辅助圆解题精讲

1、第二十五讲辅助圆在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决.而我们需要的圆并不存在（有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆），这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，添补辅助圆的常见方法1利用圆的定义添补辅助圆；2作三角形的外接圆；3运用四点共圆的判定方法：（1）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.（2）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆.（3）若四边形ABCD勺对角线相交于P,且PA-PC=PBPD,则它的四个顶点共圆.（4）若四边形ABCD的一组对边ABDC的延长线相交于P,且PA-PB=PC-PD,

2、则它的四个顶点共圆.【例题求解】一利用圆的定义添加辅助圆【例1】如图，若PA=PB/APB=2/ACBAC与PB交于点P,且PB=4,PD=3,贝UAD-DC等于（）A6B7C12D16思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件.变式练习：5.如图，在等腰梯形ABCD中,AB/CDAB=998,CD=1001,注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.变式练习：如图，已知OA=OB=QC且/AOB=k/BOC则/ACB是/BAC的（）A-k倍B.是k倍C2kD丄2k作三角形的外接圆【例2】如图，在ABC中，AB=AC任意延长C

3、A到P,再延长AB到Q使AP=BQ求证:ABC的外心Q与A,P,Q四点共圆.思路点拨先作出ABC的外心Q,连PQQQ将问题转化为证明角相等.满足条件的/BPC=90的点P的个数为（）A0B1C21D.不小于3的整数全国初中数学联赛题）三四点共圆DEEF,求证：日是厶DEF的内心.1若有一个四边形对角互补，则四边形的四个顶点四点共圆。变式练习：如图，直线AB和AC与OO分别相切于B、C,分别为4cm、6cm,那么P到BC的距离为（【例3】如图；已知H是厶ABC三条高的交点，连结DF,全国初中数学联赛题）A思路点拨连DF,EF,寻找PDPEPF之间的关系，证明PDFAPFE而发现P、DBF与P、E

4、、C、F分别共圆，突破角是解题的关键.注：圆具有丰富的性质：（1）圆的对称性；（2）等圆或同圆中不同名称量的转化；（3）与圆相关的角；（4）圆中比例线段.适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”2同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）【例4】如图，在ABC中，高BE、CF相交于H,且/BHC=135,ABC内的一点，且GB=GC/BGC=3/A,连结HG求证：HG平分/BHF思路点拨经计算可得/A=45°,AABEBFH皆为等腰直角三角形，只

5、需证/GHB*GHF=.由/BGC=MA=135°=ZGHC得BGH、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明.注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解.变式练习：已知等腰三角形ABC,AB=AC,AD垂直BC于D,DE垂直AC于E,F是DE中点，求证：AF垂直于BEo3把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；【例5】如图，P是OO外一点，PA和PB是OO的切线，A,B为切点，PO与AB交于点M,即可肯定这四过M任作OO的弦CD求证：/CPO=/DPO4把被证共圆的四点两两连结并延长相

6、交的两线段，点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,点也共圆.【例6】如图，P是O0外一点，PA切O0于A,PBC是OO的割线，AD丄P0于D.求证：更更PDCD思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定PBD与PCD相似证明.PA=PDPO=PBPCB、cOD共圆，这样连OB就得多对相似三角形，以此达到证明的目的.注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务.5五点共圆（7456）【例7】如图，已知在凸四边形A

7、BCDEK/BAE=3,BC=CD=DJE且/BCD=ZCDE=802.求证：/BAC=zCAD=/DAK（全国初中数学联赛题）课外训练A组21. 如图，正方形ABCD勺中心为0,面积为1989cm,P为正方形内一点，且/OPB=45,PAPB=5:14,贝UPB的长为.2. 如图，在ABC中，AB=AC=2BC边上有100个不同的点R、P2，Pioo,记mjAR2BPiPiC(i=1,2,100),则m1m2m100=3. 设ABC三边上的高分别为ADBECF,且其垂心H不与任一顶点重合，则由点AB、C、DE、F、H中某四点可以确定的圆共有（）DC(20006.如图,TAD、BpcBE是锐角

8、三角形的两条咼,A/1物B41第±世】2.1C.A.3个B.4个C.5个D336个4&如图，已知ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD!AB,TE丄AC.求证:(1)/AHD=/AHE(2)BHBDCHCE（陕西省竞赛题）E,F,E比F离B更近，如果/BAE=CDEEAF=ZFDE证S1在凸四边形ABCD的BC边上取两点明：/FACNEDB2如图在ABC中，AB=ACD是BC边上任意一点AD交与P试问当D在BC（除BC中点外）上运动时，AD-AP的值有何变化请加以证明。13等边ABC中，D,E分别是BC,CA边上的点，且BD=CE=2CD.连接BE,CD交于P,证明:CP

9、垂直AD4如图,NS是？0的直径，弦AB垂直NS于MP为弧ANB上异于N的一点，PS交AB与R,PM的延长线交？O与Q求证：RS>MQC组1.如图，已知点P是OO外一点，PSPT是OO的两条切线，过点P作OO的割线PAB交OOA、B两点，与ST交于点C.求证：丄1（丄）PC2PAPB（国家理科实验班招生试题）2.已知BE,CF是锐角ABC的两条高，求证：ABE的平分线，ACF的平分线与线段EF的中垂线相交于一点。3已知三角形ABC中,ABC<ACBBD,CE是角平分线，求证：CE<BD4ABC中，M为AC的中点，BHAC于H,AP,CQ垂直于B的平分线，垂足为P,Q求证:M,

10、H,P,Q四点共圆。【例Off2#1DF.fBjPCrEFDPF+ZBZFPETZCUO'Tfl(/CFF=ZFP.JI/PDF-/PBF=/*<'£=NEFP昇DP松4FPE禺PF-PDPE1B協图准Sr3tOC4P*g准OWP与也OAQ中”OC<M.由已如G4=A氐胛BQ*ACP=AftX70册匕ABC的外血二/OCF=/(科：V#»£AJfc的外和感圭W甫的平并找上；也310£0妁从囲40>二204得iOCFMAOXQ.于赴/CTO/Ag故CU,PtQ四点其叭I-1Mi«11MJPA1=PDPO=PB*P

11、C，:ECU,!)四点共曲.由、HPHPCbd'"cd'/aibo*z£hc=nr./bgc=也a=门亍乙人占月=巧乩G+CHBS点共U碍ZflCGM/GHB三竺严=22.5U只/BHF4齐場/GHB令故HG班分ZBHF.【単力INKL42iSffiQAB.A.B.O.FWj§MlZAP£-AOB-11003-D.制见TWffljfiJt«:AFHE,BFHDiCDHSTfDC,BFEC.CDfA4.DJ-C艳何16萍址为直螳AB写以C?D为直径的6.B7,井駅由BDHF,CDHE0,4M11ZFSH-/FDH=ZFCH-ZFD

12、,D；/FDEf«(UD.E*HftLlArA直轻的HlZAHD=ZATD*Z>lHE=-ZAT£,JlZATD=ZATEZ4WD=ZAHri(2RiAHB与陀丁册私井壯乩松AH加厶1匸聽=常啊小冃弘MEC,得器=等由于乳ISED血由BC=CD=DE,ZBCD=ZCDE：=l-2flTZCBD=ZrD0=ZPC£Z£*Fr=Q,f|BCDiC)Ef；*£讯4仃酊-如-汗即-备用«姙>站二A/QE共N同理可证乩艮口E共冈播乩毗4E其圍2SCM,aAlPAMM=MBMB10Pt二側MOVf"MA*筒”人怦二MDJKO

13、MO-MF.Z.O.D,PTC0A»t5l(X'=OD.:、CPODPQ,1L試。点泰佃丄AB于刚卩忙=里尹.由切割最宗理得;P51*,昭连胴阳战OF好I'于ELJdOF丄ST；由相加彥可证丹=PD盹又P-PA*PB，MZCW=ZCEO=W；.EQD四底酬0C为昶删上F£>PDPO再PAP"町PE=±胆伽需訐*(苏挣参考答案例1B练习1D協jfi准轴Ort,OC卫P"(X?准山尤十与%£?中狀04.由已知阳MEMP-BQ.ACP=AQ.XVOAiABC的外.*.ZOCF=ZQAC*:嘗/三金滞的外40直卩仙的平甘

14、孩上川MO/OAQ,从而ZOCf-ZO4Q.ilZiOCPiOAQ,于4ZCFD-ZAQO敲O.A,PtQ四虑共SL练习2C例3關由WfF口HE匹狀我FEH之FCfZFDEDH为"DE平赭练习323DF.fBiPClEF>ZDPF+ZB-ZFPE+ZC*UOfSzDPF=ZFPEPZPDf=ZP£f=ZPCE=£EFi人心DPFsFPE禺PFPD*P£.例47ZA=lfiO*-ZBHC=135*,ZBGC=3ZA=135*，ZABH=-45"；点共.軒WBCG=z：aHB=1"也兀XZHF=-45(#ZGWB-yZBHF.SlH

15、G¥分练习49.if明耽盹中点舐连M他則有ZOZQDZX所以MBD“W得磐二器又归凤虻枫瞇二黑MMDsWE故Ztf£=ZAWDM爲DF网点共岡，从而有Z肿期二吸而MF#K,所以初丄耽例5-崖给OAJJOA丄PAAJWMBMB丄OP,AOM*=4.,2MC*M0=U4AAf匸MAMOM(MP,A点0£P«四点共IL又(XQD,；ZCPO-ZDPO.Q07RV±PD丽已&PGVB.C*a.D四盘其叭:*APCOnAPOB得島器罟丈aw必咖，楼嚅由脚需寺例7A/£,E共固，同理可证£/占£其區点儿乩C.£

16、;共园课外练习A组:L42捶姑(M(JilA,BQP囚点接1|器£肿沪乂血出=亦監4003-D.显!1什剧嵐有下弭SljftJt3LAFHE,BFHDDHEMFJX；/FEU(?DFB组：執(l)D.E,HUArA直栓的IN上AHD-TDAHE-ATEATD-ZATE.故£AHD-/AHEiRaHB与吐丁创亦加少flZU旳皿TD亦盟"需同理4血沁耐鬧欝需.由于1例丁住凸四边形AHCD船出:边I：取两点H比F离占蚩近1果ZBAE-ZC»>fiZ-Z僦,证明；ZfAC=Z.证明因££4F=ZF"职战A、B、F、E四点共呦1

17、（如图口-S）.WZK4/J+ZATO*18ffJ,又Z«1D=Z/J+ZMD,ZDCBjDFE-ZM,及=ZCD/故乙讯"*=$町*可知A,HAD辄总共岡，師以'Z叭sZfffX：-Z和K：=ZMG*Zfllf=Z材匚m-ji|jkrsi-«a.rui.f一、jl解因朋"g故乙twc=zG又点g7与点t：关于AD时ft：*故Z4B/>=D,图13“曲八G上四点共=Hzc-zu*故/m四点共.于是ZAPB=/ACB=ABDt可碍进血有囑三鈴，即血定值)，3工证明&A4BC的边长为hCD2atCE=a,DE/丄AC傕足匚因ZOCEft

18、P.故CE1cCDcasttF=ot_.官与F重合用/倔“虬又謝D陀鮎纶可期ZQB=Z/f£G故CEP0四点OZfiPt=Z0EC=9（F.10应明如图、连结NQAB于G连结抑、CS.因粘丄鞭有/邮艺驭又必为肓臣有/轉弘新点（:卫川四点井SLcs为直径,csMQMQ不能为直柱h且弃/q）M=ZCW.又ZNQ卩二Z必巴故ZCSV兰Z曲*RiilCVS空URMSt有CS=«S.所以RS>MQc组1tttb=rt1e,s=Itrvrairfmmrr-vr*waur=»<_iFp'i理°点惟OELAE于E*IMPE-空与由切期翅定理埠审*Pfl，MOS,OP.ftDFJtST于DOP±ST,由相嘏幣可PO，KPS-FA-PBr而旅汽仇ChE.O,0KAftlUnC直犢的抑上匸PC*PAPD*加,0PAP吐PC*PF-少护皿化韵福壽乂字吉诰h2U.lil.i2/iAffF的平廿扯SACFSf-