惠州学院彭文娟老师通信原理课件 第二章 信号

1、第二章第二章 信信 号号主讲人主讲人: 彭文娟彭文娟v信号表示信号表示vs(t)=A(t)(t)cos(t+t+(t)(t)v2.1 信号的类型：信号的类型：1.随机信号与确知信号随机信号与确知信号2.能量信号与功率信号能量信号与功率信号2.1 信号的类型v一一.随机信号与确知信号随机信号与确知信号v随机信号随机信号无法事先预知无法事先预知的信号。的信号。 载有信息的信号与干扰信号载有信息的信号与干扰信号的噪音的噪音v确知信号确知信号任何时候都确任何时候都确定的信号。定的信号。可以用确定的可以用确定的时间函数表示。时间函数表示。 用作载波信号，来携带传递用作载波信号，来携带传递随机信号随机信号

2、2.1 信号的类型1.1.信号的功率信号的功率: : 设设 R = 1, , 则则 P = V2/R = I2R = V2 = I22.2.信号的能量：信号的能量： 设设S代表代表V或或I，若，若S随时间变化，则写为随时间变化，则写为s(t)，于于是，信号的能量为瞬时功率的积分，即是，信号的能量为瞬时功率的积分，即 E = s2(t)dt二、能量信号和功率信号二、能量信号和功率信号2.1 信号的类型能量信号能量信号：满足：满足 平均功率平均功率： ，故故能量信号能量信号的的P = 0P = 0。功率信号功率信号：P P 0 0 的信号，即持续时间无穷的信号。的信号，即持续时间无穷的信号。dt)

3、 t (sE022/T2/T2Tdt) t (sT1limP3.3.能量信号和功率信号的定义能量信号和功率信号的定义2.1 信号的类型 能量信号的能量有限，但平均功率为能量信号的能量有限，但平均功率为0 0。 功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。3.3.能量信号和功率信号的特点能量信号和功率信号的特点例例1：下面两个信号各是能量信号还是功率信号？：下面两个信号各是能量信号还是功率信号？dt) t (sE022/T2/T2Tdt) t (sT1limP几个常用的确知信号几个常用的确知信号 1.1.矩形脉冲函数矩形脉冲函数 2.2.抽样函数抽样函数2.2

4、 2.2 确知信号性质确知信号性质t10 2 - -2 Sa(t)tT0-/ 2/ 2g(t)2.2 确知信号性质3.3.阶跃函数阶跃函数4.4.冲激函数冲激函数t0(t) t10u(t)2.2 确知信号性质一、频域性质一、频域性质 1.1.功率信号的频谱功率信号的频谱 设设s(t)为周期性功率信号，为周期性功率信号，T0为周期，则有为周期，则有 式中式中， 0 = 2 / T0 = 2 f0 C(jn 0)是复数是复数， 式中式中，|Cn| 频率为频率为nf0的分量的振幅；的分量的振幅； n 频率为频率为nf0的分量的相位。的分量的相位。 信号信号s(t)的的傅里叶级数表示法傅里叶级数表示法

5、：2/2/00000)(1)(TTtjndtetsTjnCntjnejnCts0)()(0nnCnCj0e)j (特点：频谱特点：频谱是离散的，是离散的，包含各次谐包含各次谐波的振幅和波的振幅和相位相位【例例2.12.1】 试求周期性方波的频谱。试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，宽度为 ，幅度为，幅度为V 其频谱为：其频谱为： t)Tt ( f) t ( f) 2/T(t2/02/t2/V) t ( f2.2 确知信号性质tV0-/ 2/ 2T-Tf(t)2sin211)(0002/2/2/2/2/2/000000nTnVjneeTVejn

6、VTdtVeTjnCjnjntjntjn例例2.1 2.1 频谱图频谱图2.2 确知信号性质)2(2/) 2/sin(2sin2)(000000nSaTVnnTVnTnVjnC设一能量信号为设一能量信号为s(t)，则其频谱密度为：则其频谱密度为：S( )的逆变换为原信号：的逆变换为原信号：dtetsStj)()(dteStstj)()(2.2 确知信号性质2.2.能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度【例例2.32.3】试求一个矩形脉冲的频谱密度。试求一个矩形脉冲的频谱密度。 解：设此矩形脉冲的表示式为：解：设此矩形脉冲的表示式为：则它的频谱密度就是它的傅里叶变换则它的频谱密度就是它的傅里叶变换

7、2.2 确知信号性质2/02/1)(tttg2/) 2/sin()(1)(2/2/2/2/jjtjeejdteGt10-/ 2/ 2g(t) 02/ -2/ -4/ 4/ G()【例例2.42.4】试求抽样函数的波形和频谱密度。试求抽样函数的波形和频谱密度。解：抽样函数的定义是解：抽样函数的定义是 而而Sa(t)的频谱密度为：的频谱密度为： 和上例比较可知，和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的的波形和上例中的G( )曲线相同，而曲线相同，而Sa(t)的频谱密度的频谱密度Sa( )的曲线和上例中的的曲线和上例中的g(t)波形相同。波形相同。tttSasin)(其它011sin)(dtett

8、Satj2.2 确知信号性质【例例2.52.5】单位冲激函数及其频谱密度。单位冲激函数及其频谱密度。 解：单位冲激函数常简称为解：单位冲激函数常简称为 函数，其定义是：函数，其定义是： (t)的频谱密度：的频谱密度：2.2 确知信号性质00)(1)(ttdtt1)(1)()(dttdtetftj(t)及其频谱密度的曲线： 函数的物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。f (f)10t (t)02.2 确知信号性质【例例2.62.6】试求无限长余弦波的频谱密度。试求无限长余弦波的频谱密度。 解：设一个余弦波的表示式为解：设一个余弦波的表示式为f (t) = cos 0t，则，则其

9、频谱密度其频谱密度F( )按式按式(2.2-10)(2.2-10)计算，可以写为计算，可以写为上式可以改写为上式可以改写为2)(2)(2lim2/)( 2/)sin(2/)( 2/)sin(2limcoslim)(0000002/2/0SaSadtteFtj)()()(00F2.2 确知信号性质2.2 确知信号性质t 0 00(b)(b)频谱密度频谱密度(a) (a) 波形波形3.3.能量谱密度能量谱密度设一个能量信号设一个能量信号s(t)的能量为的能量为E，则其能量由下式决定：，则其能量由下式决定： 若此信号的频谱密度为若此信号的频谱密度为S(f)，则由则由巴塞伐尔（巴塞伐尔（Parseva

10、lParseval）定理定理得知：得知： 上式中上式中|S(f)|2称为称为能量谱密度能量谱密度，也可以看作是单位频带，也可以看作是单位频带内的信号能量。内的信号能量。dttsE)(2dffSdttsE22)()(2.2 确知信号性质 上式可以改写为：上式可以改写为： 式中，式中，G(f)|S(f)|2 （J/HzJ/Hz） 为能量谱密度。为能量谱密度。G(f)的性质：因s(t)是实函数，故|S(f)|2 是偶函数 dffGE)(0)(2dffGE2.2 确知信号性质4.4.功率谱密度功率谱密度令令s(t)的截短信号为的截短信号为sT(t)，-T/2 t 0, a = 常数 概率密度曲线：22

11、2)(exp21)(axxpX二、均匀分布随机变量二、均匀分布随机变量 定义：概率密度 式中，a，b为常数。 概率密度曲线：其他0)/(1)(bxaabxpX bax0pA(x)2.4 常见随机变量举例三、三、瑞利瑞利(Rayleigh)(Rayleigh)分布随机变量分布随机变量 定义：定义：概率密度为概率密度为 式中，式中，a 0，为常数。，为常数。 概率密度曲线：概率密度曲线：0)exp(2)(2xaxaxxpX2.4 常见随机变量举例2.5 随机变量的数字特征（请自行复习概率统计相关内容。）2.6 随机过程 概念：随机信号随时间概念：随机信号随时间t变化的随机变量。它变化的随机变量。它

12、可以看成是由一个事可以看成是由一个事件件A的全部可能的全部可能“实现实现”构成的总体，记为构成的总体，记为X(A, t)。 平稳随机过程：随机过程的统计特性与时间起点无关的随机过平稳随机过程：随机过程的统计特性与时间起点无关的随机过程。程。它也属于一种它也属于一种“随机过程随机过程”。图中画出了其。图中画出了其3 3个样本，这种随个样本，这种随机过程的样本空间有无穷多个。机过程的样本空间有无穷多个。注意：每一个样本都是一个关于时间的函数，即一个实现注意：每一个样本都是一个关于时间的函数，即一个实现X(Ai, t) 这是在一个电阻上这是在一个电阻上测量到的热噪声测量到的热噪声31)41,21R(

13、及)21E(，求212120的分布律为是一个随机变其中),sin(X(t)设随机过程例量t函数定义解：由随机变量的均值)21()21()()(XEEtXEtE，212101)2sin(212120的分布律为的分布律为)2sin()21(, )sin()(XttX32)21()21(XEE21021121)2sin(E函数定义再由随机变量的自相关)()(),(2121tXtXEttR)41()21()41,21(XXER)4sin()2sin( E33212120的分布律为2121022)4sin()2sin(的分布律为)41()21()41,21(XXER)4sin()2sin( E42021

14、22212.6 随机过程v平稳随机过程平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的自相关函数和功率谱密度 1. 1. 自相关函数自相关函数a.a.b.b.c.c.d.d.e.e.XPtXER)()0(2)()( RR)0()(RR)()(2tXER2)()0(XRR2/2/)()(1lim)()()(TTiiTXdttXtXTtXtXER2.6 随机过程2. 2. 功率频谱密度的性质功率频谱密度的性质 (1) (1) 确知信号的功率谱密度：确知信号的功率谱密度： (2) (2) 类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：类似地，平稳随机过程的功率谱密度为： (3) (3) 平均功率平均功率TfSfPTT2

15、)(lim)(TfSEfPEfPTTX2)(lim)()(dfTfSEdffPPTTXX)(lim)(23. 3. 自相关函数和功率谱密度的关系自相关函数和功率谱密度的关系由由式中，式中，令令 =t t，k =t + t，则上式可以化简成则上式可以化简成 于是于是有有2/2/2/2/) (2/2/2/2/2/2/2/2/2) (1) ()(1) (*)(1)(TTTTttjTTtjTTtjTTtjTTTtjTTdtdtettRTdtetsdtetsTEdtetsdtetsTETfSE)()()(tstsEttRTTjTdeRTTfSE)(1)(2deRdeRTTfSEfPjTTjTTTX)()

16、(1lim)(lim)(22.6 随机过程上式表明，平稳随机过程上式表明，平稳随机过程PX(f )和和R( )是一对傅里叶是一对傅里叶变换：变换：4 4. . PX(f )的性质：的性质：a. PX(f ) 0, , 并且并且PX(f )是实函数；是实函数；b. b. PX(f ) PX(-f )，即即PX(f )是偶函数。是偶函数。 deRfPjX)()(dfefPRjX)()(2.6 随机过程。率谱密度或能量谱密度还是能量信号？求其功请问它是功率信号例：有一信号表达式为),2cos(2t2cos22cos)224cos(2lim)(2cos2)2cos(21lim)()(1lim)(222

17、222TTTTTTTTTXdttTdtttTdttXtXTR它是功率信号。该信号能量无法计算，解： ) 1() 1()()(ffRfPX平稳随机过程平稳随机过程PX(f )和和R( )是一对傅里叶变换：是一对傅里叶变换：【例【例2.102.10】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。】试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。 解：白噪声是指具有均匀功率谱解：白噪声是指具有均匀功率谱密度密度Pn(f )的噪声，即的噪声，即Pn(f ) n0/2，式中，式中，n0为单边功率谱密度（为单边功率谱密度（W/HzW/Hz），），白噪声的自相关白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得函数可以从它的功率谱密度求

18、得: : 由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即由上式看出，白噪声的任何两个相邻时间（即 0 0时）时）的抽样值都是不相关的。的抽样值都是不相关的。 白噪声的平均功率白噪声的平均功率: : 上式表明，白噪声上式表明，白噪声的的平均功率为无穷大。平均功率为无穷大。 )(22)()(00ndfendfefPRjjX)0(2)0(0nRPn(f)n0/20fRn( )n0/2 02.6 随机过程2.6 随机过程【例【例2.112.11】带限白噪声的功率谱密度和自相关函数。带限白噪声的功率谱密度和自相关函数。解：解：带限白噪声：带宽受到限制的白噪声带限白噪声：带宽受到限制的白噪声 带限白噪声的功率谱

19、密度：带限白噪声的功率谱密度： 设白噪声的频带限制在设白噪声的频带限制在(-fH, fH)之间，则有之间，则有 其自相关函数为：其自相关函数为：波形：波形：HHHffjfffndfenRHH22sin22)(00n0/2Pn(f)0f-fHfHRn( ) 01/2fH-1/2fH其它, 0, 2/)(0HHnfffnfP返回返回v2.7 高斯过程（热噪声）高斯过程（热噪声） 概念：高斯过程的一维概率密度函数服从正态分布概念：高斯过程的一维概率密度函数服从正态分布-正态随机过程。正态随机过程。v2.8 窄带随机过程窄带随机过程 由于通信系统的带通特性，由于通信系统的带通特性，信号和噪声的频带都受

20、限。信号和噪声的频带都受限。 若随机过程频带宽度为若随机过程频带宽度为f，中心频率为中心频率为f0，若，若 ，则为窄带随机过程。，则为窄带随机过程。例：例：4G技术技术TD-LTE中心频率中心频率f0为为2.32.4GHz，每个，每个移动终端（手机）最大频带宽度移动终端（手机）最大频带宽度f=20MHz，接收，接收信号明显为窄带随机过程。信号明显为窄带随机过程。 0ff 2.10 信号通过线性系统一、线性系统的基本概念一、线性系统的基本概念 1.1.线性系统的特性线性系统的特性 有一对输入端和一对输出端有一对输入端和一对输出端 无源无源 无记忆无记忆 非时变非时变 有因果关系：先有输入、后有输

21、出有因果关系：先有输入、后有输出 有线性关系：满足叠加原理和均匀性有线性关系：满足叠加原理和均匀性 若当输入为若当输入为xi(t)时，输出为时，输出为yi(t)，则当输入则当输入为为 时，输出为：时，输出为：式中，式中，a1和和a2均为任意常数。均为任意常数。)()()(2211txatxatx)()()(2211tyatyaty2.2.线性系统的示意图线性系统的示意图线性系统线性系统输入输入输出输出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)t (t)h(t)t002.10 信号通过线性系统dtthtth)(0,0)(对于物理可实现系统：对于物理可实现系统：二、确知信号通过线性系统二、确

22、知信号通过线性系统 1. 1. 时域分析法时域分析法 设设h(t)系统的冲激响应系统的冲激响应 x(t)输入信号波形输入信号波形 y(t)输出信号波形输出信号波形 则有：则有：2.10 信号通过线性系统dhtxdthxthtxty)()()()()()()(2.2.频域分析法频域分析法 （1 1）设：输入为能量信号，令）设：输入为能量信号，令 x( t )输入能量信号输入能量信号 H( f )h( t )的傅里叶变换的傅里叶变换 X( f )x( t )的傅里叶变换的傅里叶变换 y( t )输出信号输出信号则此系统的输出信号则此系统的输出信号y( t )的频谱密度的频谱密度Y( f )：由由Y

23、( f )的逆傅里叶变换可以求出的逆傅里叶变换可以求出y( t )：)()()(fHfXfYdfefYtyftj2)()(2.10 信号通过线性系统（2 2）设：输入设：输入x(t)为周期性功率信号，则有为周期性功率信号，则有 式中，式中， 0 = 2 /T0 ；T0信号的周期信号的周期 f0 = 0/2 是信号的基频是信号的基频 输输出为：出为： （3 3）设：输入）设：输入x(t)为非周期性功率信号，则当作随机信号处为非周期性功率信号，则当作随机信号处理。理。ntjnejnCtx0)()(02/2/00000)(1)(TTtjndtetxTjnC2.10 信号通过线性系统ntjnenHjn

24、Cty0)()()(00【例【例2.112.11】若有一个】若有一个RCRC低通滤波器，如图所示。试求低通滤波器，如图所示。试求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出信号表示式。信号表示式。 解解: : 设设x(t)输入能量信号输入能量信号 y(t)输出能量信号输出能量信号 X(f)x(t)的频谱密度的频谱密度 Y(f)y(t)的频谱密度的频谱密度则则此电路的传输函数为：此电路的传输函数为： 此滤波器的冲激响应此滤波器的冲激响应h(t)：2.10 信号通过线性系统RCx(t)y(t)RCjCjRCjfH11)/1 (/1)(RCttjtje

25、RCdfeRCjdfefHth/111)()(2.10 信号通过线性系统滤波器输出和输入之间的关系：滤波器输出和输入之间的关系： 假假设输入设输入x(t)等于：等于：则此滤波器的输出为：则此滤波器的输出为： dexRCdthxthtxtyRCt/ )()(1)()()()()(0, 00,)(ttetxataRCeeaRCeRCedeeRCtyRCtattaRCRCttRCta1/11)(/0)/1 (/0/ )(2.10 信号通过线性系统3. 3. 无失真传输条件无失真传输条件 系统是无失真的线性传输系统，输入信号为系统是无失真的线性传输系统，输入信号为x(t)，则其无则其无失真输出信号失真

26、输出信号y(t)为：为： 式中，式中，k 衰减常数，衰减常数， td 延迟时间。延迟时间。 假设信号假设信号x(t)x(t)为能量信号，输出信号必然也是能量为能量信号，输出信号必然也是能量信号，则系统的传输函数：信号，则系统的传输函数： 式中，式中，)()(dttkxtydtjefkXfY)()(dtjefkXfHfXfY)()()()(jtjkeke)f(Hddft22.10 信号通过线性系统无失真传输条件：无失真传输条件： 振幅特性与频率无关；振幅特性与频率无关； 相位特性是通过原点的直线。相位特性是通过原点的直线。（实际中，（实际中， 难测量，常用测量难测量，常用测量td代替。）代替。）

27、|H(f)|k0f f02.10 信号通过线性系统jtjkeke)f (Hd三、随机信号通过线性系统三、随机信号通过线性系统1. 1. 物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有 若输入为平稳随机信号若输入为平稳随机信号X(t)，则输出则输出Y(t)为为0)()()(dtxhty0)()()(dtXhtY2.10 信号通过线性系统2. 2. 输出输出Y(t)的数学期望的数学期望EY(t) 由于已假设输入是平稳随机过程，故由于已假设输入是平稳随机过程，故 输出的数学期望：输出的数学期望：EX(t-) = EX(t) = k，k = 常数。0)()(dhk

28、tYE0000dt)t (h|dte )t (h| )f(H)(Hftjf)0()(kHtYE2.10 信号通过线性系统00)()()()()(dtXEhdtXhEtYE3. 3. 输出输出Y(t)的自相关函数的自相关函数由自相关函数定义，有由自相关函数定义，有由由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有无关，故有由于由于Y(t)的数学期望和自相关函数都和的数学期望和自相关函数都和t t1 1无关，无关，故故Y(t)是广义平稳随机过程。是广义平稳随机过程。 001100111111)()()()()()()()()()(),(dudvvtXutXEvh

29、uhdvvtXvhduutXuhEtYtYEttRYvuRvtXutXEX)()(11 0011)()()(,YXYRdudvvuRvhuhttR2.10 信号通过线性系统4. 4. 输出输出Y(t)的功率谱密度的功率谱密度PY( f ) ：由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令令 = +u v 代入上式，得到代入上式，得到 输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2。dvevuRvhuhduddeRfPjXjYY00)()()()()()()()()()(*)()()

30、()(200fPfHfPfHfHdeRdvevhdueuhfPXXjXvjujY2.10 信号通过线性系统【例例2.122.12】已知一个白噪声的双边功率谱密度为】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。关函数和噪声功率。 解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成： 所以有：所以有： 其它处, 0,)(HtjffkefHdHffkfH,)(222.10 信号通过线性系统输出信号的功率谱密度为：输出信号的功率谱密度为： 输出信号的自相关

31、函数：输出信号的自相关函数：输出噪声功率输出噪声功率PY RY(0) = k2 n0 fH 2.10 信号通过线性系统HXYffnkfPfHfP,2)()()(022)2 /2(sin4/)()(0202HffHHjjYYfffnkdfenkdfefPRHH5. 5. 输出随机过程输出随机过程Y(t)的概率分布的概率分布 结论：高斯随机过程通过线性系统后输出仍为高结论：高斯随机过程通过线性系统后输出仍为高斯随机过程。斯随机过程。2.10 信号通过线性系统返回返回2.7 2.7 高斯过程（正态随机过程）（自学）高斯过程（正态随机过程）（自学）一、定义：一、定义：1.1. 一维高斯过程的概率密度：

32、一维高斯过程的概率密度：式中，式中，a = =EX(t)为为均值均值 2 2 = =EX(t)-a2为为方差方差 为为标准偏差标准偏差高斯过程是平稳过程，故高斯过程是平稳过程，故其概率密度其概率密度pX (x,t1)与与t1无关无关即，即，pX(x,t1)pX (x)pX (x)的曲线：的曲线：2212exp21),(axtxpX2. 2. 高斯过程的严格定义：高斯过程的严格定义： 任意任意n维联合概率密度满足：维联合概率密度满足： 式中，式中，ak为为xk的数学期望（统计平均值）；的数学期望（统计平均值）； k为为xk的标的标准偏差；准偏差；| |B B| |为归一化协方差矩阵的行列式，即为

33、归一化协方差矩阵的行列式，即 | |B B| |jkjk为行列式为行列式| |B B| |中元素中元素b bjkjk的的代数余子式；代数余子式；b bjkjk为归一化协方差为归一化协方差函数，即函数，即njnkkkkjjjjknnnnXaxaxBBBtttxxxp112/ 1212/212121exp)2(1),;,(11121221112nnnnbbbbbbB 2.7 高斯过程kjkkjjjkaxaxEb3. 3. n维高斯过程的性质维高斯过程的性质(1) pX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)仅由各个随机变量的数学期望仅由各个随机变量的数学期望ai、标准偏差标准偏差

34、 i i和归一化协方差和归一化协方差bjk决定，因此它是一个广义平稳随决定，因此它是一个广义平稳随机过程。机过程。(2)(2) 若若x1,x2, ,xn等两两之间互不相关，则有当等两两之间互不相关，则有当j k 时，时，bjk = 0 = 0。这时，这时，即，此即，此n 维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。),(),(),(2exp21),;,(22112212121nnXXXkkknkknnXtxptxptxpaxtttxxxp2.7 高斯过程3. 3. n维高斯过程的性质维高斯过程的性质注意：注意： 若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为若

35、两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者两者互不相关互不相关；若两个随机变量的二维联合概率密度；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率密度之积，则称为两者等于其一维概率密度之积，则称为两者互相独立互相独立。互。互不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的不相关的两个随机变量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。两个随机变量则一定互不相关。(3)(3) 高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。 2.7 高斯过程二、正态概率密度的性质二、正态概率密度的性质1. p(x)对称于直线对称于直线x =a，即有：，即有：2.

36、 p(x)在区间在区间(-(- , ,a) )内单调上升，在区间内单调上升，在区间(a, )内单调内单调下降，并且在点下降，并且在点a处达到其极大值处达到其极大值 3. 当当x - 或或 x + 时，时，p(x) 0。 4. 5. 若若a = 0, = 1，则称这种分布为标准化正态分布：，则称这种分布为标准化正态分布： )()(xapxap)2/(11)(dxxpaadxxpdxxp2/1)()(2exp21)(2xxp2.7 高斯过程三、正态分布函数三、正态分布函数将正态概率密度函数的积分定义为将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数正态分布函数：式中，式中， (x)称为称为概率积分函数概

37、率积分函数 ：此积分不易计算，通常用查表方法计算。此积分不易计算，通常用查表方法计算。 axdzazdzazxFxx22222)(exp212)(exp21)(dzzxx2exp21)(22.7 高斯过程四、用误差函数表示正态分布四、用误差函数表示正态分布1. 1. 误差函数定义误差函数定义：2. 2. 补误差函数定义：补误差函数定义： 3. 3. 正态分布表示法：正态分布表示法：dzexerfxz022)(dzedzexerfxerfcxzxz22221)(1)(0axaxerfcaxaxerfxF,2211,22121)(2.7 高斯过程返回返回频率近似为fc2.8 窄带随机过程一、基本概

38、念一、基本概念 1. 1. 何谓窄带何谓窄带? ? 设随机过程的频带宽度为设随机过程的频带宽度为 f，中心频率为，中心频率为fc。若。若 f fc，则，则称此随机过程为窄带随机过程。称此随机过程为窄带随机过程。 2. 2. 窄带随机过程的波形和表示式窄带随机过程的波形和表示式（1）波形和频谱：波形和频谱：（2 2）表示式）表示式 式中，式中，aX(t)窄带随机过程的窄带随机过程的随机包络随机包络； X(t)窄带随机过程的窄带随机过程的随机相位随机相位； 0正弦波的角频率。正弦波的角频率。 上式可以改写为：上式可以改写为：式中，式中， X (t)的的同相分量同相分量 X (t)的的正交分量正交分量 0)(),(cos)()(0tatttatXXXXttXttXtXsc00sin)(cos)()()(cos)()(ttatXXXc)(sin)()(ttatXXXs2.8 窄带随机过程二、窄带随机过程的性质二、窄带随机过程的性质 1.1. Xc(t)和和Xs(t)的统计特性：的统计特性：设设X(t)是一个均值为是一个均值为0 0的平稳窄带高斯过程，则的平稳窄带高斯过程，则a a. . Xc(t)和和Xs(t)也是均值为也是均值为0 0的平稳高斯过程；的平稳高斯过程；b b. . Xc(t)和和Xs(t)的方差相同，且等于的