经济数学微积分极限存在准则学习教案

1、会计学1经济数学微积分极限存在经济数学微积分极限存在(cnzi)准则准则第一页，共33页。准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 第1页/共32页第二页，共33页。,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时上两式同时(tngsh)成立成立

2、, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则上述数列极限存在的准则(zhnz)可以推广到函数的极可以推广到函数的极限限第2页/共32页第三页，共33页。准则准则 如果当如果当),(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意(zh (zh y):y):.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnn

3、nzyzy准则准则(zhnz) I和准则和准则(zhnz) I称为夹逼准则称为夹逼准则(zhnz).第3页/共32页第四页，共33页。例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理由夹逼定理(dngl)得得. 1)12111(lim222 nnnnn第4页/共32页第五页，共33页。AC作为准则作为准则的应用，下面证明一个重要的应用，下面证明一个重要(zhngyo)的极限的极限1sinlim0 xxx,O设设单单位位圆圆如如右右图图，,tan,si

4、nACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BDOAB的高为 (0)2AOBxx 圆圆心心角角第5页/共32页第六页，共33页。,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx第6页/共32页第七页，共33页。例例2 2.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx

5、 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第7页/共32页第八页，共33页。x1x2x3x1 nxnx满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调单调(dndio)增增加加,121 nnxxxx单调单调(dndio)减少减少单调单调(dndio)数列数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM第8页/共32页第九页，共33页。.)(333的的极极限限存存在在式式重重根根证证明明数数列列nxn 例例3 3证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3

6、 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx第9页/共32页第十页，共33页。exxx )11(lim定义定义(dngy)ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( 作为准则作为准则(zhnz)的应用，可以证明一个重要的的应用，可以证明一个重要的极限极限第10页/共3

7、2页第十一页，共33页。).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似类似(li s)地地,第11页/共32页第十二页，共33页。因因此此的的极极限限都都存存在在且且等等于于时时，函函数数或或取取实实数数而而趋趋向向可可以以证证明明，当当,)11(exxx .)11(limexxx ezzxxzz

8、z 10)1(lim,01于于是是有有时时，则则当当利利用用代代换换第12页/共32页第十三页，共33页。例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 第13页/共32页第十四页，共33页。例例6 6解解.)1ln(lim0 xxx 求求. 1ln)1(limln)1ln(lim)1ln(lim10100 exxxxxxxxx第14页/共32页第十五页，共33页。例例7 7解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0

9、 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则则当当uuu)1ln(1lim0 . 1 第15页/共32页第十六页，共33页。则则，年年利利率率为为称称为为本本金金设设一一笔笔贷贷款款,)(0rA)1(01rAA 一一年年后后本本利利和和2012)1()1(rArAA 两年后本利和两年后本利和kkrAAk)1(0 年年后后本本利利和和，则则，年年利利率率仍仍为为期期计计息息如如果果一一年年分分rn，于于是是一一年年后后的的本本利利和和每每期期利利率率为为nrnnrAA)1(01 第16页/共32页第十七页，共33页。nkknrAAk)1(0 年后本利和年后本利和

10、年年后后的的本本利利和和，则则称称为为连连续续复复利利复复利利，即即每每时时每每刻刻计计算算如如果果计计息息期期数数kn)( rkrkrnnnknkeArnAnrAA00011lim)1(lim 第17页/共32页第十八页，共33页。1.两个两个(lin )准则准则2.两个两个(lin )重要重要极限极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 第18页/共32页第十九页，共33页。思考题思考题 有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产小兔一对.

11、而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后每月亦生产小兔一对. 假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？并求出许多年后，兔子(t zi)总对数的月增长率.第19页/共32页第二十页，共33页。 解解 若用若用“”、“”分别表示一对未成年分别表示一对未成年和成年的兔子，则根据和成年的兔子，则根据(gnj)题设有下面的小题设有下面的小兔繁殖数量图：兔繁殖数量图： 去年12月 1今年 1 月 12 月 23 月 34 月 55 月 86 月 13 从上图可看出, 从三月份开始, 每月的兔子总数恰好等于(dngy)它前面两个月的兔子总数之和. 按此第20页/共3

12、2页第二十一页，共33页。规律(gul)可写出数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233可见(kjin)一年后共有兔子233对. 按上述规律(gul)写出的无限项数列为著名的斐波那契(Fibonacci)数列, 其通项为 1125125151nnnF且此数列有递推关系：), 2 , 1 , 0(12nFFFnnn第21页/共32页第二十二页，共33页。月相对就是第则记1%100) 1(,1nbFFbnnnn第n月的兔子对数的增长率 nnbnlim), 2 , 1 , 0(若数的月就表示许多年后兔子对则存在) 1lim(,nnb增长率。nnblim存在(cnzi)

13、的证明及求法如下：证), 2 , 1(111111110nbFFFFFFFbbnnnnnnnnn第22页/共32页第二十三页，共33页。用数学(shxu)归纳法容易证明：数列2nb是单调增加的；数列12 nb是单调减少的.又, 对一切223, 0nbn成立. 即数列 、2nb12 nb是有界的.根据“单调有界数列必有极限(jxin)”的准则可知数列 和 的极限存在, 分别记作b*和b* , 即 2nb12 nbbbbbnnnn122lim,lim得两边取极限及分别对,1111212122nnnnbbbb第23页/共32页第二十四页，共33页。bbbb1111与两式相减，得bbbbbb, 1.l

14、imlim, 0122bbbbbbnnnn否则有即由此得).1(, 0112nbbbbb因这是不可能的，得而由bbbbnnnn lim,lim即记作存在因此bbbbnn11,111得两边取极限对第24页/共32页第二十五页，共33页。解上方程，得 ，因为 故251b, 1nb618. 1251b即618. 1limlim1nnnnnFFb从而618. 01limnnb故许多年后兔子(t zi)的总对数均以每月61.8%的速率增长.第25页/共32页第二十六页，共33页。思考题思考题求极限求极限(jxin) xxxx193lim 第26页/共32页第二十七页，共33页。思考题解答思考题解答(ji

15、d) xxxx193lim xxxxx111319lim xxxxx 313311lim9990 e第27页/共32页第二十八页，共33页。练练 习习 题题._3cotlim. 40 xxx一、填空题一、填空题:._sinlim. 10 xxx._3sin2sinlim. 20 xxx._2sinlim. 5 xxx._cotlim. 30 xxxarc第28页/共32页第二十九页，共33页。xxx2tan4)(tanlim. 2 ._)1(lim. 72 xxxx._)11(lim. 8 xxxxxxxsin2cos1lim. 10 xxaxax)(lim. 3 二、求下列各极限二、求下列各极限:._)1(lim. 610 xxx第29页/共32页第三十页，共33页。nnnn)11(lim. 42 第30页/共32页第三十一页，共33页。练习题答练习题答案案第31页/共32