一元二次方程的实际应用精讲精练(含答案)

1、5.实际问题与一元二次方程学习目标1 .经历分析具体问题中的数量关系 ，建立方程模型解 决问题白过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程 解实际问题白重要性 .2.通过列方程解应用题，进一步提 高逻辑思维能力和分析问题，解决问题的能力.预习导引在一次数学检测中，赵亮对下道应用题的解答过程 如下：试题：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出 20件，每件盈利40元,为了扩大销售，增加利润，尽量减少 库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每 件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元 ？解:设每件衬衫应降价x元，则每件所获得的利润为(

2、40 x)元，但每天可多销出 2x件,每天可卖(20+2 x)件根 据题意可列方程：(40 x)(20+2x)=1200 方程化简整理 为:x230x+200=0解得：xi=20x2=10答:若商场每天要盈利1200元，每件应降价10元或20元.当试卷发下时，赵亮发现本题被扣去1分，他百思不得其解，为什么要扣去1分呢？你能帮赵亮同学找找原因 吗?与同伴交流自己的想法.点拔当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元, 因要尽量减少库存，在获利相同条件下，降价愈多，销售越 快，才能一 满足题目实际问题的解，不仅要满足所列中的要尽量减少方程，还应符合题目中的每一个库存的要求，故应 选择每件降价2

3、0元.因而列方程解应用题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件.知能互动1.列一元二次方程解应用题的特点：一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和 发展，能用一元一次方程解的应用题，一般可用算术方程 解.而用一元二次方程解的应用题，一般不能用算术方法 求解.由于一元二次方程的次数为二次，所以其应用相当 广?t，其中面积问题，两次增长的平均增率和储蓄问题，经 营问题，数字问题中涉及到积的一些问题，都是代表类型.(1)数字问题：要能正确地表示诸如多位数，奇偶数，连 续整数白形式.如：一个三位数 abc 可表示为 连续两个偶数可表示为 连续两个整 数可表示为 这类问题常常间接设未知数，相等关系由题目

4、的关键语句"译”出.(2)平均增长率(增长率或降低常)问题在此例问题中 一般有变化前的基数(a),增长率(x)变化的次数(n),变化 后的基数(b),这四者之间的关系可用公式 表示.这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的 词语”译”出.(3)经营问题，这也是近年来中考中出现频率 高的应用问题.在这类问题中有进价 (a)售彳(b)利润(p)件数(n)等相 关的量.这些量之间的关系可用公式 表示，同时件数(n)又经常与售价(b)关联，在解答此类问题时，一定要准确地找到反映它们关 系的代数式.(4)其它问题，在近年的中考中，常常出现一 些贴进生活，生产的实际问题，如:规划、方案设计、测

5、量 统计、几何应用，与物理及其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时，等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句 ”译”出.(1.(1)100a+10b+c 2n 2n+2 nn+1(2)a(1+x) n=b(3)p=(b a)n)2 .列一元二次方程解应用题的一般步骤：和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为"审，设，列，解,答”.(1)审:认真审题，分析题意，弄清已知和未知，寻找相等 关系；(2)设:就是设未知数，分直接设未知数和间接设未知数，所谓直接设未知数就是问什么设什么，反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数，要以有利于列出 方程为准则.(

6、3)歹U:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相 等关系列出方程.(4)解:就是列一元二次方程解应用题时一二 求出所列万 vj程的解.(5)答:就一 般会产生两个解，必须检验每个书写答案，在答之解是否符合题意，正确取舍.前应对解得的方程的解进行检验，舍去不符合实际意义的解.3 .如何探求应用问题中的等量关系.列一元二次方程解应用题，关键是正确地找到等量 关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢？(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用题目中所名的条件.(3)要善于发现用J用间接的，潜在的等 量关系.(4)对一般应用题，可以从以下几个方面着手寻找 相等关系.利用题目中的关键语句作为相

7、等关系.利用公式、定理作为等量关系.从生活、生产实际经验中发现等量关系.名题探究例1.已知一直角三角形三边长为三个连 续偶数，试求这个直角三角形三边长及面积.命题意图本例考查列一元二次方程解答有关的数 字问题.解析用含未知数的代数式表示出三个连续的 偶数，再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三边长分别为 n,n+2,n+4,(n 为偶数：n2+(n+2)2=(n+4)2。化简, 整理，得:n24n- 12=0 解得：n=6,n2=2由于三角形的边长不能为负数，所以取 n=6, n+2=8,n+4=10即，两直角边为6,8,斜边为10. 三角形面积为 1八八八心。，6 8 24 .答:直

8、角三角形三边长为6,8,10,面积为224.思路探究几何中的定理是我们列方程的等量关系 的重要来源.例2.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为12万元，求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?命题意图本题主要考查平均增长率问题.解析本例属于平均增长率问题，若设平均增长率为x,则今年的投资额为2(x+1)万元，明年的投资额为 2(x+1)2万元，由今明两年的投资总额为 12万元可列方程. 解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为x,根据题意可列方程：2(1+x)+2(1+x) 2=12化简整理得：x2+3x 4=0 解这个方程得：xi=1,x2= 4(负值不合题

9、意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长 率为100%.思路探究在本仞中，12万元是两年的投资总额，不 是最后一年的投资额，不能错误地列出方程 2(1+x)2=12; 另外在解这个方程时，还可把(1+x)当作一个整体，用换元 法解.例 3.如图所示,AABC 中，/ B=90° ,点P从 A点开始沿 AB边向点B以2厘米/秒的速度 移动，点Q从B点开始沿BC边向 点C以2厘米/秒的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出 发，经几秒钟，使4PDQ的面积等 于8厘米2?点，弄清点的运动特征.动态问题，作静态分析，分类讨论， 列出方程.例4.某儿童玩具商店将进货价为30元

10、的一种玩具以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种玩具售 价每上涨1元，其销售量将减少10个，为了实现平均每月 12000元的销售利润，这种玩具的售价应定为多少企时 进这种玩具多少个？命题意图本例考查经营销售问题.解析设每玩具涨价x元，则售价为(40 x)元,每一只 玩具的利润为(40+x30)元,销售的件数为(600 10x)件, 根据总利润为12000元列出方程.思路探究每一只玩具 利润和销售总量均与上涨的价格有关，因而设上涨的价格为未知数较合适，用含未知数的代数式表示每一只玩 具的利润和销售量.解:设每件玩具涨价 x元，根据题意 可列方程：(40+x 30)(600 10x)

11、=12000解之，得：x1二20,x2=30 检验知x1=20,x2=30均符合 题意所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发，并且P到B点又 继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在 CA边上 前进，经过几秒钟，使4PCQ的面积等于12.6厘米2?命题 意图本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综 合运用，培养学生分析问题解决问题的能力.解析先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高，再根据三角形的面积公式列方程.解(1)如图所示，设经过x秒，使得4PBQ的面积为8 厘米2,则PB的长度为(6 x)cm,BQ的长度为2xcm,根据 1 _、- 一

12、题忌可列方程得：一(6 x) 2x 8 ,解之得：x1=2,x2=4 2经过2秒，点P到离B点4cm处，点Q到离B点的4cm 处；经过4秒，点P距离B点2cm处，点Q到距离B点 8cm处.即经过2秒或4秒,4PBQ面积为8cm2 (2)设经 过y秒，点P移到BC上，且有CP=(14 y) cm,点Q移到 CA 上，且有 CQ=(2y8) cm,作 PD± AC 于 D.(如图) ,62 8210 由PDAB614 y AC10据题意可列方程：，解这个方程得：AC=.AB2BC2 CPDACAB中考链接例5.某农户1988年承包荒山若干亩，投资 7800元改造后种果树 2000棵淇成活

13、率为90%,在2010 年夏季全部结果时，随意摘下10棵果树的水果，称得重量 如下(单位:千克)：8,9,12,13,8,9,10,11,12,8(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少？(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售1.1元,该农户用农用车将水果拉到市场出售，平均每天出售1000千克，需8人帮助，每人每天付工资25 元，若两种出售方式都在相同的时间内售完全部水果，选择哪种出售方式合理？为什么？(3)该农户加强果园管理，力争到2013年 三年合计纯收入达 57000元，求 2012 年,2013年平均每年增长率是多少 ？命题意图本例考查平均数意义及应用

14、 方案的选择，平均增长率等知识.解析(1)中由样本平均数估计出总体 平均数，进而估1t出2001年水果的总产量,(2)通过方f算，比较哪种销售方式所获收入多国2-5-23)根据. pd= 6(14 丫)1016(14-(2y 8)210y)y1=7,y2=11当y=7时，点P在BC上距C点7cm处，点Q在 CA上距离 C点6cm处，使 PCQ面积为12.62。当y=11时，点P在BC上距离C点3cm处，点 Q 在CA上距离 C点14cm处，14>10,点Q已不在 CA 上，即此解不存在y=7即经过7秒钟，4PCQ的面积为12.6厘米2.2001,2002,2003年纯收入的和为57000

15、元，列方程求解.斛(1) x J_(8 9 12 13 8 9 10 11 12 8) 100 10 (千1010克)2001年水果总产量为 2000X90%< 10=18000(千克)(2)在果园出售日削I攵入为1.1 18000=19800元送到市场销售收入为 23400元，用人工费为3600元，实际收入 19800元，因市场销售还有运输费等费用，故在果园出售 合理.(3)设平均每年的增长率为x,根据题意可列方程:(19800 7800)1+(1+x)+(1+x) 2=57000 解得：x= 3.5(不合题意，应舍去)x2=0.5=50%答(1)2001年的水果总产量为18000千克

16、.(2)在果园销售合算.(3)年平均增长率为50%.思路探究象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观应为400只或300只。达标训练一、选择题：1.某商品两次价格下调后，单价 从5元变为4.05元，则平均每次调价的百分率为A.9%B.10%C.11%D.12%2 .容器里装满纯酒精，倒出一半后用水加满，再倒出1，再 4用水加满此时容器内酒精浓度为 A.15%B.12.5%C.37.5%D.25%3 .某超市一月份白营业额为200万元，一，二，三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,贝U A.200+200X2x=1000B.200

17、(1+x) 2=1000C.200+200 3x=1000 D.2001+(1+x)+(1+x) 2=10004 .从正方形白铁片上，截去5cm宽的一个长方形铁皮，余 下的面积为84cm2,则原来正方形面积最大可能为cm2.A.84B.109C.144D.4205 .一个数字和为 10的两位数，把个位与十位数字对调下 得到一个两位数，这两个数之积是2296，则这个两位数为 A.28B.82C.28或82 D.不确定6 .元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知 全组共送贺卡132张，则这个小组共有 人.A.11B.12C.13D.147 .北京市政府为迎接2008年奥运会，决定改善城

18、市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加 44%,则 这两年平均每年绿地面积的增长率是 A.19%B.20%C.21%D.25%二、填空题：8 .两个连续奇数白平方和为202，则这两个奇数是9 .直角三角形的面积为 6,两直角边的和为7,则斜边长为一 10.某工厂第一季度平均每月增产10%, 一II II II月份产值a元，那么三月份产值为 .=二=二=三、解答题：,11 .一块耕地大小尺寸如图所示，要在这块 '耕地上沿东西和南北方向分别挖二条 二人-L 和四条水渠，如果水渠的宽相等，而且 朝虞跟 要保证余下的可耕地面积为9600平方米，那么水渠应挖多宽？12 .某网络公司20

19、00年各项经营收入中，经营电脑配件收 入600万元，占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到 2160万元，且计划从2000到 2002年每年经营总收入的年增长率相同，问2001年的预计经营总收入为多少万元？13 .用篱笆围成一个长方形花坛，其中一面靠墙，且在与墙 平行的一边开一个2米宽的门，现有能围成91米长的 篱笆，墙长为50米，花坛的面积要达到 1080平方米, 你能设计出符合要求的方案吗？不妨试试看.14 .我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里，其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水 土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀，风蚀造成的 水土流失面积

20、各是多少平方公里?(2)西北某省重视水土流失问题,2010年治理了水土流失面积 400平方 公里,该省逐年加大治理力度，计划今明两年治理水 土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年底，使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里，求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.15 .生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产 出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为 R(元)，售价为每只P(元)，且R,P与x的关系式为 R=500+30x,P=170 2x,当日产量为多少时，每日获得 的利润为1750元？16 .已知直角三角形周长为2灰，斜边上的中线长为1,求 这个

21、直角三角形的面积.17 .某公司向银行贷款20万元资金，约定两年到期时一次 性还本付息，利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金及利息外，还盈余6.4万元，若在经营期间每一年比前一年资金增 长百分数相同，试求出这个百分数.18 .某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这居民这个月只须交 10元电费; 如果超过A度，则这个月除了仍要交 10元的用电费 以外，超过的部份还要每度按 上交费.100(1)该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的 A 度，则超过的部份应交电费 多少元(用A表示)(2)下表是这户居民 3月、4月用电情况和交费情况:

22、月份用电量(度)交电费总数(兀)38025.44510根据上表数据，你能求电厂规定的 A的 值吗？试试看.19 . 如 图 所示，在 4ABC 中，AB=AC, ZA=36° ,BD 平分 / ABC 交AB于D,已知AB=4 cm,你能求出底边 BC 吗很试看.第19题图20 .如图所不'，客轮沿折线 AB C从A点出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速度直线力航彳T ,将一批货物送达客轮，两船/同时起航，并且同时到达折线a y-B - C的某点 E处，已知 CBAB=BC=200 海里，/ABC=90° ,客"帼图轮是货轮速度的

23、2倍.(1)选择:两船相遇之处 E点 A.在线段 AB上 B.在线段BC上C.可以在线段AB上,也可以在线段 BC上(2)求货轮从出发到两 船相遇共航行了多少海里 ？21 .某商店从厂家以每件 21元的价格购进一批商品， 该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350 10a)件，但物价局限定每件商品加价不能 超过进价的20%,商店计划要赚400元，需要卖出多 少件商品附件商品售价多少元？22 .汽车租货公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天 天供不应求，为适应市场需求，经 有关部门批准，公司准备适当提高日租金 ，经市场调查 发现，一辆汽车日租金每增加10元

24、，每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素，公司将每辆汽车的 日租金提高几个10元？(1)能使公司的日租金总收入达 到19380元？(2)使公司的日租金总收入最高？最高是多达标训练答案提示1 . B 2.C3.D4.C5.A6.B7.B8.-11,9 或 9,119.510.1.21a 元11 .解:如图所示，把这六条路移到靠边的部位，设路宽为x米，根据题意可列方程(162 2x)(64 4x)=9600, 整理为：x2 97x+96=0 解之：X1=1 x2=96 .而x2=96不符合题意x=1答:路宽为1米.12 .解:2000年的经营总收入为 600*0%=1500(万元) 设年增

25、长率为x,则 1500(1+x) 2=2160 (1+x) 2=1.441+x= ±.2(舍去 1+x= 1.2) . 1500(1+x)=1500 X1.2=1800(万元)答:2001年预计经营总收入为1800万元.13 .解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的长为(91+2 2x)米，根据题意 相x(91+22x)=1080解之：x1二24,x2=22.5 经检验均符合题意.当 x1=24 时,91+2 2x=45;当 x2=22.5 时,91+2 2x=48答:花坛的长和宽分别为45米,24米或48米,22.5米.14 .解(1)设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里，则风蚀

26、造成的水土流失面积为(x+26)万平方公里，根据题意有：x+(x+26)=356, 解之:x=165,x+26=191.故水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方公里和191万平方公里.在 4CBD 与 4CAB 中 ，/C= / C=72 , / CBD= / A=36°CB CD CBD 5匕 CAB.1.BC2=AB cd.又AD 2=AC - CD,AC BC BC=BD=AD,设 AD=x,则 CD=(4 x) x2=4(4-x)即 x2+4x16=0.xi = 2+ 2 !5x2解之：2 25(不合题意应舍去)BC的长为(2J52 )cm.20.(1)B(2)货轮从出发到两船相遇共航彳T了 (200 100J6)海里 3提示:设货船从出发到两船相遇共航行了作 DFLCB 于 F,连ZDE,贝 U DE=x AB+BE=2x.D 是102-2sx海里，过DAC 中点DF=100 ,EF=300 2x,x2=1002+(300 2x)221.解:设每件商品应售x元,才能使商店赚400元，根据题意，得(x21)(350 10x)=400解之得：xi=25 x2=31(不合题意应舍去).当xi=25时,350 - 10x=350- 250=100.答:该商店需