第4章 冲量与动量(20140317)

1、我国舰艇上发射远程导弹实验我国舰艇上发射远程导弹实验mgNsin2RmRg2cossincossin2mgRmmasin)cos(2gRasinsin2RmNmgNcos4.1 质点动量定理质点动量定理一一. 冲量与动量冲量与动量tmFddvrtmrFddddvvvd m)21d(2vmtmFddvttmtFddddv)d( vm力力F F 的元冲量的元冲量dI（动量定理微分形式）（动量定理微分形式）1221dvvmmtFtt（积分形式）（积分形式）合力在合力在 t1 t2 时间内对质点作用的冲量时间内对质点作用的冲量I 等于质点等于质点动量的增量动量的增量21dtttFI1vm2vmIxyO

2、Gvfvkmf12tfdtGd212121ddd121212ttzttyttxtFmmtFmmtFmmzzyyxxvvvvvv在力的整个作用时间在力的整个作用时间内，内，平均力的冲量平均力的冲量等等于于变力的冲量变力的冲量)(d1221ttFtFttIFFt FO1t2tt冲量的任何分量冲量的任何分量等等于于在对应方向上的在对应方向上的动量分量动量分量的增量的增量动量定理的分量形式动量定理的分量形式l平均力平均力)(d1221tttFttF1221dvvmmtFtt例例 一篮球质量一篮球质量0.58kg，从，从2.0m高度下落，到达地面后，以同样高度下落，到达地面后，以同样解解 篮球到达地面的

3、速率篮球到达地面的速率m/s 3628922.ghvN 1083019036580222.tmFv对地平均冲力对地平均冲力tF(max)F0.019sOF相当于相当于 40kg 重物所受重力重物所受重力!速率反弹，接触时间仅速率反弹，接触时间仅0.019s.求求 对地对地平均冲力平均冲力?硬着陆硬着陆 软着陆软着陆若接触时间仅若接触时间仅0.19s.例例 质量为质量为 m 的匀质的匀质柔软绳柔软绳，全长为，全长为 L，开始时，下端与地面的距离为开始时，下端与地面的距离为 h 。下落在地面上时下落在地面上时所受所受绳绳的作用力？的作用力？Lh解解 设设 t 时刻时刻（地面上有地面上有 l 长的绳

4、子长的绳子）lLmlml 2)(hlgv此时此时绳绳的速度为的速度为m求求 绳绳自由下落地面上的长度为自由下落地面上的长度为 l ( lL )时，地面时，地面以以dm (dt 时间下落到地面的绳子时间下落到地面的绳子)为研究对象为研究对象vv)d(0d)d(ttmgN根据动量定理根据动量定理 dmLghlmttmgN)(2ddd2vvv地面受力地面受力ghlLmgmNFl)23(Ngdm例例 非弹性体的金属小环组成非弹性体的金属小环组成 的匀质链条。的匀质链条。由静止开始下落，证明下落的端点的运动方程为由静止开始下落，证明下落的端点的运动方程为y261gty o解解以以t 时刻时刻已下落的链条

5、已下落的链条 y及及dt 时间内时间内下落的下落的 dm 为研究对象为研究对象TmgTgdmvdd)( :ytTygy(1)0dd)d( :dmtmgTmvytygtTddddvytTddv(2)yytygdddvv 2dtdvv yyg2dydvvv yygdyddy2vvv yygdy2d2dy2222vvvyygy)d(22vy)d(yd2)()0, 0(2202v ,vyyygy22332vygy 223vygtvvvdd3g受力分析受力分析3/ga 4.2 质点系动量定理质点系动量定理1m1v2m2v3m3v4m4vt 时刻时刻 的动量的动量iiimPvtfFmd)()d(12111

6、vtfFmd)()d(21222vtFFmm)d()d()d(212211vviiiitFmd)d(iv1m2m12f21f1F2F02112 ff（质点系动量定理）（质点系动量定理）（一对内力）（一对内力）以两个质点为例以两个质点为例tFPddiiziiziiiyiiyiiixiixitFmtFmtFmd)d(d)d(d)d(vvv直角坐标系：直角坐标系：在有限时间内：在有限时间内：(1) 只有外力可改变系统的总动量只有外力可改变系统的总动量(2) 内力只能改变系统内各质点的动量内力只能改变系统内各质点的动量 内部作用复杂内部作用复杂 ttiiittiiiiiiitFtFmm00)d(d0v

7、v说明说明某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的有外力在同一时间内的冲量的矢量和冲量的矢量和 质点系动量定理质点系动量定理tFtFmiiiidd)d(ivtFtFtFzyxdddtttF0d4.3 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律当当0iiF0diimv常矢量iimv动量守恒的分量表述动量守恒的分量表述(1) 动量守恒定律适用于惯性系。动量守恒定律适用于惯性系。常量常量常量zizizyiyiyxixixPmFPmFPmFvvv000质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律说明说明(2) 动量守恒定律也适用于高速，

8、微观领域。动量守恒定律也适用于高速，微观领域。如图所示，两部运水的卡车如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运在水平面上沿同一方向运动，动，B的速度为的速度为u ，从，从B上以上以6kg/s的速率将水抽至的速率将水抽至A上，水上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻 t 时，时，A车的质量为车的质量为M，速度为，速度为v 。选选A车车M和和 t时间内抽至时间内抽至A车的水车的水 m为研究系统，为研究系统，水平方向上动量守恒水平方向上动量守恒vv)(mMmuMmMmuMvvmMumvvvv解解vvuMmvvvuMMut

9、mtat6ddlim0例例求求 时刻时刻 t ，A 的瞬时的瞬时加速度加速度ABuvA在恒星系中，两个质量分别为在恒星系中，两个质量分别为 m1 和和 m2 的星球，原来为静的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为距为 r 时。时。1m2m1v2v解解021vvmmx0212121222211rmmGmmvv动量守恒，机械能守恒动量守恒，机械能守恒rmmGm)(22121vrmmGm)(22112v例例解得解得O求求 它们之间的相对它们之间的相对速率速率为多少？为多少？revvvrxexxvvv1相对速率相对速

10、率exxrxvvv1rmmGmrmmGm)(2)(2211212一一. 质心质心 Oxyz1m2mimiiiiiitrmmPddviiitrmd)d()(ddiiirmtiiiiiiimrmtmddiiiiiCmrmrtrmCddCmvu 质心位置的确定质心位置的确定 （质心的位置矢量）（质心的位置矢量）：iiiiiCmrmrkmzmjmymimxmiiiiiiiii4.4 质心质心 质心运动定理质心运动定理212211mmxmxmxC1221mmxxxxCCmrmrCd1 OxyzCmdrCr)(x,y,z)(CCC,z,yxmrmriiiCkmzmjmymimxm)d1()d1()d1(m

11、zmzmymymxmxCCCd1d1d1选如图所示的坐标系选如图所示的坐标系lmdd质心的质心的 y 坐标为坐标为mlyyCd而而sinRy ddRl 一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为一段均匀铁丝弯成半圆形，其质量为m，半径为，半径为R。例例解解半圆对半圆对y轴对称，则轴对称，则xc= 0 . .任取一微元长为任取一微元长为dl，质量为，质量为dmlRmdmRRyC0dsinR2mR22RyxOyCl dd则有则有此半圆形铁丝的质心。此半圆形铁丝的质心。 求求mzmzmymymxmxCCCd1d1d1质心的速度：质心的速度：trccddvmrmrNiiic1质点系的总动量：质点系的总动量：mp

12、imtrmiiddmmiivmPcmPv质心的加速度质心的加速度iiiitFmd)d(ivtFPddtPFdd一个质点的运动一个质点的运动，该质点，该质点集中整个系统质集中整个系统质量量，并，并集中系统受的外力集中系统受的外力. .（2）内力不能使质心产生加速度内力不能使质心产生加速度. .（1）质心的运动：质心的运动：（质心运动定理）（质心运动定理）结论结论ccamtmddv将一根质量为将一根质量为m、长度为、长度为L的均质的均质柔绳柔绳竖直地悬挂起来，使竖直地悬挂起来，使其下端恰好与地面接触，如图所示。若将此绳上端由静止其下端恰好与地面接触，如图所示。若将此绳上端由静止状态释放，让其自由下

13、落到地面上。状态释放，让其自由下落到地面上。当绳子下落当绳子下落l长度时，地面对绳的作用力。长度时，地面对绳的作用力。例例解解求求以地面为坐标原点，沿竖直方向为以地面为坐标原点，沿竖直方向为y轴。轴。yLlAyOyLAOB当绳子下落当绳子下落l长度时，质心的坐标为长度时，质心的坐标为mymyycd 10d10yymy2211yLmm221yLtyyLtycdd1ddCvy1vyLgl2yv)dd(1ddtyLtcy2yCvvva)(21glLglLgLl) 13(gLlmmamgNc) 13(gLmlN3 y ymzmzmymymxmxCCCd1d1d10ddtacxcxvMmMxmxxc21

14、MmxMxmxc21例例 当人从船头走到船尾当人从船头走到船尾 (不计水的阻力，开始人、船时均静止) 解解 在水平方向上，外力为零，则在水平方向上，外力为零，则开始时，系统质心位置开始时，系统质心位置 终了时，系统质心位置终了时，系统质心位置 )()(1122xxmxxMx2x1xx1x2O求求 人和船各移动的距离人和船各移动的距离ccxx)( SSl s)(SlmMSMmmlSMmMlSls解得解得4.5 变质量动力学简介变质量动力学简介ptFdd 合并问题：合并问题： tpFddtmd)d( vtmtmddddvvvvdddmmtFvvvmmmtF)d)(d(dumm,d, vt dvvd

15、,d mmF)d()d)(d(dmummmtFvvvmummtFddddvvmumd)(dvvmmddrvvvvru分离问题：分离问题： v,mt dvvd),d(mmF0dmum,dvvvmmummtFd)d)(d(dmummtFddddvvmumd)(dvvmmddrvvtmtmFrddddvv( (变质量动力学基本方程变质量动力学基本方程) )略去二阶略去二阶无穷小量无穷小量 （质点系动量定理（质点系动量定理）u=0u=0的合并的合并变质量动力学应用变质量动力学应用 多级多级火箭的速度火箭的速度t 时刻，火箭质量为时刻，火箭质量为 m，速度为速度为dt 时间内：时间内： mv)d(mvv

16、dmmduxrv不计空气阻力，只计重力不计空气阻力，只计重力第一级火箭：第一级火箭：vvvmummmtF)d()d)(d(d（在时间（在时间dt内）内）略去二阶无穷小，有略去二阶无穷小，有 )(d(ddmumtFvvmmddrvvvvrummtgmdddrvvmmtmgdddrvv mmtgdddrvv v火箭喷出的质量为火箭喷出的质量为 dm (为火箭质量增量为火箭质量增量)udm速度为速度为 (相对地面的速度相对地面的速度)火箭发射时的质量为火箭发射时的质量为m1i，速度为，速度为0 ; ;燃料耗尽时的质量为燃料耗尽时的质量为m 1f，速度为，速度为v1。mmtgdddrvv 火箭发射时的

17、质量为火箭发射时的质量为m1i，速度为，速度为0 ; ;燃料耗尽时的质量为燃料耗尽时的质量为m 1f，速度为，速度为v1。fimmtmmtg1111ddd00rvvvifmmgt1111lnrvv 1111lngtmmfirvv11lngtN rvfimmN111（质量比）（质量比）第二级火箭运行时：第二级火箭运行时：vvvmummmp)d()d)(d(d0ddmmrvvfimmmm2221ddrvvvvfimm2212lnrvvv212ln Nrvvv121lnlngtNNrrvv121)ln(gtNNrvmmtFdddrvvmmddrvv第第 i 级火箭运行后：级火箭运行后：ii-iNln

18、1rvvv121)ln(gtNNNn rv讨论讨论 不考虑重力不考虑重力km/s4rv6Nkm/s9 . 71v例例 非弹性体的金属小环组成非弹性体的金属小环组成 的匀质链条。的匀质链条。由静止开始下落，证明下落的端点的运动方程为由静止开始下落，证明下落的端点的运动方程为y261gty o解解t 时刻时刻:t+dt时刻时刻:TmgTgdmvvvymytF)d)(d( d2dtdvv yyg2dydvvv yygdyddy2vvv yygdy2d2dy2222vvvyygy)d(22vy)d(yd2)()0, 0(2202v ,vyyygy22332vygy 223vygtvvvdd3g受力分析

19、受力分析3/ga v, yvvd,d mymytFdd dvv忽略高阶小量忽略高阶小量yytmgdd d)dyg(vv vvmmmtF)d(dv md例例解解3500vtmFddN105 . 13xmdvFm在恒星系中，两个质量分别为在恒星系中，两个质量分别为 m1 和和 m2 的星球，原来为静的星球，原来为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到相距为距为 r 时。时。1m2m1v2v解解021vvmmx0212121222211rmmGmmvv动量守恒，机械能守恒动量守恒，机械能守恒例例O求求 它们之间的相对它们之间的相对速率

20、速率为多少？为多少？2222112121vvmmArmmG21121221d)(dxxxmmGA221221d)(xxxmmG)d()(2121221xxxxmmG12xxrrrmmGAdd221rrrmmGAd221221rmmG质心质心1m2m1v2vxO121221d)(dxxxmmGA221221d)(xxxmmG212211mmxmxmxC02211xmxm12122121d) 1(xxmmmmG22221221d)1 (xxmmmmG1d) 1(2122121xxxmmmmGA222221221d)1 (xxxmmmmG122121) 1(xmmmmG221221)1 (xmmmm

21、G22221221) 1(xmmmmmG221221)1 (xmmmmG222123122211)(xmmmmmmG2212211)(xmmmmG12xxr212)1 (xmmrmxmm1221)(rmmGA21结论结论：（势）能量是状态的函数，与所发生的过程无关。势）能量是状态的函数，与所发生的过程无关。rmmGEP211m2mr1v2v？质点动力学小结质点动力学小结在空间上的累积：在空间上的累积：功功 机械能机械能F功：功： bLazyxzFyFxFA）（ddd bLarFAd功率：功率：v FP动能定理：动能定理：iiiiiiAAAA内外12kkEE不等于合力的功！不等于合力的功！势能：

22、势能：0d)(MMprFME)(kzEjyEixEFPPP机械能守恒定律：机械能守恒定律：EEEAApk非内外0非内外AA常数pkEEE在在时间时间上的累积：上的累积：冲量冲量 动量定理动量定理F冲量：冲量：21dtttFI质点动量定理：质点动量定理：IPvddd)d(tFm21d12tttFmmvv212121ddd121212ttzttyttxtFmmtFmmtFmmzzyyxxvvvvvviiiitFmd)d(iv质点系动量定理：质点系动量定理：tFPdd ttiiittiiiiiiitFtFmm00)d(d0vv21d12tttFPP质点系动量守恒定律：质点系动量守恒定律：0iiF常矢

23、量iimv常量常量常量zizizyiyiyxixixPmFPmFPmFvvv000质心：质心：mrmmrmrNiiiNiiNiiic111mmrrcd 质心运动定理：质心运动定理：cmPvtPFddccamtmddv变质量动力学基本方程：变质量动力学基本方程：tmtmFrddddvv 1v)(01122vvmmx1122vvmmx例例解解求求1m1s2syOx1v2v2mx2vR2vttxtmtm011022ddvvtxts022dvtts011dv1122smsmttxtmtm011022ddvv1m1s2syOx1v2v2mx2vR122v vv122vv v)(122vvvxx12vvxtxtR02dvtxt012)d(vvRmmms212121ss 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,已知两木块的质量分别为已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的时间，