建筑力学第三章

1、1一般力系的平衡一般力系的平衡第三节第三节2 本章研究一般力系的平衡问题，它是本章研究一般力系的平衡问题，它是静力学的重点。本章先介绍空间一般力静力学的重点。本章先介绍空间一般力系的平衡问题，然后将平面一般力系看系的平衡问题，然后将平面一般力系看作空间一般力系的特殊情况作以介绍。作空间一般力系的特殊情况作以介绍。由于平面力系是工程中最常见的力系，由于平面力系是工程中最常见的力系，同时有许多空间力系的工程问题也常常同时有许多空间力系的工程问题也常常可以被简化成平面力系，因此，平面力可以被简化成平面力系，因此，平面力系的平衡问题将是本章学习的重点。系的平衡问题将是本章学习的重点。 1.3 1.3

2、一般力系的平衡一般力系的平衡3空间空间汇交汇交力系力系对于各力作用线汇交于一点的空间汇交对于各力作用线汇交于一点的空间汇交力系，若取三个矩轴通过汇交点，则三力系，若取三个矩轴通过汇交点，则三个力矩方程必然恒等于零，即有：个力矩方程必然恒等于零，即有： MX(F) 0， MY(F) 0， MZ(F) 0于是能决定空间汇交力系平衡与否的独于是能决定空间汇交力系平衡与否的独立平衡条件只有、也只需如下三个方程：立平衡条件只有、也只需如下三个方程： FX=0， FY=0， FZ=0zyxOFnF1F2Fi3.1 平面力系的平衡方程平面力系的平衡方程3.1.13.1.1平面力系平衡方程式的形式平面力系平衡

3、方程式的形式43.1.23.1.2平面平行力系平衡方程式的形式平面平行力系平衡方程式的形式 各力作用线在同一平面内且相互平各力作用线在同一平面内且相互平行的力系称为平面平行力系。它是行的力系称为平面平行力系。它是平面力系的特殊情形。平面力系的特殊情形。 若选取若选取X轴与各力垂直，轴与各力垂直，Y轴与轴与各力平行，则显然有：各力平行，则显然有： FX 0，于是平面平行力系的有效平衡方于是平面平行力系的有效平衡方程为程为 FY = 0 ， MO(F) = 0OxyFnF2F1或者或者 MA(F) = 0 MB(F) = 0 附加条件：附加条件：连线连线AB不能与各力平行。不能与各力平行。平面平平

4、面平行力系行力系5 若取各力作用线的汇交点若取各力作用线的汇交点O为矩为矩心，则显然有：心，则显然有： MO(F) 0， 于是平面汇交力系的有效平衡方于是平面汇交力系的有效平衡方程为程为 FX = 0 ， FY = 0 或者或者 FX = 0 ， MA(F) = 0OxyF1F2FnA平面汇平面汇交力系交力系3.1.33.1.3平面汇交力系平衡方程式的形式平面汇交力系平衡方程式的形式 各力作用线在同一平面内且汇交与各力作用线在同一平面内且汇交与一点的力系称为平面汇交力系。它一点的力系称为平面汇交力系。它是平面力系的特殊情形。是平面力系的特殊情形。附加条件：附加条件：连线连线AO不能与投影轴垂直

5、。不能与投影轴垂直。思考问题：思考问题：平面平面汇交力系可否用汇交力系可否用两个力对点之矩两个力对点之矩的平衡方程？有的平衡方程？有无附加条件？无附加条件？63.2 一般力系平衡方程应用举例一般力系平衡方程应用举例 一般力系的平衡问题在工程实际和后续课程中极为常一般力系的平衡问题在工程实际和后续课程中极为常见。尤其是平面一般力系的平衡问题是整个静力学的见。尤其是平面一般力系的平衡问题是整个静力学的重点。本节主要讨论单个物体的平衡问题，下节将集重点。本节主要讨论单个物体的平衡问题，下节将集中讨论若干个物体组成的物体系统的平衡问题。中讨论若干个物体组成的物体系统的平衡问题。求解力系平衡问题步骤求解

6、力系平衡问题步骤（1 1）根据题意，选取研究对象。）根据题意，选取研究对象。（2 2）对选定的研究对象进行受力分析，画出其受力图。）对选定的研究对象进行受力分析，画出其受力图。（3 3）建立平衡方程。为了方便，所选投影轴应尽量与）建立平衡方程。为了方便，所选投影轴应尽量与某些未知力垂直，所选取的矩轴应尽量与某些未知力某些未知力垂直，所选取的矩轴应尽量与某些未知力共面。共面。（4 4）解方程。若求得的未知力为负值，则说明该力的）解方程。若求得的未知力为负值，则说明该力的实际指向与受力图上假设的指向相反。但当把它代入实际指向与受力图上假设的指向相反。但当把它代入另一方程求解别的未知量时，则应注意连

7、同其负号一另一方程求解别的未知量时，则应注意连同其负号一并代入并代入 。7FAX= - FCcos30 = -22.5 kNFAY= G1 + G2 - FCsin30 = 6 kNFC = G1+2G2=26 kNFAX= - = -22.5 kNG1+2G22tan30 FAX= G1/2=6 kN 图示为一管道支架，尺寸如图所示。设每一支图示为一管道支架，尺寸如图所示。设每一支架承受的管道重量为架承受的管道重量为G1=12kN，G2=7kN，且不计，且不计架重。求支座架重。求支座A、C处的约束反力。处的约束反力。60 30cm 30cmABCEDG1G230 30cm 30cmABCED

8、G1G2FCFAYFAXxyO解：解：取支架连同管道一起作为研究对象。画取支架连同管道一起作为研究对象。画其受力图如图示，这是一平面问题。其受力图如图示，这是一平面问题。建立图示坐标系，其平衡方程为建立图示坐标系，其平衡方程为 MA(F) = 0FC cos3060tan30 -G1 30-G2 60=0 FX = 0 FY = 0FAX + FCcos30 =0FAY + FCsin30 - G1 - G2 =0 若用二矩式方程组，用若用二矩式方程组，用 MC(F)=0替代替代 FX = 0-FAX 60tan30 -G1 30-G2 60=0 MC(F)=0若用三矩式，用若用三矩式，用 M

9、D(F)=0替代替代 FY = 0 MD(F)=0-FAY 60+G1 30=08DC：a，- L-e G：-Gsin , Gcos xyBACD 冲天炉的加料斗车沿倾角冲天炉的加料斗车沿倾角 =60 的倾斜的倾斜轨道匀速上升，如图所示。已知斗车连同所轨道匀速上升，如图所示。已知斗车连同所装炉料共重装炉料共重G=10KN，重心在，重心在C点，点，a=0.4m, b=0.5m, e=0.2m, L=0.3m， 试求钢索的张试求钢索的张力和轨道作用于料斗车小轮的反力。力和轨道作用于料斗车小轮的反力。TNANB解解：取料斗为研究对象，建立取料斗为研究对象，建立Axy坐标系坐标系,作用于斗车上的力有：

10、作用于斗车上的力有：主动力：重力主动力：重力 G约束反力有：钢索张力约束反力有：钢索张力T、轨道支反力、轨道支反力NA、NB。 这是一个平面任意力系，其平衡方程为这是一个平面任意力系，其平衡方程为 FX =0， FT Gsin =0 FY=0, NA+ NB Gcos =0代入已知数据，有上述三个方程即可解得代入已知数据，有上述三个方程即可解得T=8.66(kN), NA=1.82(kN), NB =3.18(kN)abeTL ACGNB(a+b)+a(Gcos ) -(L e)(-Gsin )=0 MD =0mD(G)=xY-yX9 求图示钢筋混凝土水池的集水槽的支座反力。求图示钢筋混凝土水

11、池的集水槽的支座反力。有关尺寸如图所示，取单位长的槽身进行计算，有关尺寸如图所示，取单位长的槽身进行计算，又钢筋混凝土和水的重容分别为又钢筋混凝土和水的重容分别为 和和 2 2。解解：以单位长的槽身为研究对象。池壁：以单位长的槽身为研究对象。池壁在在A处可视为固定端约束。作用于集水处可视为固定端约束。作用于集水槽上的荷载和约束反力均以槽身结构的槽上的荷载和约束反力均以槽身结构的对称面为对称，故可简化为在此对称面对称面为对称，故可简化为在此对称面内的平面一般力系。其受力如图示。内的平面一般力系。其受力如图示。 建立图示坐建立图示坐标系，列平衡标系，列平衡方程求解方程求解d2d1hHA池壁池壁Lx

12、yOd2d1hHALG1G2FAXFAYMAqG1= 1 1 H+d1 d21q = 2 2 h1= 2 2 hG2= 1 1L d11已已知知荷荷载载 FX =0FAX - qh =012 FY =0FAY - G1 - G2 - qL=0FAY =G1+G2+qL= 1 1 H+d1 d2+Ld1+ + 2 2 hL MA=0-MA+G1 L+d2 /2 +G2+qL +qh + =0 12h3d1 2L2L2FAX = 2 2 h21210 图示为塔式起重机简图。已知机身重图示为塔式起重机简图。已知机身重G1，重心在，重心在C处，最大起吊重量为处，最大起吊重量为G2 。各部分的尺寸。各部

13、分的尺寸a、b、e、L如图。求能保证起重机不致翻倒的平衡锤重如图。求能保证起重机不致翻倒的平衡锤重G3的的大小。大小。aebG3G2ABG1CL解解：取起重机为研究对象，分两：取起重机为研究对象，分两种情况分析：种情况分析：（1）满载时要防止起重机绕）满载时要防止起重机绕B支支点向右翻倒。在临界情况下，有点向右翻倒。在临界情况下，有NA=0，这时平衡锤重量为其最小，这时平衡锤重量为其最小值值G3min，起重机受力图如图所示。，起重机受力图如图所示。根据平行力系的平衡方程，有根据平行力系的平衡方程，有 MB(F) = 0 G3min(a+b)G1e G2L=0可解得可解得G3min =G1e+G

14、2La+bNBdMA= 1 1 L+ H+d1 d2+L2d1+ 2 2 hL2+h + d221212h3d1 211aebG3G2ABG1CLNAd（2）空载）空载(G2 =0 )时要防止起重时要防止起重机绕机绕A支点向左翻倒。在临界情支点向左翻倒。在临界情况下，有况下，有 NB= 0，这时平衡锤重，这时平衡锤重量为其最大值量为其最大值 G3max，起重机受，起重机受力图如图所示。力图如图所示。根据平行力系的平衡方程，有根据平行力系的平衡方程，有 MA(F)=0 G3maxaG1(e+b)=0可解得可解得G3max=G1(e+b)a顺便指出：顺便指出：在工程实际中在工程实际中, 为为 了缩

15、小平衡锤了缩小平衡锤G3值的值的变化和扩大起重量的范围，通常将平衡臂的长度变化和扩大起重量的范围，通常将平衡臂的长度a设设计成可调的，但是要注意，平衡臂长度计成可调的，但是要注意，平衡臂长度a不可过长。不可过长。 G3 G1e+G2L(e+b)G1(e+b)a12qQH FX =0， FDX Pcos =0 (1) 水平外伸梁的支承和载荷如图示。其中水平外伸梁的支承和载荷如图示。其中L=1(m)，q=1 (kN/m)，P=2(kN)， =30 ，m=30(kNm)，不计梁的自重，不计梁的自重，求支座求支座D和和E处的约束反力。处的约束反力。Pmq 2LLLEDCBAP FDYFEFDX解：取解

16、：取AB梁为研究对象，画其受力图。梁为研究对象，画其受力图。EDCBA主动力：主动力：集中力集中力P、均布力、均布力q、力偶、力偶m。约束反力：支座反力约束反力：支座反力FDX 、 FDY 、FE 建立建立Axy坐标系，此平面任意力系的平衡方程坐标系，此平面任意力系的平衡方程为为 计算时均布载荷可以当作一个集中合计算时均布载荷可以当作一个集中合力力Q，其作用点在，其作用点在AD段的中点段的中点H。 mD(F)=0, 0.5LQm+2LFE 3LPsin =0 (2) FY =0, Q+ FDY + FE Psin =0 (3)代入已知数据，由上述三个方程即可解得代入已知数据，由上述三个方程即可

17、解得FDX=1.73(kN), FDY= 0.75(kN), FE =2.75(kN)xym13 用三根细绳将一重用三根细绳将一重W=1200(N)的均的均质正方形薄板悬挂在水平位置。设薄质正方形薄板悬挂在水平位置。设薄板的边长为板的边长为L，求各绳的张力。，求各绳的张力。ABCL/4L/4L/3BACOW解：解：取薄板为研究对象，受力图如图所示。重取薄板为研究对象，受力图如图所示。重力和约束反力组成一空间平行力系。力和约束反力组成一空间平行力系。建立建立Axyz直角坐标系，力系的平衡方程为：直角坐标系，力系的平衡方程为：xyzTCTBTA MY(F)=0, W L/2 TC L=0 MX(F

18、)=0， TB L/2+TC 5L/12 W L/4=0 FZ=0， TA+TB+TC W=0可解得可解得TC=W/2=600(N)TB=W/25TC/6=100(N)TA=W TB TC=500(N)14mDABm 涡轮发动机的涡轮叶涡轮发动机的涡轮叶片受到的燃汽压力作用，片受到的燃汽压力作用，可简化为作用在涡轮盘上可简化为作用在涡轮盘上的一个轴向力的一个轴向力 S 和一个力和一个力偶矩偶矩 m 。已知。已知S=2(kN)，m=1 (kN.m) 。输出端受。输出端受到的压力到的压力Q作用在斜齿轮作用在斜齿轮D的节圆上，斜齿的压力的节圆上，斜齿的压力角角 =20 ，螺旋角，螺旋角 =10 ，齿

19、轮节圆半径齿轮节圆半径R=10(cm)，止推轴承止推轴承A与径向轴承与径向轴承B间的距离间的距离L1=50(cm)轴承轴承B到斜齿轮到斜齿轮D间的距离间的距离L2=10(cm)。不计发动机。不计发动机的自重，试求平衡时压力的自重，试求平衡时压力Q的大小以及两轴承的约的大小以及两轴承的约束反力。束反力。ABDL1L2SzyxASFAZFAXFAYBFBYFBX FQFTFR解解：取发动机转子为研究对象，建立：取发动机转子为研究对象，建立如图如图Axyz正交坐标系，画其受力图。正交坐标系，画其受力图。主动力：主动力：S， m 。A：止推轴承约束反力：止推轴承约束反力： FAX 、 FAY 、 FA

20、Z B：径向轴承约束反力：径向轴承约束反力： FBX 、 FBYD：斜齿轮啮合力：斜齿轮啮合力：FQFP 15解：解：取发动机转子为研究对象，建立取发动机转子为研究对象，建立如图如图Axyz正交坐标系，画其受力图。正交坐标系，画其受力图。主动力：主动力：S， m 。A：止推轴承约束反力：止推轴承约束反力： FAX 、FAY 、FAZ B：径向轴承约束反力：径向轴承约束反力： FBX 、 FBYD：斜齿轮啮合力：斜齿轮啮合力：FQ 为了便于计算，将斜为了便于计算，将斜齿轮齿轮D上的啮合力上的啮合力(传递传递压力压力)分解为周向力分解为周向力FP、(方向沿节圆切线方向沿节圆切线)、径向、径向力力F

21、R (方向沿节圆半径方向沿节圆半径)、轴向力轴向力FT方向沿转轴轴方向沿转轴轴线线z)。此三正交分力的大。此三正交分力的大小与力小与力FQ之间的关系为：之间的关系为：FP= FQcoscos (a) FR= FQsin (b) FT= FQcossin (c) 根据空间力系的平衡方程，有根据空间力系的平衡方程，有 FX=0， FAX+ FBXFR=0 (1) FY=0， FAY+ FBY+ FP=0 (2) FZ=0， FAZ+ SFT=0 (3) MX(F)=0， FBYL1FP(L1+L2)=0 (4) MY(F)=0, FBXL1 +FTrFR(L1+L2)=0 (5) MZ(F)=0，

22、 FPr m=0 (6) 将将(a)、(b)、(c)三式代入上述六个平三式代入上述六个平衡方程即可求得衡方程即可求得FAX= 0.38(kN), FAY=2(kN),FAZ= 0.23(kN), FBX= 0.407(kN), FBY= 12(kN), FQ=10.8(kN) mDABzyxASFAZFAXFAYBFBYFBX FQFTFRFP 16bdDCBAhx1y1z1 水平板水平板ABCD通过光滑球铰链用六根通过光滑球铰链用六根 直杆支撑如图示。在板角直杆支撑如图示。在板角A处作用一铅垂处作用一铅垂 力力F。尺寸。尺寸b=50(cm), d=100(cm), h=30(cm)。不计平板

23、和各杆的重量，求各杆对平板的不计平板和各杆的重量，求各杆对平板的约束反力。约束反力。 bdhDCBA解：取水平板解：取水平板ABCD为研究对象，由于不为研究对象，由于不计杆重和摩擦，六根杆子均为二力杆。假计杆重和摩擦，六根杆子均为二力杆。假设各杆均受拉力，平板受力图如下图所示。设各杆均受拉力，平板受力图如下图所示。建立坐标系如图，根据空间力系平衡方程：建立坐标系如图，根据空间力系平衡方程： FX1=0， F6=0 (1) MZ1(F)=0，dF2cos =0 (2) MX3(F)=0，bFbF1bF4sin =0 (4)可得：可得： F4=0 MY1(F)=0，dF1 +dF3 =0 (5)可

24、得：可得： F3= F MX2(F)=0，bF1+bF +hF2cos =0 (3)可得：可得： F2= 0可得：可得： F5= F可得：可得： F1= F MY2(F)=0，dF5+dF =0 (6)F1F5F3F2FF4F6Fx1z1x2x3y1y217 FZ1=0， ， FF2 F5F3 =0 (7) 在上述求解过程中，我们选用了一个投影方程、五个力矩方程。在上述求解过程中，我们选用了一个投影方程、五个力矩方程。容易看出，其中的某些方程可以用另外的一些方程来替代。例如力容易看出，其中的某些方程可以用另外的一些方程来替代。例如力矩方程矩方程(6)就可以用对就可以用对Z1轴投影方程来替代：轴

25、投影方程来替代：同样可得：同样可得： F5= F同样都可得：同样都可得： F4=0又如又如当当F2=0、 F6=0已知之后，力矩方程已知之后，力矩方程(4)可以用对可以用对Y1轴投影方程来替代：轴投影方程来替代： FY1=0， F4cos =0 (8)或用对或用对Z3轴力矩方程替代轴力矩方程替代 MZ3(F)=0，dF4cos =0 (9)bdDCBAhx3x2x1y1z1z2F1F5F3F2F4F6Fz3z1y1z3 由本例可以看出，平衡方程式的选择是灵活多样。可以用力矩方程由本例可以看出，平衡方程式的选择是灵活多样。可以用力矩方程替代投影平衡方程。空间力系的平衡方程组，可以是四力矩、五力替

26、代投影平衡方程。空间力系的平衡方程组，可以是四力矩、五力矩、六力矩。选摘的基本原则是尽可能避免多个方程联立求解，合矩、六力矩。选摘的基本原则是尽可能避免多个方程联立求解，合理安排方程次序，尽可能依次由每个方程式求出一个未知量。一般理安排方程次序，尽可能依次由每个方程式求出一个未知量。一般力矩方程容易实现这一目的。前面曾经指出，所选矩轴应与较多的力矩方程容易实现这一目的。前面曾经指出，所选矩轴应与较多的未知力相平行或相交，投影轴应与较多的未知力相垂直，这样可以未知力相平行或相交，投影轴应与较多的未知力相垂直，这样可以使方程中包含的未知力较少。使方程中包含的未知力较少。183 - 3 物系平衡问题

27、物系平衡问题 物系物系由多个物体通过一定的约束组合由多个物体通过一定的约束组合而成的系统称为而成的系统称为“物体系统物体系统”，简称，简称“物物系系”。物系的平衡问题一般包括：物系的平衡问题一般包括：（1）求解系统所受到的约束反力。）求解系统所受到的约束反力。（2）求解系统中各物体间的相互作用力。）求解系统中各物体间的相互作用力。 根据刚化原理，当物系平衡时，组成系统的每根据刚化原理，当物系平衡时，组成系统的每个物体和物体分系统都是平衡的。个物体和物体分系统都是平衡的。对于每个受平面对于每个受平面力系作用的物体，都可以列出最多三个独立平衡方力系作用的物体，都可以列出最多三个独立平衡方程程。设物

28、系由。设物系由 n个物体组成，则最多可以列出个物体组成，则最多可以列出3n个个独立平衡方程。若系统中有的构件受平面汇交力系独立平衡方程。若系统中有的构件受平面汇交力系或平面平行力系作用时，系统的独立平衡方程数目或平面平行力系作用时，系统的独立平衡方程数目则会相应减少。则会相应减少。19 在研究物体系统平衡问题时，不仅要知道外界物体在研究物体系统平衡问题时，不仅要知道外界物体对这个系统的作用，而且还要分析系统内各物体间的对这个系统的作用，而且还要分析系统内各物体间的相互作用。相互作用。系统以外的物体作用于系统的力称为该系系统以外的物体作用于系统的力称为该系统的统的外力外力，系统内部各物体间的相互

29、作用力称为系统系统内部各物体间的相互作用力称为系统的的内力内力。 由于内力必成对存在，且每对内力中的两个力由于内力必成对存在，且每对内力中的两个力等值等值、反向反向、共线共线，并同时作用于所选研究对象，故每对内，并同时作用于所选研究对象，故每对内力均为平衡力。所以，力均为平衡力。所以，内力不应出现在受力图上内力不应出现在受力图上，当，当然然也不应出现在平衡方程中也不应出现在平衡方程中。 但是，内力和外力的划分是相对于所取研究对象而但是，内力和外力的划分是相对于所取研究对象而言的，并非绝对不变。因此言的，并非绝对不变。因此欲求系统的内力欲求系统的内力，就必须就必须从从 欲求内力所在的约束处将物体

30、系统拆开，取其中某欲求内力所在的约束处将物体系统拆开，取其中某一部分为研究对象，这样就使所求内力转化为该研究一部分为研究对象，这样就使所求内力转化为该研究对象的外力对象的外力，从而可利用该研究对象的平衡方程求得。，从而可利用该研究对象的平衡方程求得。20 物体系统的平衡问题是静力学的重点物体系统的平衡问题是静力学的重点，也是一个难点也是一个难点。解决这类问题，既要涉及比较复杂的物体受力分析和各解决这类问题，既要涉及比较复杂的物体受力分析和各类方程的灵活运用，还要涉及解题方案的选择。类方程的灵活运用，还要涉及解题方案的选择。 在工程实际问题中，组成物体系统的物体数目、约束在工程实际问题中，组成物

31、体系统的物体数目、约束设置、各物体间的连接方式以及外表形状，可说是千变设置、各物体间的连接方式以及外表形状，可说是千变万化，但按其构造特点与荷载传递规律，可将物体系统万化，但按其构造特点与荷载传递规律，可将物体系统归纳为三大类归纳为三大类主要部分主要部分（基本部分）是指能独立承受荷载并维持平衡（基本部分）是指能独立承受荷载并维持平衡的部分。的部分。次要部分次要部分（附属部分）是指必须依赖于主要部（附属部分）是指必须依赖于主要部分才能承受荷载维持平衡的部分。分才能承受荷载维持平衡的部分。一、有主次之分的物体系统一、有主次之分的物体系统;ABC二、无主次之分的物体系统二、无主次之分的物体系统;ED

32、CBA三、运动机构系统。三、运动机构系统。 ABOIFrL21 求解物系平衡问题的特点是：求解物系平衡问题的特点是：系统中包含的物体数系统中包含的物体数目多，约束方式和受力情况较为复杂，所以一般只取目多，约束方式和受力情况较为复杂，所以一般只取一次研究对象不能求出全部未知量变，往往需要多次一次研究对象不能求出全部未知量变，往往需要多次选择。因此在求解物系平衡问题时，恰当地选取研究选择。因此在求解物系平衡问题时，恰当地选取研究对象就成了问题的关键。对象就成了问题的关键。 如何选择研究对象？如何选择研究对象？选取研究对象的方法非常灵活。选取研究对象的方法非常灵活。通常分析时应先从能反映出待求量的物

33、体或物系入手，通常分析时应先从能反映出待求量的物体或物系入手，然后根据求出代求量所必需的补充条件，再酌情选取然后根据求出代求量所必需的补充条件，再酌情选取与之相连的物体或物系进行分析。直至能够求出全部与之相连的物体或物系进行分析。直至能够求出全部待求量为止。具体求解时，为了计算方便，要把顺序待求量为止。具体求解时，为了计算方便，要把顺序颠倒过来，从受已知力作用的物体或物系开始。颠倒过来，从受已知力作用的物体或物系开始。223.3.1有主次之分的物体系统平衡有主次之分的物体系统平衡 图示平面结构由平面刚架图示平面结构由平面刚架ABC和梁和梁CD铰接而成。铰接而成。已知已知F=10kN，qB=6k

34、N/m。试求。试求A、C、D处的处的 约约束反力。束反力。解：这是一个由主要部分解：这是一个由主要部分ABC和和次要部分次要部分CD组成的物体系统。组成的物体系统。（1）首先取附梁）首先取附梁CD为研究对象。为研究对象。 qC=qB/2=3kN/m MD=0-FCYqC 4CDFDYFCYFCXqC2m1m2m2m2mFqBABCDMAFCY=2kN MC=0FDY-qC 2FDY=1kN FX=0FCX=0（2）取整体为研究对象。）取整体为研究对象。 231m2m2m2mFqBABCDMAFAXFAYFDY（2）取整体为研究对象。）取整体为研究对象。 MA=0 FX=0FAX -F=0FAX

35、 =F=10kNMA +F 2 +FDY 4 -(qB 4) 4MA =-8kN.m FY=0FAY+FDY - qB 4 =0FAY=11kN24CED 水平组合梁由水平组合梁由AC和和CD两部分组成，在两部分组成，在C处用处用铰链相连。其中铰链相连。其中P=500N， =60 ，L=8m，m= 500 N m，均布载荷的集度，均布载荷的集度q=250N/m。若不计梁。若不计梁重，试求支座重，试求支座A、B和和D处的约束反力。处的约束反力。qEDCBAFL/8 L/8L/4L/4L/4mqxyFYCFXCFYD解：分析：本题只需求解：分析：本题只需求A、B、D 三处支座的约束反力，三处支座的

36、约束反力，故应取包含这些待求量的系统整体作为研究对象，画出其故应取包含这些待求量的系统整体作为研究对象，画出其受力图。共有受力图。共有FXA 、 FYA 、 FYB 、 FYD等四个未知量。等四个未知量。FYDFYB 由整体受力图只能列出三个独立的平衡方程，因此需由整体受力图只能列出三个独立的平衡方程，因此需要另取要另取CD段为研究对象，画其受力图，求得段为研究对象，画其受力图，求得FYD 。 MC=0 FYD L/2mq(L/4)(L/8) =0 解得解得 FYD = 2m/L+qL/16mFYAFXAP =2 500/8+250 8/16=250(N)25 再根据整体的受力图列出三个平衡方

37、程再根据整体的受力图列出三个平衡方程 FX = 0 FXA +Pcos =0 解得解得 FXA = P cos = 250(N) MA=0 FYB L/4+ FYD LPsin L/8mq(L/2)(L/2) =0 FY =0 FYA + FYB+ FYDPsin qL/2=0解得解得 FYA = P sin FYBFYD = 284(N)qEDCBAFL/8 L/8L/4L/4L/4xyFYBmP FYDFYAFXA解得解得 FYB = FYD+4m/L+qL+0.433PL= 1470(N)26BCq 图示平面结构中图示平面结构中A为固定为固定端，端，B、C和和D皆为光滑铰链。皆为光滑铰链

38、。若已知若已知P、 、L，又，又m=6PL，q=2P/L。不计各构件的重量，。不计各构件的重量，求求B铰处的约束反力。铰处的约束反力。 YCXC3LBCAD1.5L1.5LP qmmY CX CY BX BCDYDXDBAYBXBP MAYAXA解：解：分析：分析：欲求铰链欲求铰链B的约束反的约束反力，可以取与其有关的力，可以取与其有关的AB杆或杆或BC杆为研究对象。但是若取杆为研究对象。但是若取AB杆，则其受力图上将有五个未知杆，则其受力图上将有五个未知量，为求解它们，必然还得取量，为求解它们，必然还得取BC杆分析。因此不如直接先取杆分析。因此不如直接先取BC杆杆为研究对象，然后再取为研究对

39、象，然后再取CD杆为研杆为研究对象更为简便一些。究对象更为简便一些。 因此，求解本例应当先从因此，求解本例应当先从CD杆开杆开始。始。27 首先对首先对CD杆上作用的三角形杆上作用的三角形分布载荷进行简化处理。分布载荷进行简化处理。 根据解题需要，在根据解题需要，在CD杆受力杆受力图上只需建立如下力矩方程图上只需建立如下力矩方程 MD=0 XC3LQ2L=0解得解得 XC= 2Q/3= qL 再由再由BC杆受力图上建立两个平衡方程杆受力图上建立两个平衡方程 FX = 0 X B X C =0 MC=0 mY B3L=0Y B= m /3L=2P结论：结论： X B= qL（拉力）（拉力） Y

40、B=2PX B= X C=qLQ=q 3L/2q YCXCCDYDXDQEqL2LYCXCCDYDXDQEBCmY CX CY BX B283.3.2无主次之分的物体系统平衡无主次之分的物体系统平衡 1、支座在同一水平线或铅垂线上的物体、支座在同一水平线或铅垂线上的物体平衡系统。平衡系统。 2、支座不在同一水平线或铅垂线上的物、支座不在同一水平线或铅垂线上的物体平衡系统。体平衡系统。CBADEMPEDCBAPBCD PQm29yx3.3.2无主次之分的物体系统的平衡无主次之分的物体系统的平衡 在图示结构中，已知重在图示结构中，已知重物物M重重P，结构尺寸如图所示，结构尺寸如图所示，不计杆和滑轮

41、自重，求支座不计杆和滑轮自重，求支座A、B的约束反力。的约束反力。CBADEMPL/2L/2LrrYAXAYBXB解：解：本题只要求求本题只要求求A、B支座约束支座约束反力，故首先选择包括这些待求反力，故首先选择包括这些待求量的系统整体作为研究对象。其量的系统整体作为研究对象。其受力图直接表示在原图中。受力图直接表示在原图中。 建立建立Axy坐标系，系统整体受坐标系，系统整体受力图上共有四个未知约束反力，力图上共有四个未知约束反力，可先列出其三个平衡方程可先列出其三个平衡方程可得可得 XB= P(L+r)/L MA(F) = 0 XBLP(L+r)=0 (1) MB(F) = 0 XALP(L

42、+r)=0 (2) 可得可得 XA= P(L+r)/L FY =0 YA+YBP=0 (3) 30YAXATYDXDDEA MD(F) = 0 为了求为了求YA和和YB，只需选含有，只需选含有YA的的AD杆作研究对象，画其受力图杆作研究对象，画其受力图如图所示。如图所示。 求求YA只需取只需取D点为矩心列一力矩点为矩心列一力矩方程方程将将T=P待入解得：待入解得： YA=P/2 由式由式(3)得得 YB=P/2 yxCBADEMPL/2L/2LrrYAXAYBXBXALYAL T(r+L/2)=0 (4) 31 求图示结构中求图示结构中DE杆在杆在D、E两端的约束反力。两端的约束反力。已知已知

43、AB=BC=AC=2L，D、E分别为分别为D、E的中点。的中点。P为已知铅垂力，为已知铅垂力，m为已知力偶矩，不计各杆自重。为已知力偶矩，不计各杆自重。EDCBAED解：解：分析思路：欲求分析思路：欲求DE杆杆D、E两端的两端的反力，则必须取反力，则必须取DE杆作研究对象，画其杆作研究对象，画其受力图如图示。受力图如图示。 YEXEYDXDPm 其中有四个待求量其中有四个待求量XD 、YD、XE、YE。DE杆受平面任意力系作用，最多杆受平面任意力系作用，最多可列三个平衡方程，因此还需另选与可列三个平衡方程，因此还需另选与D或或E有关的有关的AB或或BC杆为研究对象。杆为研究对象。如果选如果选B

44、C杆，则需画杆，则需画BC杆受力图。杆受力图。mYAXAYC32CBEYCYBXBX EY E 从从BC杆受力图上看，欲求得杆受力图上看，欲求得E点的点的反力反力X E或或Y E，其最佳方程是以，其最佳方程是以B点为点为矩心的力矩方程。但其中又引入了另矩心的力矩方程。但其中又引入了另一个未知量一个未知量YC。EDCBAPmYAXAYC MA(F) = 0 YC 2LPLm=0 (1)解得解得 YC= P/2+ m/2L首先取系统整体为研究对象，求首先取系统整体为研究对象，求YC 为求得为求得YC，可以取系统整体为研究对，可以取系统整体为研究对象，画其受力图。其最佳方程应选以象，画其受力图。其最

45、佳方程应选以A为矩心的力矩方程，由它可以直接求得为矩心的力矩方程，由它可以直接求得YC。于是本题的解题步骤如下：。于是本题的解题步骤如下：33 再取再取DE杆为研究对象，列方程杆为研究对象，列方程 MD(F) = 0 YE Lm=0 (3) ME(F) = 0 YD Lm=0 (4) 解得解得 YE= m/L 解得解得 YD= m/L FX = 0 XD+ XE =0 (5)方程方程(2) (5)联解得联解得XE = XD = P33EDCBEYEXEYCYBXBYDXDX EY EmEDCBAYAXAYCPm 再取再取BC杆为研究对象，列方程杆为研究对象，列方程 MB(F) = 0 YC L

46、Y EL/2X ELsin60 =0 (2)34DC 在图示结构中，在图示结构中，AB=L，CD=a，AB BC，A=60 ，P、Q分别为已分别为已知的铅垂与水平力，知的铅垂与水平力，m为已知主动为已知主动力偶矩。不计各杆自重，求固定端力偶矩。不计各杆自重，求固定端D处的约束反力。处的约束反力。xyMDXDYDYAXAABPQSS 解：解：分析：因需求分析：因需求D处约束反力，故应处约束反力，故应首先取首先取CD杆为研究对象画其受力图。杆为研究对象画其受力图。注意到注意到BC连杆是一个二力杆，所以连杆是一个二力杆，所以CD杆杆C端的约束反力端的约束反力S的方向是已知的。的方向是已知的。 CD杆上共有杆上共有S、XD、YD、 MD等四个未知等四个未知量，由量，由CD杆可列出三个独立平衡方程，尚需杆可列出三个独立平衡方程，尚需从其