数字信号处理第5章时域离散系统的基本网络结构

1、数字信号处理数字信号处理第第5 5章章 时域离散系统的基本网络结构时域离散系统的基本网络结构 5.1 引言引言 5.2 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构有限长脉冲响应基本网络结构5.1 引引 言言 一般时域离散系统或网络可以用差分方程差分方程、单单位脉冲响应位脉冲响应以及系统函数系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程 0101( )()()( )( )( )1MNiiiiMiiiNiiiy nb x nia y nibzY zH zX za z其系统函数H(z)为 给定一个

2、差分方程，不同的算法有很多种，这将直接影响系统运算误差、运算速度及系统复杂程度和成本等，因此要研究信号处理的算法。例如： 1122113111( )10.80.151.52.5( )10.310.511( )10.310.5H zzzHzzzHzzz5.2 用信号流图表示网络结构用信号流图表示网络结构 观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。 图5.2.1 三种基本运算的流图表示z1x(n)x(n 1)x(n)ax(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n)x(n)x(n 1)z1x(n)a

3、x(n)ax1(n)x2(n)x1(n) x2(n) 和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中， 122221221211202( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx nanany nbnbnbn(5.2.1) 图5.2.2 信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图 不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基 本 信 号 流 图基 本 信 号 流 图(Primitive Signal Flow Graghs)。 (1) 信

4、号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是常数或者是z-1； (2) 流图环路中必须存在延时支路必须存在延时支路； (3) 节点和支路的数目是有限的。 例例5.2.1 求图求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数信号流图决定的系统函数H(z)。 解 将5.2.1式进行z变换，得到 11212221221211202( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )W zW z zW zW z zW zX zaW za W zY zbW zbW zbW z经过联立求解得到：120121212( )( )( )1Y zbb zb zH zX za za z 一般网络

5、分为两类：有限长单位脉冲响应网络（FIR）；另一类是无限长单位脉冲响应网络(IIR)。 FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：0( )()Miiy nb x ni 其单位脉冲响应h(n)是有限长的是有限长的，按照(5.2.2)式，h(n)表示为 ,0( )0,nbnMh n其它n 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类

6、不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。5.3 无限长脉冲响应基本网络结构（无限长脉冲响应基本网络结构（IIR）1.直接型直接型 对N阶差分方程重写如下： 01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni有三种：直接型直接型、级联型级联型和并联型并联型。 图5.3.1 IIR网络直接型结构 b0b1b2z1z1z1z1a1a2x(n)x(n 1)x(n 2)y(n)y(n 1)y(n 2)x(n)y(n)b0b1b2z1z1z1z1a1a2w2w1H1(z)H2(z)H2(z)H1(z)x(n)y(n)a1a2b0b1b2z1z1（ a ）（ b ）（ c ） 12H ZHZH

7、Z前后两部分延时前后两部分延时支路可以合并支路可以合并 例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为12312384112( )5311448zzzH zzzz画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分方程如下：531( )(1)(2)(3)8 ( )4 (1)44811 (2)2 (3)y ny ny ny nx nx nx nx n图5.3.2 例5.3.1图x(n)y(n)z1z1z1 4811 24543812. 级联型级联型 在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到1111(1)(

8、 )(1)MrrNrrC zH zAd z(5.3.1) 形成一个二阶网络二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：120121212( )1jjjjjjzzHza za z(5.3.2) 式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3) 式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。 图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 x(n)y(n)z1x(n)

9、y(n)z1z1( a )( b )j0j1j2j0j1j2j1j1j0 例5.3.2 设系统函数H(z)如下式： 12312384112( )1 1.250.750.125zzzH zzzz试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到 112112(20.379)(41.245.264)( )(10.25)(10.5)zzzH zzzz 图5.3.4 例5.3.2图 x(n)z12y(n)z14z10.3790.251.245.2640.53.并联型并联型 如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。 式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络

10、系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为12( )( )( )( )kH zH zHzHz(5.3.4) 1011212( )1iiiiizH za za z式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z) 并联型结构中，每个一阶网络决定一个实数极点，每个并联型结构中，每个一阶网络决定一个实数极点，每个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型整零点位置不如级联型。另外，各个基本网络是并

11、联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此并联形式运算误差最小。 例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。 解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式：111281620( )1610.510.5zH zzzz 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。 图5.3.5 例5.3.3图 x(n)y(n)z 1z 11680.520 16 0.520z 15.4 有限长脉冲响应基本网络结构有限长脉冲响应基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H

12、(z)和差分方程为1010( )( )( )( ) ()NnnNmH zh n zy nh m x nm1.直接型直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。 图5.4.1 FIR直接型网络结构 x(n)y(n)z 1z 1z 1h(0)h(1)h(2)h(N 2)h(N 1)2. 级联型级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一共轭成对的零点放在一起起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如

13、下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 解 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。 图5.4.2 例5.4.1图z1z1z1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z1z1z10.9622.81.5( a )( b )5.5 FIR系统的线性相位结构系统的线性相位结构FIR线性相位系统具有以下特点:(1) FIR线性相位系统单位脉冲响应满足下式: h(n)=h(Nn1)式中, h(n)是实序列; N表示序列的

14、长度。 该式说明h(n)对对序列的序列的(N1)/2位置偶对称（公式中取位置偶对称（公式中取“”号）或奇对称号）或奇对称（公式中取（公式中取“”号）号）。 (2) FIR线性相位系统系统函数满足下面公式:12/0) 1()( )(NnnNnzznhzHN为偶数2112/ ) 1(0) 1()21()( )(NNnnNnzNhzznhzHN为奇数(3) FIR线性相位系统零点分布具有四个一组的特点，即线性相位系统零点分布具有四个一组的特点，即如果如果z1是零点，是零点， 那么那么z1*、 z11、 (z11)*也是零点也是零点。 以上三点的分析和公式推导请参考教材第5章内容。 只只要满足上面任意

15、一个特点，要满足上面任意一个特点， 就可以判断该系统具有线性相就可以判断该系统具有线性相位的特点位的特点。 按照该系统函数的特点， 就可以构成它的线性相位结构， 因此并不是所有FIR系统都能形成线性相位结构。系统都能形成线性相位结构。 线性相位结构的优点是比直接型结构能节约近一半的乘法器线性相位结构的优点是比直接型结构能节约近一半的乘法器。 线性相位网络结构流图线性相位网络结构流图P135频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数如果在频率域采样点数N大于等大于等于原序列的长度于原序列的长度M，则不会引起信号失真，则不会引起信号失真，此时原序列的z变

16、换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式 (P88) 设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： 1101( )( )(1)1NNkkNH kH zzNWz(5.4.1) 2( )( ),0,1,2,1jkNz eH kH zkN5.6 FIR系统的频率采样结构系统的频率采样结构要求频率域采样点数要求频率域采样点数NM。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请分析请分析IIR滤波网络，滤波网络，为什么不采用频率采样结构为什么不采用频率采样结构。将(5.4.1)式写成下式： 1011( )( )( )(

17、 )1( )( )1NckkNckkNH zHzHzNHzzH kHzWz (5.4.2) 式中 Hc(z)是一个梳状滤波网络梳状滤波网络(参考第八章)，其零点为2,0,1,2,1jkkNkNzeWkN因此是由梳状滤波器和因此是由梳状滤波器和N个一阶网络的并联结构进行个一阶网络的并联结构进行级联而成的级联而成的，网络结构如下图所示。图5.4.3 FIR滤波器频率采样结构 x(n)y(n)z1z1 z NH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz1N1 频率域采样结构的突出优点： (1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，

18、就可以有效地调整频就可以有效地调整频响特性响特性，使实际调整方便，可实现任意形状的频响曲线。 (2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点： (1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。 首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为1101( )( )(1)1NNNrkkNHkH zr zNrWz(5.4.3) 另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而