差分方程基本概念和方法

1、差分方程基本概念和方法考察定义在整数集上的函数，4f(n),nL,2,1,0,1,2,L函数xnf(n)在n时刻的一阶差分定义为：XnXniXnf(n1)f函数Xnf(n)在n时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分:2XnXn1Xn22Xn1Xn一.一.k同理可依次定义k阶差分Xn定义1,含有自变量n,未知函数Xn以及Xn的差分Xn,2Xn,L的函数方程，称为常差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。k阶差分方程的一般形式为kF(n,Xn,Xn,L,xJ0其中F(n,Xn,Xn,L,kXn)为n,Xn,Xn,LkXn的已知函数，且至少n要在式中出现。定义2.含

2、有自变量n和两个或两个以上函数值Xn,Xn1,L的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。k阶差分方程的一般形式为F(n,Xn,Xn1,L,Xnk)。其中F(n,Xn,Xn1,L,Xnk)为n,Xn,Xn1,LXnk的已知函数，且Xn和Xnk要在式中一定要出现。定义3.如果将已知函数Xn(n)代入上述差分方程，使其对n0,1,2,L成为恒等式，则称Xn(n)为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k个独立的任意常数，则称这样的解为差分方程的通解，而通解中给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。是其通解，其满足条件FiF21的特解为：Fn1151

3、.5c1例如：设二阶差分方程Fn2Fn1Fn,可以验证Fn这里Fn即为著名的Fibonacci数列。定义形如：XnkhXnk1b2Xnk2LbkXnfn（4,L也为常数，bk0,fn0,nk）的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程。常系数线性非齐次差分方程bkXnfnbkXn0Xnkb1Xnk1b2Xnk2L对应的齐次差分方程为Xnkb1Xnk1b2Xnk2L定理4非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即*XnXnXn.*一一.一一一一一其中Xn是对应齐次差分方程的通解,Xn是非齐次差分方程的特解对于线性齐次差分方程XnkbXnk1>Xnk2LbkXn0

4、定义其特征方程为kb1k1Lbk1bk0,称该特征方程的k个根为特征根，若此k个特征根互异，分别为1,2，L-则齐次差分方程的通解可表为nnnXnG1G2LCkk差分方程的平衡点及稳定性一阶线性差分方程的平衡点及稳定性一阶线性常系数差分方程xk1axkb,k0,1,2,L（1）的平衡点由xaxb解得，为*bx1a*.*当k时，若xkx,则平衡点x是稳定的，否则是不稳定的。容易看出，可以用变量代换方法将方程（D的平衡点的稳定性问题转换为xk1ax<0,k0,1,2,L（2）*,的平衡点x0的稳定性问题。对于方程（2）,因为其解可表为kxkax0,k1,2,L所以当且仅当|a1时，方程（2）

5、的平衡点（从而方程（1）的平衡点）才是稳定的。对于二阶线性常系数差分方程，我们考查xk2a凡1a?xk0（3）*2的平衡点x0的稳定性。其特征方程为：a1a20,记特征根为kk1,2,则（3）的通解为xkC11C22。不难验证当且仅当1，2辆足11,121时方程（3）的平衡点才是稳定的。二.层次分析法的广泛应用?应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。?处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。?建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与0工作选择?构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给

6、出。国家综合实力例1国家头力分析国民J事科11技社会对外收入力量水平稳定贸易i1美、俄、中、日、德等大国例2工作选择例3横渡江河、海峡方案的抉择供选择的岗位过河的效益Arzz经济效益Bi社会效益B2臼豪感C交往沟通C7安全可靠C6建筑就业C5当地商业C4岸间商业C3收入C2一节省时间a渡船D3(1)过河效益层次结构环境效益B3;美1化.Cii10过河的代价A环境代价B3例3横渡江河、海峡方案的抉择对生态的破坏&对水的污染C汽车排放物C7居民搬迁C6交通拥挤C5冲击生活方式6冲击渡船业1操作维护C2投入资金C1隧道D2(2)过河代价层次结构消费者均衡问题消费者均衡消费者对甲乙两种商品的偏

7、爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，设甲乙数量为qi,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交)，记作U(qi,q2)=cU(qi,q2)效用函数已知甲乙价格pkp2,有钱s,试分配s,购买甲乙数量qKq2,使U(q,q2)最大.模型已知价格Pi、P2,钱s,及求qi、q2,或Piqi/P2q：求解使U(qi,q2)最大2,maxZU(qi,q?)s.t.PqP2q2sULU(PiqiP2q2s),0(iqi1,2)几何解释直线MN：PiqiP2q2最优解Q:MN与l2切点斜率KmnPi/P2Ki也2dqU/Uqiq2PiqiUqiPiUP2q2结果_L,_L边际效用解释qiq2消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。效用函数U(qi,q2)应满足的条件A.U(qi,q2)=c所确定的函数q2=q2(qi)单调减、下凸B.0,Uq20,2u0,2U2q20,2uqiq2?解释B的实际意义效用函数U(q1,q2)几种常用的形式UqiPiUP2q2qiPiUP2q2?消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。?U(qi，q2)中参数，分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。效用