傅立叶级数ppt课件

1、2022-5-21一、三角级数的有关概念一、三角级数的有关概念1、三角级、三角级 数数).sincos(210nxbnxaannn 2、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性二、函数展开成傅立叶级二、函数展开成傅立叶级 数数.)(10 dxxfa)., 3 , 2 , 1( ,cos)(1 nnxdxxfan )., 3 , 2 , 1( ,sin)(1 nnxdxxfbn ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx2022-5-22一、三角级数的有关概念一、三角级数的有关概念正弦函数是一种常见的周期函数正弦函数是一种常见的周期函数.)sin( tAy如描画简谐

2、振动的函数如描画简谐振动的函数非正弦函数的周期函数，将展开成由简单的周期函数如三角函非正弦函数的周期函数，将展开成由简单的周期函数如三角函类似于前面用幂级数展开式表示与讨论函数，对于类似于前面用幂级数展开式表示与讨论函数，对于数组成的级数，即由下式来表示周期函数数组成的级数，即由下式来表示周期函数f(t):问题：问题：), sin()(10nnntnAAtf 1、三角级数、三角级数) sin(nntnA 令令,200Aa 那么有那么有).sincos(210nxbnxaannn 称形如上式的级数为三角级数，称形如上式的级数为三角级数，, sincos cossintnAtnAnnnn ,sin

3、nnnAa ,cosnnnAb , xt , 2 , 1,0 nbaann为常数。为常数。2022-5-23称为三角函数系称为三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx在区间在区间 -,上正交上正交,任何不同的两个函数的乘积在区间任何不同的两个函数的乘积在区间 -,上的积分等于零上的积分等于零,), 3 , 2 , 1( , 0cos nnxdx 2、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性), 3 , 2 , 1( , 0sin nnxdx ), 3 , 2 , 1,( , 0cossin nknxdxkx ), 3 , 2 , 1,( , 0cosc

4、osnknknxdxkx ), 3 , 2 , 1,( , 0sinsinnknknxdxkx 两个一样函数的乘积在区间两个一样函数的乘积在区间 -,上的积分不等于零上的积分不等于零,212 dx)., 3 , 2 , 1( ,cos2 nnxdx )., 3 , 2 , 1( ,sin2 nnxdx 2022-5-24二、函数展开成傅立叶级数二、函数展开成傅立叶级数 )sincos(2)(10kxbkxaaxfkkk 设函数设函数f(x)是周期为是周期为的周期函数的周期函数,且能展开成三角级数且能展开成三角级数: 21、系数怎样求？、系数怎样求？2、能否收敛？、能否收敛？.)(10 dxxf

5、a)., 3 , 2 , 1( ,cos)(1 nnxdxxfan )., 3 , 2 , 1( ,sin)(1 nnxdxxfbn 傅立叶傅立叶(Fourier)系数系数函数函数f(x)的傅立叶级数的傅立叶级数.狄利克雷狄利克雷Dirichlet收敛定理收敛定理 在一个周期内延续或只需有限个第一类延续点在一个周期内延续或只需有限个第一类延续点, 在一个周期内至多只需有限个极值点在一个周期内至多只需有限个极值点,那么那么f(x)的傅立叶级数收敛的傅立叶级数收敛,并且并且当当x是是 f(x)的延续点时的延续点时,级数收敛于级数收敛于f(x);当当x是是 f(x)的延续点时的延续点时,级数收敛于级

6、数收敛于).0()0(21 xfxf2022-5-25例例1 设设 展开成傅立叶级数展开成傅立叶级数.是周期为是周期为的周期函数的周期函数,它在它在上的表达式为上的表达式为 xf 2 , xxxf0 10 1将将 xf解解 nxdxxfancos)(1);, 3 , 2 , 1 , 0( 0 n 0cos) 1(1 nxdx 0cos11nxdx nxdxxfbnsin)(1 0sin)1(1 nxdx 0sin11nxdx 00cos1cos1nnxnnx 1coscos1 1 nnn) 1(1 2nn ., 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4nnn )12sin(1213s

7、in31sin4)( xkkxxxf ).,2,0;( xx2022-5-26例例2 设设 展开成傅立叶级数展开成傅立叶级数.是周期为是周期为的周期函数的周期函数,它在它在上的表达式为上的表达式为 xf 2 , xxxxf0 00 将将 xf解解 nxdxxfancos)(1 0cos1 nxdxx02cossin1 nnxnnxx)cos1(12 nn ;, 6 , 4 , 2 , 0, 5 , 3 , 1,22nnn dxxfa)(10020211 xxdx;2 nxdxxfbnsin)(102cossin1 nnxxnnx 0sin1 xdxx.) 1(cos1nnnn xf所以所以的傅

8、立叶级数展开式为的傅立叶级数展开式为)sincos2(4)(xxxf )3sin313cos32(2sin212xxx )5sin515cos52(4sin412xxx ).,3,;( xx2022-5-27假设假设 xf只在只在 , 上有定义上有定义,且满足收敛定理的条件且满足收敛定理的条件,那么那么 xf也可以展开成傅立叶级数也可以展开成傅立叶级数.补充补充 xf的定义的定义,使它拓广成周期为使它拓广成周期为 2的周期函数的周期函数 ,xF方法为：方法为： 在在或或 , , 外外的定义域的过程称为周期延拓的定义域的过程称为周期延拓.方式拓广函数方式拓广函数按这种按这种注注先求先求 xF的傅

9、氏级数，的傅氏级数， 再限制再限制 , x由于此时由于此时 ,xFxf 从而得从而得 xf的傅氏级数，在的傅氏级数，在 x处，此级数收敛于处，此级数收敛于 .0021 ff2022-5-28 nxdxxfancos)(1)1(cos22 nn 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx0202cossin1cossin1 nnxnnxxnnxnnxx nxdxxfbnsin)(1)., 3 , 2 , 1( , 0cossin102 nnnxxnnx 0sin1nxdxx02cossin1 nnxxnnx 0sin)(1 nxdxx ;, 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42

10、nnn )5cos513cos31(cos42)(22 xxxxf ).( x xf所以所以的傅立叶级数展开式为的傅立叶级数展开式为例例3 将函数将函数展开成傅立叶级数展开成傅立叶级数 xxxxxf0 0 解解 dxxfa)(10;21210202 xx 001)(1xdxdxx2022-5-29上式从上式从-到到逐项积分逐项积分: dxxf)( kxdxbkxdxadxakkksincos210由三角函数系的正交性由三角函数系的正交性,右端除第一项外右端除第一项外,其他均为零其他均为零, 22)(0 adxxf所以所以得得.)(10 dxxfa先求先求.0a )sincos(2)(10kxbkxaaxfkkk 2022-5-210用用cosnx上式两端上式两端,从从-到到逐项积分，得逐项积分，得其次求其次求.na )sincos(2)(10kxbkxaaxfkkk nxdxanxdxxfcos2cos)(0.cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk由正交性得由正交性得,上式除上式除k=n的一项外的一项外,其他各项均为零，所以其他各项均为零，所以,coscos)(2 nn