛物线为例)正近箱面宽距(X)KX=1或KX(Y)=1+KXBYKX=1或KX(Y)=1+KXBY+KXCY2 Y 0 XKX(Y)=1+KXBY

18、KY(X)=1+KYBX此图为直次正箱体底面或线性斜箱体侧面坐标系。高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2正次箱面宽距(X)KX=1或KX(Y)=1+KXBYKX=1或KX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2斜近箱面宽距(X)KX(Y)=1+KXBYKX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2斜次箱面宽距(X)KX(Y)=1+KXBYKX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX

19、2表1中，箱面坐标系对应于基箱体的基侧面，若为变侧面时常为其在对应基箱面上的投影，其宽距和高距的坐标和坐标系数常用X、Y和KX、KY表示，以便符合习惯用法，其首项（KA）常为1。另当高距和宽距系数均为常数1时，则箱面坐标系变为常规的平面直角坐标系。最简箱体坐标系常用变值系数简表表2基箱类型坐标名称常用变值系数（或坐标系数）直箱体与线性变化曲箱体与非线性变化（二次变化为代表）正近箱体长距(Y)KY=1或KY(X)=1+KYBXKY=1或KY(X)=1+KYBX+KYCX2宽距(X)KX(Y)=1+KXBY或KX=1KX(Y)=1+KXBY+KXCY2或KX=1高距(Z)KH(X,Y)=1+KHx

20、X+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2正次箱体长距(Y)KY(X)=1+KYBXKY(X)=1+KYBX+KYCX2宽距(X)KX(Y)=1+KXBYKX(Y)=1+KXBY+KXCY2高距(Z)KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2斜近箱体长距(Y)KY=1或KY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+KYxzXZKY=1或KY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+K

21、YxxX2+KYxzXZ+KYzzZ2+KYxxzX2Z+KYxzzXZ2宽距(X)KX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyzYZ或KX=1KX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyyY2+KXyzYZ+KXzzZ2+KXyyzY2Z+KXyzzYZ2或KX=1高距(Z)KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2斜次箱体长距(Y)KY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+KYxzXZKY(X,Z)=1+KYxX+KYzZ+KYxxX2+KYxzXZ+KYzzZ2

22、+KYxxzX2Z+KYxzzXZ2宽距(X)KX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyzYZKX(Y,Z)=1+KXyY+KXzZ+KXyyY2+KXyzYZ+KXzzZ2+KXyyzY2Z+KXyzzYZ2高距(Z)KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXYKH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxxX2+KHxyXY+KHyyY2+KHxxyX2Y+KHxyyXY2表2中的近箱体既可等长也可等宽；正箱体的高距系数和斜箱体的三种变值系数系数均可来自扭面方程；当采用三个变值系数时，可把基箱体变为直方体，只用两个变值系数时可把基箱体变为方箱体。另当基箱体为等高箱体时，高距系数

23、为1；为等高近箱体时，则高距和长距或宽距系数均为1；为等高方箱体时，则高距和长距、宽距系数全为1（对应于常规的直角坐标系）。以上所述为箱变坐标系的部分要点，将其与笛卡儿坐标系比较可知，二者均属直角坐标系，其坐标轴、坐标原点和基值单位完全相同。二者的根本区别在于坐标系数：后者恒为常数1（无须标注），故只有三个构成要素；前者可为某一函数（须做标注），故须有四个构成要素。再者，由于前者的坐标网线或网面可为曲线、曲面或扭面，其同名坐标网线或网面有时可会聚成点（叫聚点，如在箱面坐标系中）或会聚成线（叫聚线，如在箱体坐标系中），经过聚点或聚面常可存在某一空间界线或界面。故可对应于非线性、不均匀或扭曲的复杂

24、空间或有界空间；而后者的坐标网线或网面只能是直线或平面，且没有聚点或聚线，故只能对应于线性、均匀、平直的简单空间和无限空间。此外，箱变坐标系还可引起某些传统思维和观念的创新（如平行与相交）等等。不仅如此，上述箱变坐标系（基值单位处处相等，可叫等基变值坐标系）还可扩展为变基变值坐标系（基值单位处处可变，如同沿坐标轴做变速运动的速度一样），从而更能揭示物质空间的动态性和时空之间的动态对应等客观世界的根本规律。进而，若对极坐标系、柱面坐标系、球面坐标系等也按上变值方法的基本思路与方法进行适当扩展，也可获得相应的变值坐标系，从而将会使现代数学更能充分反映客观世界的复杂性、不均匀性、动态性和多样性。2变

25、值函数要点简介为便于区别和应用，这里将箱变坐标系中表示变值坐标的对应函数叫变值函数，表示基值坐标的对应函数叫基值函数，相应地可把表示等值坐标的对应函数叫等值函数。三种函数各具优势并可通过变值系数的作用实现相互变换。其中，等值函数可视为变值函数和基值函数的一种特例（即变值系数恒为1），因此，后者是对前者的继承和扩展。通常三种函数的自变量取值多采用基值坐标，其中，等值函数的基值坐标与变值坐标完全相同。作为数学函数，其基本问题应当有二，即函数的求法和算法。这里求法是基础，算法是关键。由于变值函数和基值函数是对等值函数的继承和扩展，因此，只要熟悉后者的有关求法和算法并对前者的有关思路和方法有所了解，则

26、对其掌握和运用将并非难事，但应注意两者的异同。由于基值函数的求法和算法与常规的等值函数基本相同，故下面重点说明变值函数。2.1 变值函数的基本求法正箱坐标系和斜箱坐标系均可用于求得变值函数。一般来说，变值函数的基本求法可有如下三种。（1）直接推导法：本法是指通过适当的数学推导直接求出变值函数的方法。其基本做法是：首先是通过改变坐标单位使所求函数自变量的对应范围或空间内的同名坐标单位数各自处处对应相等，相当于把密度均匀的基箱体变为密度不匀的方箱体，并将箱变坐标系的变值坐标单位数视为等值坐标系的等值坐标，然后运用常规数学方法（包括现有的各种函数求法）求之即可。其中，一元时对应于基箱面，通常只需改变

27、宽距或长距基本求法单位，有时需要改变高距单位；二元时对应于基箱体，通常只需改变宽距和长距单位，有时需要改变宽距和高距或长距和高距单位；三元时仍对应于与基箱体，需要同时改变长距、宽距和高距单位。如前述的二元扭面方程便是将基箱体通过改变纵、横坐标单位而变为相应方箱体后采用常规数学方法而得。其中，线性扭面方程为四项，由此可知，当变质系数一定时，线性扭面可由四点确定。（2）基值系数法：本法是由基值函数与对应变值系数复合而得变值函数的方法。其中，变值系数通常是在建立坐标系时即已确定（见前述变值系数的求法）；基值函数的求法与等值函数相同，其基本求法是：首先将基值坐标视为等值坐标，然后运用常规数学方法（包括

28、现有的各种数学方法）按照等值函数的相应方法求之即可。当基值函数为显函数时，则将其对应的变值系数与其等式右边相乘即可（自变量仍为基值变量），此时，等式左边的基值变量随之变为同名的变值变量，所得函数值对应于变值坐标；而隐函数的具体求法尚待进一步探讨和验证。当变值系数的确定比较合理时，其基值函数通常均较简单，这里需要搞清函数（因变量）与自变量、各变量与变值系数的相互对应。如前述正箱体的高距函数也可采用基高或高距变量×高距系数而得，这里的高距和高距变量对应于基值函数。（3）变换系数法：本法是指通过变换坐标系数将原有变值函数变为新的变值函数的方法。本法还可用于等值函数与变值函数、变值函数与基值

29、函数、不同的基值函数之间的相互变换等。当变换后的函数项（因变量）的变值系数（新变系数）为1时，则得到变值函数（此时，若坐标系随之而变，则变为等值坐标系和等值函数）；若函数项的新变系数不为1，则得到相应变值坐标系的基值函数。在进行变换时，可先求出变换系数，即原变值系数（原变系数）与新变系数之比，然后将变换系数作为变值系数采用基值系数法便可求出相应的变值函数或基值函数。本法常用于改变函数图象或变换研究层次或方式等，如果变换系数选择适当（如为原有函数的整除因式），则可得到较为简单的新的基值函数表达式，若同时变换坐标系，则可得到较为简单的新的函数图象。如箱面和箱体的高距变值函数除以其自身的高距系数后可

30、得简单的基值函数。在以上三种求法中，直接推导法的实质属于常规方法，其它两种求法为变值函数所特有，但当变值系数全为1时则同样属于常规方法。由上述求法可知，随着变值系数的不同，同一图象可有不同函数，同一函数也可有不同图象，从而体现了函数与图象的动态对应和因果之间的动态关系等。2.2 变值函数的基本算法由于变值函数与基值函数同源共生，而等值函数只是变值函数和基值函数的一种特例，故三种函数具有本质上的同一性。因此，变值函数的各种基本算法（变值算法）应当是对等值函数各类基本算法（等值算法）的继承、包容和扩展（基值函数也应基本如此）。这些扩展算法与等值算法的根本区别在于变值系数不再恒为1，其中，尤其是各种

31、异基四则运算（基距不同的四则运算）和各种积分运算等，更是变值算法所特有。在不同函数之间进行运算时，不仅要考虑对应基距是否相同，还应考虑对应变值系数是否相同。按照基距和变值系数是否各自对应相同，可将不同变值函数独立分为同基、异基和同系、异系，二者组合可得同基同系、同基异系、异基同系和异基异系四种。因此，在各种变值运算中，要始终牢记其对应基距和变值系数。现将变值函数的部分算法作一简要说明，其中，包含积分运算的有关算法只限于正箱坐标系（与斜箱坐标系对应的积分运算目前尚不成熟）。2.2.1变值函数的基本性质与变基运算和通基变换（1）变值函数的基本性质：对某一变值函数来说，如果将某一自变量（如X）的取值

32、扩大了TX倍（TX0）而需要函数值保持不变时，则应将其对应变量单位（即对应基值单位）缩小TX倍，亦即将基箱体的对应基距数值（即坐标单位数）扩大TX倍；反之依然。因此，在变值函数中，自变量的取值与箱变坐标系的对应基距数值同时扩大或缩小非零倍数，其值不变，或简述为：变值函数的自变量与基距同时扩大或缩小非零倍数，其值不变，这便是变值函数的基本性质。如H=A+BX=A+BX(TX/TX)=A+B/X/，其中，X/=TXX，B/=B/TX，B/和B中包含了坐标系数。此时，自变量取值和基距数值同时扩大了TX倍，但变值系数缩小了TX；另当X/=X/TX，B/=TXB时，则自变量取值和基距数值同时缩小了TX倍

33、，但变值系数扩大了TX。上述性质与分数的基本性质相类似，其中的自变量和基距相当于分数的分子和分母。据此性质便可对变值函数适当进行恒等变换（此即变基运算），从而使其某些异基运算得以实现。但应注意，这里的自变量和基距的取值均为坐标单位数，在数值上等于基值坐标，其扩大倍数与基值单位和变值系数的扩大倍数互为倒数。（2）变基运算：变基运算是指改变基值单位或基箱体的基距时对变值函数进行恒等变换的一种运算。由变值函数的基本性质可知，当自变量取值和基距数值同时扩大或缩小TX倍时其值不变。这里的TX可叫变基系数，通常为一非0常数，据此便可进行变基运算。在变基运算时，既可采用同时扩大，也可采用同时缩小，二者的变基

34、系数互为倒数。若同时扩大，则变基系数=新基距/原基距=原基值单位/新基值单位=原变值系数/新变值系数；若同时缩小，则变基系数为同时扩大时的倒数（常用于通基变换）。变基运算常采用同时扩大（也可采用同时缩小），现以一元和二元为例简述之。一元变基运算：设原变值函数为H=H0(X0)，X0为原自变量，X0的基距为LX0，X0的变值系数为KX0；新变值函数为H=H(X)，X为新自变量，其基距为LX，其变值系数为KX。则变基系数等于新基距与原基距之比，即：TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX，亦即X=TXX0或X0=X/TX，KX=KX0/TX或KX0=TXKX。进而可得一元变基函数为：H=H0(X

35、0)=H0(X/TX)=H(X)或H=H(X)=H(TXX0)=H0(X0), （3）上式中的H0(X0)与H(X)互为一元变基函数，当以X0和X=TXX0分别代入H=H0(X0)和H=H(X)式时可得到相同的H值。二元变基运算：设原变值函数为：H=H0(X0,Y0)，X0、Y0为原自变量，X0、Y0的基距为LX0、LY0，X0、Y0的变值系数为KX0、KY，；新变值函数为H=H(X,Y)，X、Y为新自变量，X、Y的基距为LX、LY，X、Y的变值系数为KX、KY。此时，其变基系数等于新基距与原基距之比，即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/K

36、Y，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、KY=KY0/TY或KY0=TYKY。进而可得二元变基函数为：H=H0(X0,Y0)=H0(X/TX,X/TX)=H(X,Y)或H=H(X,Y)=H(TXX0,TYY0)=H0(X0,X0), （4）上式中的H0(X0,Y0)与H(X,Y)互为二元变基函数。注意通基后变值系数的求法与一元的区别即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/KY，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、K

37、Y=KY0/TY或KY0=TYKY。进而可得二元变基函数为：另当变值函数为多元时，其变基运算可仿二元变基运算进行。（2）通基变换：上述变基运算适用于单个变值函数，当为多个不同基距的变值函数（即异基函数）时，若要对其同名自变量在各自基距范围内进行同值同步运算（如对应于有限空间的加减或合并运算等），则应使之变为相同基距的变值函数（即同基函数），这便是通基变换。否则将无法对异基函数的同一自变量进行同值同步运算。通基变换常采用自变量与其基距同时缩小之法（也可采用同时扩大之法）。在通基变换时，需要已知原基距和通基后的统一基距。其中，统一基距常可根据需要进行适当设定。当为一元时，设通基前的N个一元函数为：

38、Hi=H0i(Xi)，Xi为通基变量，Xi的基距为LXi，Xi的变值系数为KX0i，这里的i=1，2，2，N；通基后的N个方程为Hi=Hi(X)，X为统一变量，X的统一基距为LX，X的变值系数为KXi。通基时，可先采用同时缩小之法求出通基前后的基距之比（可叫通基系数，一般为常数），即：TXi=LXi/LX=Xi/Xi=KX/KX0，亦即：LX=LXi/TXi或LXi=TXiLX，X=Xi/TXi或Xi=TXiX，KX=TXKX0或KX0=KX/TX。进而将Xi=TXiX代入原式可得一元通基函数为：Hi=Hi(X)=H0i(Xi)=H0i(TXiX), （5）当为二元时，设通基前的N个二元函数为

39、Hi=H0i(Xi,Yi)，Xi、Yi为原自变量，Xi、Yi的基距为LXi、LYi，Xi、Yi的变值系数为KX0i、KY0i，；新变值函数为H=H(X,Y)，X、Y为统一变量，X、Y的统一基距为LX、LY（可依需要设定），X、Y的变值系数为KXi、KYi。其对应通基系数为通基前后基距之比，即TXi=LXi/LX=Xi/X=KXi/KX0i、TYi=LYi/LY=Yi/Y=KYi/KY0i，亦即LX=LXi/TXi或LXi=TXiLX、X=Xi/TXi或Xi=TXX、KXi=TXiKX0i或KX0i=KXi/TX，LY=LYi/TYi或LYi=TYiLY，Y=Yi/TYi或Yi=TYiY、KYi

40、=TYiKY0i或KY0i=KYi/TYi。进而将Xi=TXX和Yi=TYiY代入原式可得二元通基函数为：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY), （6）通基后的变值系数等于原变值系数经变基运算后乘以其自身的通基系数。设原变值系数为：KX0i=KX0i(Yi)和KY0i=KY0i(Xi),则新变值系数为: KXi(Y)= TXiKX0i(TYiYi)和KYi(X)=TYiKY0i(TXiXi)仿照上述二元通基变换可得三元和三元以上的通基系数为：TXi=LXi/LX，TYi=LYi/LY，TZi=LZi/LZ，；进而可得对应通基函数为：Hi=Hi(X,Y,Z,)

41、=H0i(Xi,Yi,Zi,)=H0i(TXiX,TYiY,TZiZ ,), （7）以上通基变换可使异基函数变为同基函数，但通常难以使异系函数变为同系函数。上述基本性质和变基运算可用于改变单个函数的对应空间密度，通基变换可使多个函数所对应的密度不同空间采用相同变量的同值同步运算。2.2.2变值函数的四则运算变值函数和基值函数的四则运算可分为同基和异基两种算法。同基四则运算的基本算法与常规四则运算相同，但应牢记变值系数（运算前后变值系数不变），尤其是异系运算更应如此。当变值系数恒为1时，二者完全相同。异基四则运算则应依据变值函数的基本性质,先通基后运算，通基后可按同基运算进行。其中，变值加减运算

42、还可引申扩展为变值合并运算（变合运算）与变值分解运算（变分运算）。变合运算相当于不同基距的基箱面或基箱体的合并，可将均匀或不均匀空间合并为不均匀空间。变分运算属于变合运算的逆运算，相当于对基箱面或基箱体的分解，可将均匀或不均匀空间分解为不均匀或均匀空间。这里只对较为常用的作一说明，而变分运算可按变合运算的逆过程适当求之。异基变合运算与常规的异分母加减运算相类似，亦即先通基后合并，以便可使自变量采用同值同步进行有关运算。变合运算可用于各种一元和多元函数，下面重点说明一元和二元。当为一元时，设有N个一元函数为：Hi=H0i(Xi)，对应基距为：LXi，i=1，2，N。试求其合并函数：H=H(X)。

43、这里应先求出通基系数，即TXi=LXi/LX。然后可得对应的通基函数为：Hi=Hi(X)=H0i(Xi)=H0i(TXiX), （8）将通基函数求和可得一元合并函数为：H(X)=Hi(X)=H0i(TXiX),(9）当为二元时，设有N个二元函数为：Hi=H0i(Xi,Yi)，基距为: LYi和LXi，变值系数为：KX0i=KX0i(Yi)和KY0i=KY0i(Xi)，i=1，2，N；统一基距为LY和LX。试求其合并函数：H=H(X,Y)。首先求出对应通基系数为：TXi=LXi/LX，TYi=LYi/LY。然后可得通基函数为：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY

44、), (10)其中，对应变值系数变为:KXi=TXiKX0i(TYiY)=KXi(Y)和KYi=TYiKY0i(TXiX)=KYi(X),此时,其首项可不为常数1。将通基函数求和可得二元合并函数为：H(X,Y)=Hi(X,Y)=H0i(TXiX,TYiY), （11）上述一元和二元的变合运算通常对应于不同空间的相互合并。仿照上述方法亦可进行多元变合运算。2.2.3变值函数的积分运算目前比较成熟的变值函数积分运算（叫变积运算）还只限于正箱坐标系及其对应的一元到三元。其基本运算规则与等值函数完全相同，所不同的是必须要有变值系数系数的直接参与。下面介绍两种情形，即单一变值函数的积分运算(或叫单积运算

45、)和非单一变值函数的合并和积分运算(合积运算)。（1）变积运算:由于等值函数的变值系数恒为1，故其积分结果对应于密度或单位与基准（基值）单位相同的实际数值（如密度均匀的面积或体积数值等）；但变值函数的变值系数通常不为常数1，自变量的取值通常只是同名坐标单位数，所对应的密度或单位并不相同，故其直接积分结果仍然只是密度或单位不等的对应单位数，并非与基准（基值）单位相同的实际数值，二者存在某一差值。这一差值来自积分变量的变值系数余项。因此，若要得到密度或单位与基值单位相同的实际数值（即补上相应差值），则应将被积函数的对应单位还原为基值单位，亦即应将被积函数进行还原，通常是将被积函数（显函数）乘以某一

46、系数（可为数值或算式）。由于该系数对积分运算具有上述还原作用，故可称之为还原系数或积分系数（用U表示）。这种还原只对被积函数中不含变值系数的积分变量进行，此时的积分变量叫还原变量。在通常情况下，还原变量为宽距变量和长距变量。此时，还原系数可有两种求法：当只有一个还原变量时，还原系数等于对应变值系数；当有两个还原变量时，还原系数等于两个对应变值系数的首项之积与余项之和。现将比较常用的还原系数列示如下：当还原变量为宽距变量时，则UX=KX(Y)，（12）当还原变量为长距变量时，则UY=KY(X)，（13）当还原变量为宽距变量和长距变量时,则：UXY=KXAKYA+RX(Y)+RY(X)=KA+R,

47、 （14）上式中，首项KA=KXAKYA对应于方箱体，余项R=RX(Y)+RY(X)对应于变值部分。当KXA=KYA=1,此时, UXY=1+RX(Y)+RY(X)=KX(Y)+KY(X)-1，或 UXY=1+RX+RY=KX+KY-1。有了上述还原系数，便可对被积函数进行还原。被积函数还原后（可叫被积还原函数），便可按照常规方法进行积分运算。一到三元的常见积分如下：一元变积运算：通常UX=TX，TX为变基系数，其值为常数。HX=UXH(X)dX=TXH(X)dX，（15）二元变积运算（其被积函数常为高距函数，积分变量为长距和宽距变量）：一次积分：SX(Y)=UXH(X,Y)dX=KXH(X,

48、Y)dX，（16）SY(X)=UYH(X,Y)dY=KYH(X,Y)dY，（17）二重积分：VXY=dYUXYH(X,Y)dX=dY(KA+R)H(X,Y)dX=dX(KX+KY-1)H(X,Y)dY，（18）三元变积运算（其被积函数通常为高距系数，应先对高距变量进行积分）：一次积分：HZ(X,Y)=KH(X,Y)dZ，（19）二重积分：SZX(Y)=UXKH(X,Y)dZdX=KXKH(X,Y)dZdX=KXH(X,Y)dX，（20）SZY(X)=UYKH(X,Y)dZdY=KYKH(X,Y)dZdY=KYHH(X,Y)dY，（21）三重积分：VZXY=dYUXYKH(X,Y)dZdX=dY

49、(KA+R)KH(X,Y)dZdX=dY(KX+KY-1)H(X,Y)dX，（22）以上各种积分变量的上、下限均为常数，当含有函数项时（如多重积分），其有关运算仍与常规的积分运算方法相同。（2）变值函数的合积运算：合积运算是指同时包含变合和变积运算的算法，仍有同基与异基之分。（2.1）同基合积运算：本法是指各单式均为同基函数合积运算，其中，又有同系与异系之分，前者可视为后者的特殊情形。通基合积的一般步骤是：一还原、二求和、三积分。现以二元为例说明如下：设有N个同基二元单式及其还原系数分别为Hi=Hi(X,Y)和Ui（Ui的求法见前述积分运算）。则各单式的被积还原式为：UiHi=UiHi(X,Y

50、)，其一般合积算式可表示如下：对X定积分时：SX(Y)=UXiHidX=UXiHi(X,Y)dX, （23）对Y定积分时：SY(X)=UYiHidY=UYiHi(X,Y)dY, （24）对X、Y定积分时：VXY=dYUXYiHidX=dYUXYiHi(X,Y)dX, （25）当各单式为同基同系时，还原系数相同，前两步可以互换，也可将还原系数提到求和符号之前；当各单式为异基异系时，还原系数不同，前两步不能互换；当积分变量采用同值同步时，积分运算只能放在最后；当积分变量不采用同值同步时，其后两步可以互换。（2.2）异基合积运算：本法是指各单式不为同基函数的合积运算。其一般步骤是：一通基、二还原、三

51、求和、四积分。这里先进行通基使各单式变为同基算式，然后便可按照同基算式进行合积运算，其中，又有同系与异系之分（前者可视为后者的特殊情形）。这里仍以二元为例作一说明。设有N个异基二元单式、原坐标系数及通基系数分别为Hi=H0i(Xi,Yi)、KX0i(Y)、KY0i(X)和TXi、TYi（TXi、TYi的求法见前述的合并运算），通基后的各式为：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY)新的宽距和长距系数系数分别为：KXi(Y)=TXiKX0i(TYiY)=KXAi+RXi(Y)和KYi(X)=TYiKY0i(TXiX)=KYAi+RYi(X)。由于通基过程使原不均匀

52、方箱体的长距和宽距密度发生二次变化，此时的各单式对应于二次变化的不均匀方箱体，为了消除二次变化的影响，则其还原系数应由新的变值系数求得，其具体求法同前（见12、13、14各式）。为便于应用，现将其再次列示如下：积分变量为X时:UXi=KXi(Y)=KXAi+RXi(Y)；积分变量为Y时:UYi=KYi(X)=KYAi+RYi(X)；积分变量为X、Y时:UXYi=KXaiKYAi+KYaiRXi(Y)+KXaiRYi(X)=KXYAi+RXYi，式中，KXYAi=KXaiKYAi，RXYi=KYaiRXi(Y)+KXaiRYi(X)。进而可得其一般合积算式为：对X定积分：SX(Y)=UXiHid

53、X=KXiHi(X,Y)dX, （26）对Y定积分：SY(X)=UYiHidY=KYiHi(X,Y)dY, （27）对X、Y定积分：VXY=dYUXYiHidX=dY(KXYAi+RXYi)Hi(X,Y)dX, （28）以上为二元类合积运算的基本算法，当各单式为三元高距坐标算式(为高距算式的一个原函数)或二元高距系数算式时(此时为箱体坐标系)，则可先求出对应高距的二元算式(如将二元高距系数算式对Z定积分而得)，然后按照上述方法求之。另当上述各单式为高距坐标的二元算式(高距算式的一个原函数)或为高距系数的一元算式时(常与箱面坐标系相对应)，此时,亦可先求出各单式的高距算式(如将一元高距系数算式对

54、Z定积分而得),然后可由上述二元类合积算式简化而得。其一般求法如下:设有N个一元高距系数算式、原还原系数及通基系数分别为KHi=KH0i(Xi)、U0i和Ti（U0i和Ti的求法见前述的积分运算和合并运算），则可先求出各单式的原高距算式为:H0i(X)=KH0i(X)dZ，然后可得通基后的各单式为：Hi=Hi(X)=H0i(Xi)=H0i(TiX)，故得各单式的新被积还原式为：HUi=UiHi=UiHi(X)=TiU0iH0i(TiX)。进而可得合积算式为：SX=UiHUidX=TiU0iHi(X)dX, （29）在上述合积运算的一般算式中，积分符号与求和符号也可互换位置，亦即两种运算也可交换顺序。另当积分变量不采用同值同步时，可省去其通基变换。2.2.4变值函数的坐标变换：在变值函数中，总体来说，自变量的取值均与基值坐标相对应，基值函数也同样如此，因此，当需要自变量的实际坐标位置（即对应变值坐标）时，则应进行基值坐标与变值坐标的相互变换。其具体变换方法可依据变值公式进行，即：变值坐标=基值坐标×变值系数，或基值坐标=变值坐标/变值系数。有关变换可参阅表3。 基值坐标与变值坐标换算表 表3 已知坐标第一坐标求法第二坐标求法第三坐标求法备 注箱面坐标X,YX=XKX(Y)