完整版高鸿业,微观经济学,第七版,课后答案18生产函数

1、第四章生产函数第一部分教材配套习题本习题详解一、简答题1 .如何准确区分生产的短期和长期这两个基本概念？生产的短期：指生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的时间周期。短期不可调整的生产要素称不变生产要素，一般包括厂房、大型设备、高级管理者、长期贷款等，可调整的生产要素成为可变生产要素，一般包括原材料、燃料、辅助材料、普通劳动者等。生产的长期：指生产者可以调整全部生产要素的数量的时间周期。生产的短期和长期是相对的时间概念，不是绝对的时间概念，其与企业所属行业、所用技术设备和规模等因素有关。2 .下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表（表41）:（1）在

2、表中填空。（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？表41口艾要素的数量口艾要素的总产量口艾要素的平均）里口义要素的边际）里122103244125r606677080963解答：（1）在表41中填空得到表42表42可义要素的数量口艾要素的思产量口艾要素的平均产县里口义要素的边际产县里1220212610324812448122456012126661167701048708.75013 .区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边

3、际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化一般包括边际报酬递增、不变和递减三个阶段。很显然，边际报酬分析可视为短期生产分析。规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。区别：前提条件不同，边际报酬变化生产要素分为不变和可变生产要素，生产要素比例发生变化；规模报酬分析研究生产要素同比例变动。考察时间长短不同。边际报酬变化分析的是短期生产规律；规模报酬研究长期

4、生产规律。指导意义不同。边际报酬变化指出要按比例配置生产要素；规模报酬指出要保持企业的适度规模。由于前提条件不同，两规律独立发挥作用，不存在互为前提，互为影响关系。联系：随着投入要素增加，产量一般都经历递增、不变和递减三个阶段。4 .假设生产函数Q=min5L,2K。(1)作出Q=50时的等产量曲线。(2)推导该生产函数的边际技术替代率函数。(3)分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1)生产函数Q=min5L,2K是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K:L=5:2。当产量Q=50时，有5L=2K=50,即L=10,K=25。相应的Q=50的

5、等产量曲线如图所示。(2)由于该生产函数为固定投入比例，即L与K之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSlk=0o(3)因为Q=f(L,K)=min5L,2Kf(入L入K)=min5入,2入K片Amin5L,2K)，所以该生产函数呈现出规模报酬不变的特征。5 .已知柯布道格拉斯生产函数为Q=ALk'。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为Q=f(L,K)=AL%Bf(入l入k)=A(入l汽入K)=WBalaKb所以当3>1时，该生产函数为规模报酬递增；当a+3=1时，该生产函数为规模报酬不变；当a+3<1时，该生产函数为规模报酬递减。6 .如果一个生产函数呈规模报

6、酬不变，那么，该生产函数的边际技术替代率是否一定是不变的？为什么？【答案】规模报酬和边际技术替代率是两个不同的概念。规模报酬这一概念是用来分析当全部生产要素同比例变化时导致的产量变化情况。如果产量变化的比例等于全部生产要素变化的比例，这种情况被称为规模报酬不变，边际技术替代率是指在产量给定的条件下，增加一单位要素所能替代的另一种要的数量。事实上，在生产函数呈规模报酬不变的性质时，其边际技术替代率可以不变，也可以递减。例如线性生产函数Q=f(L,K)=aL+K,具有规模援酬不变的性质，它的边际技术替代率是不变的常数，对柯布道格拉断生产数Q=ALaK来说，当a+=1时，也具有规模报酬不变的性质，但

7、它的边际技术替代率是递减的。固定投入比例生产函数Q(L.K)=minaL,bK,也具有规模振酬不变的性质，但在其等产量曲线的水平部分有MRTS=0,在等产量曲线的垂直部分，MRTS=oo(由此可见，规授酬不变与边际技替代率是涉及生产技术的两个不同概念，两者之间没有直接的联系。7 .如何区分固定投入比例的生产函数与具有规模报酬不变特征的生产函数【答案】固定投入比例生产函数又称里昂惕夫生产函数，其反映了这样一种生产技术，即在任何产量水平上，各种生产要素使用量之间的比例是固定不变的。在两种生产要素的情况下，固定投入比例生产函数的一般形式Q(L.K)=minaL,bK,即有固定的生产要素投入比例Ka,

8、相应的等产量曲线是一直角形式。Lb规模报酬不变的概念表示当全部要素使用量都按一定比例变化时，产量变化的比例等于全部要素使用量变化的比例。对固定投入比例生产函数来说，当所有的要素使用量按相同比例变化时有Q(L,K)=minaL,bK=min(L,K)=Q(L.K)所以，固定投入比例生产函数具有规模报酬不变的性质。除了固定投入比例生产函数之外，其他形式的生产函数也可以呈现规模报酬不变的特征例如，线性生产函数Q=f(L,K)=aL+K、柯布一道格拉斯生产函数Q=ALaK当a+B=1时等，都具有规模报酬不变的性质。总之，固定投入比例生产函数具有规模报不变的性质，但规模报不变的生产函数可以是固定投入比例

9、生产函数，也可以是其他形式的生产的函数。、计算题1.已知生产函数Q=f(L,K)=2KL-0.5L2-0.5K2,假定厂商目前处于短期生产，且K=10,求：(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPl函数、劳动的平均产量APl函数和劳动的边际产量MPl函数。(2)分别计算当总产量TPl、劳动平均产量APl和劳动边际产量MPl各自达到极大值时的厂商劳动的投入量。(3)什么时候APl=MPl?它的值又是多少？解答：(1)把K=10代入生产函数得短期关于劳动的总产量函数为：TPlfL,K210L0.5L20.510220L0.5L2502TPl20L0.5L5050方动的平均产量函数为：AR2

10、00.5L一LLL劳动的边际产量函数为：MPlTPl20L0.5L25020L(2)当MPl0时，即20L=0L=20时，TPl达到极大值。.50当APlMPl时，即200.5L：20L,L=10时，APl达到极大值。MPl20-L1,说明MPl始终处于递减阶段，所以L=0时，MP最大。(3)APlMPlL10,把L10代入AP和MP函数得：50一一.一一一一,APl200,5L=2055=10,MPl20L=2010=10，即L=10时，apl达到极大值，aplmpl。2 .已知生产函数为Q=min(2L,3K)。求：(1)当Q=36时，L与K值分别是多少？(2)如果生产要素的价格分别为Pl

11、=2,Pk=5,则生产480单位产量时的最小成本是多少？解：(1)生产函数为Q=min(2L,3K)表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有Q=2L=3K0因为已知产量Q=36,则2L=3K=36,所以，L=18,K=12。(2)由Q=2L=3K=480,可彳导:L=240,K=160。又因为Pl=2,Pk=5,所以有：TOPlL+PkK=2X240+5X160=1280。即生产480单位产量最小成本为1280。3 .假设某厂商的短期生产函数为Q=35L+8L24.已知生产函数为QAL3K3。-L3O求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生

12、产要素的数量为L=6,是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L>L=35+8L-L2边际产量函数：MP(L)=Q'(L)=35+16L-3L2(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP=MP,于是，有35+8LL2=35+16L3L2。解得L=0和L=4。L=0不合理，舍去，故取L=4。在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP=0,于是，有35+16L3L2=0。(5+3L)(7-L)=0,解得L=5/3和L=7。L=5/3不合理，舍去，故取L=7。由此可得，生产要素L投入量的合理区间为4,7。因此，企

13、业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型?(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？12解：(1)QfL,KAL3K31212fL,KAL3K3AL3K3fL,K，所以，在长期生产中，该生产函数属于规模报酬不变。(2)假定资本的投入量不变，用K表示，L投入量可变，121所以，生产函数QAL3K3,这时，劳动的边际产量为MPl-AL3K3352-2AL3Km0,说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加，dL9劳动的边际产量递减。_11_142 dMP2-1同理，MPk-AL3K3d-AL3K30,

14、说明：当劳动使用量即定3 dK9时，随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。5.令生产函数f(L,K)=a+a1(LK)1/2+a2K+a3L,其中0<av1i=0,1,2,3。(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解：(1)根据规模报酬不变的定义f(AL,AK)=f(L,K)于是有f(AL,AK)=a0+a1(AL)(W)1/2+a2(AK)+a3(AL)=a+Aa1(LK)1/2+祗K+AasL=Aa0+a1(LK)1/2+a2K+a3L+(1入)国=f(L

15、,K)+(1入)a。由上式可见：当ao=0时，对于任何的入义,有f(AL,AK)=f(L,K)成立，即当a0=0时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)在规模报酬不变，即a0=0时，生产函数可以写成-,、，1/2f(L,K)=a1(LK)+a2K+a3L相应地，劳动与资本的边际产量分别为:df(L,K)1_1/21/2MPl(L,K)=-aiL1/2K1/2+33,MPk(L,K)=dfdLK)=1a1L1/2K-1/2+a2,dMPL(L,K)1a3/2/2“dMPK(L,K)11/2.1-3/2可求：-=-a1LK<0,-=-a1LK<0显然，劳动和资本的边际产量是递减的

16、。6.假定某厂商的短期生产函数为Q=f(L,K),给定生产要素价格Pl、Pk和产品价格P,且利润n>0证明:该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点。证明L2为区域I的右界点，设厂商的生产函数为Q=f(K,L),其中L为可变投入，K为不变投入。由题意，单位产品的价格P和单位生产要素的价格Pl及Pk都不随产量Q的变化而变化。则利润tt=PQ-(LPl+KPk)ddQ一P-PldLdL因为，兀>0,可得PQ>LPl+KPkAPLPlp由(3)式两边同时除以LP,得:KPK/(LPPi)又因为在第一区域MPl>APl,所以得:dQQMPl>dLLAPL日口dQPl”

17、、即.>c(LPL1)dLP即>0(L<Li)PLPPdQ>PLdLP八,、(LPLi)P-dQ->PL>0dL这表明利润冗将随着可变投入L的增加而增加，且在区域I中这一趋势将一直保持到其右界点(即L=Li时)，所以在区域I中不存在使利润最大的点。7,已知某厂商的固定投入比例的生产函数为Q=min2L,3K。(1)令Pl=1,Pk=3。求厂商为了生产120单位产量所使用的K、L值以及最小成本。如果要素价格变化为Pl=4,Pk=2,厂商为了生产120单位产量所使用的K、L值以及最小成本又是多少？请予以比较与说明。(2)令Pl=4,Pk=3。求C=180时的K、

18、L值以及最大产量。解答：(1)L=3K=120,解得：L=120,K=40,当Pl=1,Pk=3时，最小成本C=120+3X40=240当Pl=4,Pk=2时，生产120单位产量所使用的K、L值也要满足：L=3K=120,解得：L=120,K=40。最小成本C=120X4+40X2=560。虽然生产要素价格变了，但是固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比例是固定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术问题非经济问题，不受生产要素价格的影响。生产一定产量生产要素数量不变。但是生产要素价格变化，故成本变化了。(2)由已知可得方程组：J4L3K180L3K解得L=36,K=1

19、2最大产量Q=L=3K=368,已知某厂商使用L和K两种要素生产一种产品，其固定替代比例的生产函数为Q=4L+3K作出等产量曲线。(2)边际技术替彳率是多少？(3)讨论其规模报酬情况。(4)令PL=5,PK=3(5)令Pl=3,Pk=3(6)令Pl=4,Pk=3（7）比较（4）、（5）和求C=90时的K、L值以及最大产量。求C=90时的K、L值以及最大产量。求C=90时的K、L值以及最大产量。（6），你得到什么结论？，一，一Q4边际技术替代率为等产量曲线斜率的绝对值，所以4MRTS=一,是个常数。3当所有生产要素使用量变动入倍时，f（/L,AK)=4儿+3冰=f(L,K),导解答：（1）由生广

20、函数为Q=4L+3K,可彳#K=-L致产量也变动入倍，所以为规模报酬不变。本题生产函数边际技术替代率为MRTS=4,给定的厂商预算方程（等成本线）5L+3K=903所对应的厂商预算线的斜率绝对值为生5,即所有等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算线Pk3在此题，厂商的决策原则是厂商预算线（投入成本）既定的情况下,实现最大的产量。如图（a）所示，三条平行的等产量曲线Q、Q和Q的斜率绝对值均小于厂商预算线AB的斜率绝对值，等产量曲线与预算线AB所能达到的最大产量为等产量曲线Q与厂商预算线的交点A点，厂商的全部成本都用来使用要素K,要素L的使用量为零。于是，厂商的要素使用量为K=90+3=30,L=0,

21、最大产量Q=4L+3K=4x0+3X30=90。在等产量曲线的斜率绝对值小于预算线的斜率绝对值时，即不等式左边表示在保持产量不变，厂商在生产中用1单位要素L可以替代约1.3单位要素K。不等式右边表示在市场上厂商按要素价格可以用1单位要素L换取约1.7单位要素K。因此，厂商自然会全部使用要素K.而要素L的使用量为零。或者，也可以这样理解，不等式左边表示保持产量不变，厂商在生产中用1单位要素K能替代Q.75单位要素L;不等式右边表示在市场上厂商按要素价格用1单位要素K也只能换取0.6单位要素L。由此，厂商自然不会使用要素L,而全部使用要素K,即K=30,L=0。（5）根据题意，如图（b）所示，生产

22、函数Q=4L+3K所对应的等产量曲线Q的斜率绝对值MRTS=4,它大于厂商预算线方程3L+3K=90所对应的3预算线的斜率绝对值31,等产量曲线Q与预算线AB在横轴白交点B是厂3商实现最大产量的均衡点。在B点，厂商的全部成本都用来购买要素L,要素K的使用量为零.于是，厂商的要素L使用量为L=90/3=30,K=0,最大产量Q4L+3K-4X301+3x0=120。与（4）中的原因相类似，在等产量曲线的斜率绝对值大于预算线的斜率绝对值时，即在区31=时，不等式左边表示在保持产量不变时，厂商Pk3在生产中用1单位要素L可以替代约1.3单位要素K;不等式右边表示在市场上厂商按要素价格可以用1单位要素

23、L换取1由此，厂商自然会全部使用要素L,而要素K使用量为零，即L=30,K=00（6）根据题意，生产函数Q=4L+3K所对应的等产量曲线Q的斜率绝对值仍然为MRTS=4刚好等于预算线方程4L+3K=90所对应的预算线的斜率3绝对值区4,此时，等产量线Q2与预算线AB重合。这意味着厂商实现最Pk3大产量的均衡点可以位于该重合线的任何位置，即有L0,K0,且满足预算约束条件4L+43K=90。然后，将L和K值代入生产函数4L+3K=90得至U最大产量为Q=4L+3K=90厂商这种选择背后的经济原因是；在等产量曲线的斜率绝对值等于预算线的斜率绝对债时,MRTS=-=旦4时，不等式左边表示厂商在生产中

24、用3Pk31单位要素L可以替代约13单位要素K,且保持产量不变：不等式右边表示在市场上厂商按要素价格也可以用1单位要素L换取1.3单位要素Ko因此，厂商总会按照这一固定的比例来购买并在生产中使用要素L和要素K,至于10要素L和要素K的具体使用数量是无关紧要的，只要满足预算约束条件J4L+3K=90就可以了。(7)比较以上(4),(5)和(6,可以得到一的结论：对于固定替代比例的生产函数而言，如果等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算线的斜率绝对值，则厂商生产的均衡点位于等产量曲线与预线在纵轴的交点。如果等产虽曲线的斜率绝对值大于厂商预算线的斜率绝对值，则厂商生产的均衡点位于等产量曲线与预算线在横轴

25、的交点，在以上两种情况中，均衡点为角解，厂商只使用一种要素进行生产，另一种要素使用量为零。如果等产量曲线的料率绝对值等于厂商预算线的率对值，即两线重合,则厂商生产的均衡点可以发生在该重合线上的任意位置，只需满定预算约束条件即可。三、论述题1.用图说明短期生产函数Q=f(L,k)的TPl曲线，APl曲线和MPl曲线的特征及其相互之间的关系。(1)总产量线TP、边际产量线MP和平均产量线AP都是先呈上升趋势，达到本身的最大值以后，再呈下降趋势。见图4-1。(2)首先，总产量与边际产量的关系：MP=TPL,K),TP(L,k)=/MPLdLmp等于tp对应点的斜率，边际产量线是总产量线上各点的斜率值曲线。MP=0时，TP最大；边际产量线与横轴相交。mp>0时，TP递增；mptptpltp1<0时，tp递减。AP(l)?)-1T-(MPAP)其次，平均产量与边际产量关系11若MP>AP,则AP递增；边际产量大于平均产量时，平均产量上升若MP<AP,则AP递减；边际产量小于平均产量时，平均产量下降若MP=AP,则AP最大。MP交AP的最高点最后，总产量与平均产量的关系AP=TP原点与TP上一点的连线的斜率值等于该点的AP。从原点出发，与TP相切的射线，切点对应AP最大。一1短期生产函数三条产量曲线的关系122 .假定某厂商的生产技术给定，在该生产技术下可以