第二章、模糊控制理论基础

1、第二章 模糊控制理论基础第一节 引言一、模糊控制的发展二、模糊控制的特点1、无需知道被控对象的数学模型2、是一种反映人类智慧思维的智能控制。3、易于被人们所接受（核心：控制规则）4、构造容易5、鲁棒性好。 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出。三、模糊控制器构造技术1、硬件：采用传统的单片机 软件：实现模糊推理和控制2、模糊单片机或集成电路芯片3、可编程门阵列第二节 模糊集合论基础一、模糊集的概念二、模糊集合的运算三、隶属函数的建立四、模糊关系一、模糊集的概念 集合：具有某种特定属性的对象的全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表示； 集合的

2、全体又称为论域通常用大写英文字母如：U表示。 uU表示元素（个体）u在集合论域（全体） U内。集合表示法(经典集合)：(1)列举法：将集合的元素全部列出的方法。(2)定义法：用集合中元素的共性来描述集合的方法。(3)归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合的方法。(4)特征函数表示法：利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合。因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属于这个集合。例2-1 设集合U由1到5的五个自然数组成，用上述前三种方法写出该集合的表达式。解：(1)列举法 U=1,2,3,4,5(2)定义法 U=u|u为自然数且1u5(3)归纳法 U=ui+1=ui+1, i=1,2,3

3、, 4, u1=11( )0UuUTuuU特征函数表示法：集合U通过特征函数TU(u)来表示 经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是有明确分界线的元素的组合。 用经典集合来处理模糊性概念时，就不行。 对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。经典集合对事物只用1、0简单地表示“属于”或“不属于”的分类；而模糊集合则用“隶属度(Degree of membership)”来描述元素的隶属程度，隶属度是0到1之间连续变化的值。模糊集合特征函数隶属度函数（01连续变化值）例：人对温度的

4、感觉(0C 40C的感觉)：“舒适”的温度：15C 25C“热”：25C以上“冷”：15C 以下经典集合对温度的定义0 15 25 40冷热(T)1.0舒适温度C0 15 25 40(T)1.0冷热舒适温度C模糊集合对温度的定义经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于舒适。与人的感觉一致吗？设U为一可能是离散或连续的集合，用u表示，论域（Universe of Discourse）： U 所有元素组成的全集元素：u 定义2-1 模糊集合：论域U中的模糊集合F用一个在区间0,1上的取值的隶属函数隶属函数F来表示，即： F ：U 0,1F (u)=1：u完全属于F；F (u)= 0：u

5、完全不属于F；0 F (u)0211001u 1、论域U为离散域（即论域U是有限集合）(1)查德表示法(2)序偶表示法F =(u1,(u1),(u2 , (u2),(un , (un)(3)向量表示法F =(u1),(u2),(un) （元素u按次序排列）F =1()/niiFiu u1.00.90.7012345F 例：F =(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2), (5 ,0.1) 例： F =1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 模糊集合的表示方法：例：集合F表示接近于0的整数（已知论域U=0,1

6、,2,3,4,5）/FFu例 以年龄为论域，取Zadeh给出了“年轻”的模糊集F，其隶属函数为0,100U 121025( )251251005Fuuuu02040608010012001X YearsDegree of membership2102525100251/1 () /5uuuFuu 模糊集合表示为：模糊集合的表示方法：( )0 ()AAuuU 二、模糊集合的运算（1）空集 模糊集合的空集的隶属度为0，即（2）全集 模糊集合的全集的隶属度为1，即( )1 ()AAUuuU （4）等集 两个模糊集A和B，若对所有元素u，它们的隶属

7、函数相等，则A和B也相等。即)()(uuBABA（3）子集（包含于） 若B为A的子集，则( )( ) ()BABAuuuU ( ,( )A BF U定义： 设A、B为U中的两个模糊子集，隶属函数分别为A 和B，则模糊集合中的并、交、补等运算按如下定义： AB= A(u)B(u) 式中，符号“”为取大值运算。AB= A(u)B(u) 式中，符号“”为取小值运算。 定义定义2-6 补：模糊集合A的补隶属函数 对所有的u U 被逐点定义为： 定义定义2-4 并：并(AB)的隶属函数AB对所有的u U 被逐点定义为取大运算，即： 定义定义2-5 交：交(AB)的隶属函数AB对所有的u U 被逐点定义为

8、取小运算，即： =1- A(u)则A、B的并运算：则A、B的交运算：123450.60.510.40.3Auuuuu12340.40.7Buuuuu12340.60.30.7ABuuuuu123450.60.610.40.7uuuuu12340.60.30.7ABuuuuu12340.40.3uuuuu例2-3 设论域U=u1, u2, u3, u4, u5中的两个模糊子集为：A的补运算：123451 0.61-0.51-11-0.41-0.3Auuuuu123450.40.

9、500.60.7uuuuu()()ABCABC()()()ABCABACAUAA定理21 模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U中的任意模糊子集,则下列等式成立：（2）分配律（1）结合律()()ABCABC()()()ABCABAC（3）同一律（4）零一律、上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子来进行的。AUUAA怎么推得的？引入概率算子和有界算子：定义定义2-7 称 、+ 为概率算子，对a,b0,1,有：a b=aba+b=a+b-ab由定义可知，如a,b0,1,则a b 0,1, a+b 0,1。定义定义2-8 设A,B F(U),则定义代数运算：(1)A与B的代数积记作A

10、B，运算规则由下式确定：A B(u)= A(u)B(u) u UA + B(u)= A(u)+B(u)- A(u)B(u) u U(2)A与B的代数和记作A + B，运算规则由下式确定：定义定义2-9 称 、为有界算子，对a,b0,1,有：a b= max(0,a+b-1)a b= min(1,a+b)可以证明： a,b0,1, 0 max(0,a+b-1)1、 0 min(1,a+b)1定义定义2-10 设A,B F(U),则定义有界运算：(1)A与B的有界积记作A B，运算规则由下式确定：A B(u)=max (0, A(u)+B(u) -1) u U(2)A与B的有界和记作A B，运算规

11、则由下式确定：A B(u)= min(1, A(u)+B(u) ) u U模糊集合是用隶属函数描述的。三、隶属度函数的建立隶属度函数：模糊集合的特征函数（取值范围在0,1区间） 确定隶属度函数的方法具有主观性，但主观的反映和客观的存在有一定的联系，是受客观制约的。 由于模糊集理论的研究对象具有”模糊性”和经验性,因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的。0 x凸模糊集合非凸模糊集合确定隶属函数应遵守的一些基本原则：1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合例:适中速度的集合是模糊集合。可表示为:“适中速度”= 0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70 从最大隶属度函数点向两

12、边延伸时,其隶属函数的值是必须是单调递减的,而不允许有波浪形。凸模糊集合：隶属函数呈单峰馒头形。203050709500.81速度（语言变量）Degree of membership适中低高51002、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。很低很高标称名：语言值(个数适中：39个（通常是奇数）)语言值的个数和规则数成正比。00 . 1适中高很高32)/(1hkm速度3、隶属度函数要符合人们的语言顺序，避免不恰当的重叠注意：间隔的两个模糊集合隶属度函数尽量不相交。围附近模糊隶属函数的范重叠范围重叠率12()2()UAALdxUL重叠鲁棒性重叠指数：衡量隶属度函数与模糊控制器性能

13、关系的一个重要指标。重叠指数：重叠率、重叠鲁棒性重叠指数的定义附近隶属函数的范围LUA1A2x00.51.0重叠范围LU5 . 01A2A2030405010)/(1hkm速度30例：333. 030/10重叠率40301100.52(4030)20dx重叠鲁棒性(0.20.6为宜)(0.30.7为宜) 重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块模糊性越强，规则越多，越复杂，精度越高。解：求重叠率和重叠鲁棒性1、模糊统计法 隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法，大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。隶属度函数确立的方法：四种方法： 基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否属于一个

14、可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。 对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同的边界。但它们都对应于同一个模糊集A。年轻人17-30岁20-35岁模糊集A清晰集A1*清晰集A2*所有人论域Uv0 通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后再通过“学习”和不断的实践来修整、完善。A(1.56)?隶属度函数确立的方法：00*AvAvn的次数对 的隶属频率试验总次数计算步骤：在每次统计中，v0是固定的（如某一年龄），A*的值是可变的，作n次试验,则模糊统计公式：例：求中等身材的集合A及 A (1.64)选10人，每人确定A*的元素，假设10个人所确定的A*分别是：1.601.69 1.631.70

15、1.651.75 1.561.70 1.621.731.651.72 1.641.73 1.601.69 1.691.75 1.691.77110A(1.56)=0.1310A(1.60)=0.3610A(1.64)=0.6110A(1.77)=6AF0.30.610.50.1=+1.601.641.691.73 1.77610A(1.64)=0.6随着n的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是v0对A的隶属度。计算量大。模糊统计法的特点：2、例证法 ：从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A 的隶属度函数。3、专家经验法：根据专家的经验对每一现象产生的各种结果的可能性程度，

16、来决定其隶属度函数。4、二元对比排序法 通过对多个事物之间的两两对比，来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大体形状。 二元对比排序法分为：相对比较法、对比平均法、优先关系定序法、相似优先对比法。相对比较法： 论域U中元素v1, v2, vn ，要对论域中的元素按某种特征进行排序，首先，在二元对比中建立比较等级，然后用一定的方法进行总体排序，以获得各元素对于该特性的隶属函数。相对比较法的具体步骤： 设论域U中的一对元素(v1, v2)， 在v1和v2的二元对比中，v1具有某特征的程度用gv2(v1)表示，v2具有某特征的程度用gv1(v2)表示。且满足： 0 gv2(v

17、1) 1 、 0 gv1(v2) 1 令：且定义g(vi /vj ) =1，当i=j时。以g(vi /vj ) (i , j=1,2)为元素构造相及矩阵G: 1)/()/(11221vvgvvgG21122112( )(/)max( ) ,() )vvvgvg vvgvgv推广： n个元素 的相及矩阵G:12(,)nvvv1213121232313231231(/)(/)(/)(/)1(/)(/)(/)(/)1(/)(/)(/)(/)1nnnnnng vvg vvg vvg vvg vvg vvGg vvg vvg vvg vvg vvg vv 对矩阵G的每一行取最小值，然后按大小排序，可得各

18、元素对某特征的隶属函数。例例2-4 设论域U= v1,v2,v3,v0,其中v1表示长子，v2表示次子，v3表示三子，v0表示父亲。长子和次子与父亲的相似程度：次子和三子与父亲的相似程度：长子和三子与父亲的相似程度：长子：0.8次子：0.5次子：0.4三子：0.7长子：0.5三子：0.3解：二元对比关系：( gv2(v1) , gv1(v2)=(0.8,0.5) gv1(v1)=1 ( gv3(v2) , gv2(v3)=(0.4,0.7) gv2(v2)=1 ( gv3(v1) , gv1(v3)=(0.5,0.3) gv3(v3)=1 求与父亲相似的隶属度函数。21122112( )(/)

19、max( ) ,() )vvvgvg vvgvgv0.810.812212112()(/)max( ) ,() )vvvgvg vvgvgv0.550.88130.5(/)10.5g vv310.33(/)0.55g vv230.44(/)0.77g vv320.7(/)10.7g vv计算相及矩阵G,=在相及矩阵中取每一行的最小值，按大小排列：13/54/7结论：长子最象父亲(1)；三子次之(0.6)；次子最不象(0.57)。321vvv321vvvG115/37/418/5111由此确定出隶属度函数：12314/73/5Fvvv模糊控制中，隶属度函数基本图形分为三大类：1.左大右小的偏小型

20、下降函数（Z函数）：适用于输入值比较小时的隶属度函数确定。2.左小右大的偏大型上升函数（S函数）：适用于输入值比较大时的隶属度函数确定。0 x1.0(x)矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0(x)曲线分布01.0(x)x矩形分布0 x1.0(x)梯形分布0 x1.0曲线分布3.对称型凸函数（函数）：适用于输入值位于中间时隶属度函数确定。01.0(x)x矩形分布(x)0 x1.0三角形分布01.0(x)梯形分布x01.0(x)曲线分布x四、模糊关系（用于模糊推理决策）1.模糊关系的定义关系：客观事物间的相互联系。普通关系：二元关系（是、否）例：父子、师生、同事模糊关系：父子相像。 A、

21、B两集合的直积：BbAabaBA,),(例：设A=0,1，B=a,b,c则AB=(0,a)，(1,a)，(0,b)，(1,b)，(0,c)，(1,c)BA=(a, 0)，(a, 1)，(b, 0)，(b, 1)，(c, 0)，(c, 1)注意： AB BA(, )a b序偶：关系R：AB的子集，记为RA B例：甲、乙、丙3人参加考试，考试的成绩为优、良、中、差，则A=甲,乙,丙，B=优,良,中,差AB：12种序偶的集合。一次考试：R=(甲,优)，(乙,中)，(丙,差)A、B间的关系可通过矩阵形式直观地表示出来，关系之间的运算可转换为矩阵间运算。矩阵：100000100001RMA甲 乙 丙B优

22、 良 中 差关系对应模糊关系R：以AB为论域的一个模糊子集且(,)ab有：:0,1(,)(,)RRA Babab(,)()()RABabab且定义：123nB bbbb111213121222323132333123()(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)RRRRnRRRRnRRRRnRmRmRmRmnm na ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba babababab123mAaaaa模糊矩阵：12,mAaaa有限集A，B，有12,nBbbb(,)(,)ijRijabab即序偶模糊矩阵中的元素记为( )ij

23、r模糊矩阵R记为:( )ijm nRr 一致(一一对应)(,)0,1Rijab其中)4,3/(2 . 0)3 ,3/(2 . 0)2,3/(2 . 0) 1 ,3/(2 . 0)4 , 2/(2 . 0)3 , 2/(4 . 0)2,2/(6 . 0) 1 , 2/(7 . 0)4, 1/(2 . 0)3, 1/(4 . 0)2, 1/(6 . 0) 1 , 1/(8 . 0 BA;3/2 . 02/7 . 01/1/ )(;4,3,2,1;3,2,1uuVUA4/2 . 03/4 . 02/6 . 01/8 . 0/ )(vvB例设求模糊关系RAB，模糊矩阵3 4( )ijr解：求3 4(

24、)ijr123U1234V3 4( )ijr方法1：方法2：3 4( )ijrA B对应元素取小。慢快100/080/060/040/3 . 020/7 . 00/1;100/180/160/7 . 040/3 . 020/00/0CA例已知两个模糊集合A、B的隶属度函数分别为求它们的模糊关系CA其中，C，A分别属于两个不同的论域 U，V RCA10.70.3000.30.71 1000000.30.711000.

25、000.3000000000000000000解：模糊关系作用：模糊推理ABR=ABA/B/ =?B/=A / R模糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。定义 笛卡尔积 若A1 、A2分别是论域U1、U2 中的模糊集，则A1 、A2的笛卡儿积是在积空间U1U2中的一个模糊子集，其隶属度函数为直积（极小算子）： A1 A2 (u1, u2 )=min A1 (u1), A2 (u2) 或代数积 ： A1 A2 (u1, u2 ) = A1 (u1) A2 (u2)对于连续情况，关系矩阵可定义为：R=A B =为了区分直积、代数积 ，用 min表示直积；

26、用AP表示代数积。),/()()(),/(),(vuvtuvuvuBARBVUAVUR记号t算子：表示笛卡儿积定义定义2-14 模糊关系的合成：如果R和S分别为笛卡儿空间UV和VW上的模糊关系，则R和S的合成是定义在空间U W上的模糊关系，并记为RS。其隶属度函数的计算方法：模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成来表示2、模糊关系的合成(,)su p (,)(,),RSRSVRSuwuvvwuUvVwWWwVvUuwvvuSRV,) ),(, ),(min(maxminsup上确界（Sup)算子1 . 06 . 08 . 02 . 0RS祖父祖母父0.50.7母0.1001 . 07 . 05 .

27、0S用模糊矩阵S可表示为R父母子0.20.8女0.60.1例28某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为也可以用模糊矩阵R来表示该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为求孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度？（即求 ）R S0.10R S 解：(0.20.5)(0.80.1)(0.20.7)(0.80)(0.60.5)(0.10.1)(0.60.7)(0.10)0.6 此模糊关系表明：孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2;孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。ijij n mRSrs模糊关系运算：ijij n

28、mRSrs1ij n mRr例：0.8R0.7S,RS求：,RSR0.80.7RS0.80.7RS1 0.21 0.41 0.51 0.8R解：TSRTSR)()(结合律：()()()RTSR TR S()()()RTSR STS分配律：模糊关系合成算子sup-min的性质：第三节第三节 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成一、二值逻辑一、二值逻辑二、模糊逻辑及其基本运算二、模糊逻辑及其基本运算三

29、、模糊语言逻辑三、模糊语言逻辑四、模糊逻辑推理四、模糊逻辑推理五、模糊关系方程的解五、模糊关系方程的解第三节模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成一、二值逻辑（真假命题）命题：能够判断它的涵义是真是假的句子。 如：等边三角形必是等腰三角形。常用的命题联结词：析取、合取、否认、蕴涵、等价。析取 （“或”）如果用P、Q分别表示两个命题，则由析取联结词构成的复合命题表示为P Q。复合命题P Q的真值是由两个简单命题的真值来决定的，仅当P和Q都是假时，P Q才是假。例P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。则P Q：他喜欢打篮球或喜欢跳舞。命题简单命题：一个句子复合命题：两个或两个以上的句子用联结词联结起来P合取（“

30、与”） PQ 仅当P和Q都是真时，PQ才是真。例P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。 则PQ：他喜欢打篮球并且喜欢跳舞。否定（“不”）P如果P是真的，则是假的。蕴涵 表示“如果那么”例P：甲是乙的父亲；Q：乙是甲的儿女。则PQ：如果甲是乙的父亲；那么乙必定是甲的儿女。例P：他喜欢打篮球：则：他不喜欢打篮球。PPQ：如果命题P成立，那么可推出Q也成立。等价 表示两个命题的真假相同。是“当且仅当”的意思。例P：A是等边三角形；Q：A是等角三角形。则PQ：A是等边三角形当且仅当A是等角三角形。二、模糊逻辑及其基本运算模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑。模糊命题：含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句。模糊命题

31、的真值：隶属度函数（表示这个命题多大程度隶属于“真”，0,1间连续取值）。例：他是一个高个子。模糊概念常常用很、略、非常等模糊语气来修饰。 模糊逻辑运算：记P、Q、R为三个模糊单命题),min(QPQP2）模糊逻辑合取（“与”）：),max(QPQP3）模糊逻辑析取（“或”）：1)1 (QPQP4）模糊逻辑蕴含：如果P是真的，那么Q也是真的，)()(PQQPQP5）模糊逻辑等价：(1)0max(1 , 0)PQPQPQ6）模糊逻辑限界积：) 1 ,min(1)(QPQPQP7）模糊逻辑限界和：8）模糊逻辑限界差：0)(QPQP_PP11）模糊逻辑补：用来表示对某个命题的否定，模糊逻辑运算也是真

32、值的运算，也就是隶属度函数的运算。7 . 0),min(QPQP8 . 0),max(QPQP11)1 (QPQP例29设有模糊命题P：他是个和善的人，真值P0.7; Q：他是个热情的人，真值Q0.8QP ：他既是和善的人又是热情的人的真值QP：他是个和善的人或是个热情的人的真值则：QP ：如果他是个和善的人，则他是个热情的人的真值三、模糊语言逻辑人工语言：格式紧密，概念清晰，程序设计语言属人工语言。模糊语言：具有模糊性的语言模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。语言分类：（具有不确定性；含模糊化词，如：很高、较大）概念：定义215模糊数（模糊子集）：连续论域U中的一模糊数F是一

33、个U上的正规凸模糊集。正规集合：隶属度函数的最大值为1，即1)(maxuFUu凸集合：,xab (,)abU),)(),(min()(baxFFF在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度值都大于或者等于两点隶属度值中较小的一个。例：“大约5”、“10左右”等具有模糊概念的数值。921,eee定义216语言值：在语言系统中,那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、小等或者由它们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值可以用模糊数来表示。例：成年男子身高的论域E130，140，150，160，1

34、70，180，190，200，210在论域E上定义语言值：;/1/95. 0/8 . 0/6 . 0/4 . 0/2 . 0 987654eeeeee个子高54321/1 . 0/3 . 0/5 . 0/7 . 0/1eeeee个子矮定义2-17 语言变量：语言变量是用一个五元素的集合(X，T(X)，U，G，M)来表征的。X：语言变量名语言变量名，如速度、年龄、颜色等；T(X)：语言变量X的项集合（语言值的集合语言值的集合）U：语言变量X的论域论域G：产生X数值名的(用于产生语言变量值)M：与每个语言变量含义相联系的算法规则（算法规则（决定隶属度）语言值的形式语言值：模糊子集原始项合成项语言算子原始项否定词联结词语言值：用模糊数(模糊子集)来表示。1x2x3x4x5x6x7x)(x0 . 1030507090105120很慢慢较慢中等较快快很快1/hkmU论域速度语言变量X语言值规则G语言值集合T(X)算法规则M图210语言变量元素之间的关系示意图例：“速度”为一语言变量，可以赋予很慢、慢、较慢、中等、较快、快、很快等语言值。（修饰词）语言算子：“较”、“很”、“非常”、“