幂级数的部分练习题及答案

1、题目部分，(卷面共有100题,349.0分，各大题标有题量和总分)一、选择(10小题，共22.0分)(2分)1n(2分)2函数项级数人的收敛域是n1n(A) 1,1(B) 1,1(C) 1,1(D) 1,1答()(2分)3设级数bnx2n在x2处收敛，则此级数在n0x4处(A)发散；(B) 绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。答：()(3分)4设级数anx3n在x1处是收敛的，则此级数n0在x1处(A)发散；(C) 绝对收敛；(C)条件收敛；(D)不能确定敛散性。占八、(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)不能确定敛散性。答：()(2分)6如果limL则哥级数anx3n

2、nan8n0(A)当|x2时，收敛;(B)当x|8时，收敛；(C)当x|1时，发散;8(D)当网:时,发散；答()(2分)7若哥级数anxn的收敛半径为R,那么n0(A)limnan1anR,(B)limnan1R,(2分)5设级数anx1n的收敛半径是1,则级数在x3n0(D) limanR,n(E) lim包！不一定存在nan答()(3分)8若哥级数anxn在x2处收敛，在x3处发n0散，贝U该级数(A)在x3处发散；(B)在x2处收敛；(C)收敛区间为3,2；(D)当x3时发散。答(2分)9如果fx在x0点的某个邻域内任意阶可导，那么n不一定是fx,可能处处不存事级数匚上xx0n的和函数

3、n0n!(A)必是fx,(B)(C)不是fx,(D)在。答()（2分）10如果fx能展开成x的哥级数，那么该哥级数（A）是fx的麦克劳林级数；（B）不一定是fx的麦克劳林级数；（C）不是fx的麦克劳林级数；（D）是fx在点x0处的泰勒级数。答（）。二、填空（54小题，共166.0分）（2分）1函数项级数arctan一的n1xn收敛域（2分）2讨论x值的取值范围，使当(nx)nnxn收敛当时合丫发散n1n2n（3分）3设级数Unx的部分和函数生xn1x1,级数的通项Unx(2分)4n7t(2n)!3n(2分)5级数nxenxn1xen1x在0,1上的和n1函数是（3分）6设x不是负整数，对p的值

4、讨论级数1nJp0的收敛性n1xn得当时，绝对收敛，当时，条件收敛。（2分）7哥级数1n1，2x3n的收敛域n02n1是On12n1（3分）8哥级数1x的收敛半径是，和n12n1!函数是。（1分）9如果哥级数anx1n的收敛半径是1,则n0级数在开区间内收敛。（2分）10如果lim旦2,则哥级数anx1n在开区间n3n1n0内收敛。（2分）11设备级数anxn的收敛半径是R0R,n0则哥级数anx2n的收敛半径是On0（2分）12如果哥级数anx1n在x1处收敛，在x3处n0发散，则它的收敛域是234（5分）13哥级数2x1x22x3x4的通项251017是,收敛域是O（6分）140n0n3y

5、xn的收敛域n1nn（4分）15（4分）16（4分）17事级数n4n01xn的收敛区间是帚级数n!xn0若事级数的收敛域是anxn和n1anx0n0收敛半径分别为R、R2,则R1、R2具有关系（3分）18设limn的收敛半径是anan13,则哥级数2nax0（2分）19哥级数1和函数是（3分）20哥级数（3分）21哥级数的收敛域是n0n!n二的收敛域是nn殳的和函数是11x,x22241331354xx2462468,和函数35（2分）22级数1豉xxx2x2的收敛域（2分）23若哥级数anxn的收敛半径是R,则其和函数在开区间上是连续的。（2分）24如果哥级数anxn与bnxn的收敛半径n0

6、n0分别是Ri、R2,则级数anbnxn的收敛n0半径是O（3分）25若事级数anxn的收敛半径是R,则n0其和函数sx在开区间内是可微的，且有逐项求导公式O（3分）26设备级数anxn的收敛半径是R,则其和函数n0sx在开区间上可积，且有逐项求积公式。（4分）27函数sinx-的麦克劳林展开成4为,其收敛域是。（3分）28函数ixR的麦克劳林展开式为,收敛区间（3分）29函数yaxa0,a1在x00点的泰勒展开式为,收敛区间（3分）30函数，的麦克劳林展开式1x为,收敛域是。（3分）31函数，的麦克劳林级数展开式1x为,收敛域是。（5分）32函数yln的麦克劳林展开式1x为,收敛域是。（6分

7、）33函数yln1x2x2关于x的曷级数为,收敛域（4分）34函数yln2x的麦克劳林展开式为,收敛域是。（4分）35函数cosx的麦克劳林展开式为,其收敛域是。（3分）36如果fx的麦克劳林展开式为anx2n,则an。n0（2分）37函数ex在点x00的泰勒级数为,收敛区间为。（2分）38函数sinx的麦克劳林级数为收敛区间为。（2分）39函数ln1x的麦克劳林级数为收敛域为（4分）40函数ln1x的麦克劳林展开式dnIn1xndx（3分）41函数cosX的麦克劳林（5分）42函数y:etdt关于yn0（4分）43函数sinhxsinhxn（4分）44函数coshxcoshxn（2分）45函

8、数fxo122axa0关于x的哥级数（6分）46函数sin2X的麦克劳林级数为nsinx（3分）47将函数fX展开成形如anX134xn0的事级数时，收敛域是（3分）48若函数fx在点X。的某一邻域内任意阶可微,fxn1k0k!kX0xx0kRnx,那么fx在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是O（3分）49函数y1在点x03的泰勒展开式x是,其收敛域是O（3分）50函数yx2cosjx2的麦克劳林级数是,其收敛域是。（3分）51函数yx2sinx2的麦克劳林级数是,其收敛域是。1（3分）52根据1x的哥级数展开式将8/250218表示成一个数项级数，该数项级数的前三项（用分数表示）（2分）5

9、3级数4发散时，k的取值范围n1n（2分）54利用ex的哥级数展开式将5表示成一个数项级数，该数项级数的第六项（用分数表示）是。三、计算（36小题，共161.0分）（3分）1设x0,求级数双纵Vx7/xVx的和函数。（3分）2设Uixx,Unxxnxn1,n2,3,0x1,试求级数UnX的和函数n1（3分）3求函数项级数x2enx,x0的和函数S（X）n0（4分）4求级数nxn1在（-1,1）内的和函数n1（4分）5设fx为，上的连续函数，级数Unxfnxfn1x,n2n21n1k其中fnx-fx-n1.2,nk0n试确定Unx的收敛域及和函数n2（4分）6试求哥级数2n11xn的和函数n05

10、2n（5分）7试求幕级数.0T子的收敛域2（4分）8试求级数二的收敛域n1x（3分）9试求级数lgxlgx2Igx的收敛域（4分）10试求曷级数n匕工的收敛半径及收敛域。1n3n（4分）11试求事级数J的收敛域n1n16nn（5分）12求幕级数一七法的收敛域（4分）13已知塞级数anxn的收敛半径R00,试求nanXn0丁b0的收敛半径（5分）14试求曷级数on12n101r的收敛半径及收敛域。（5分）15试求哥级数"丁的收敛域n18（5分）16试求事级数3n2xn2的收敛域n0n1（5分）17试求事级数X一的收敛域n2n3lnnn（5分）18试求吊级数一=的收敛域。n1n1lnn1

11、（6分）19试求事级数1n红二X2n的收敛域n0n1（5分）20试求事级数：x2n的收敛半径。n12n!2n（6分）21试求事级数一x-的收敛域。n1n1lnn1（5分）22n试求募级数.0xn的收敛半径及收敛域（4分）23试求曷级数xn在其收敛域上的和函数。n1n（5分）244n1试求幕级数一大在收敛域上的和函数（2分）25试求级数enxe的收敛域（3分）26试求事级数2n!2k1n!xn的收敛半径。（2分）27试求哥级数Sxn的收敛半径kin!（6分）28设fx,nn11nx,确定fx的连续区间，1并求积分03fxdx的值（6分）29设fxn1n*,确定fx的连续区n02问1并计算0fxd

12、x的值nn（6分）30设fx,gxxn,|x1,n0n!n0nxn0n!试用帚级数表示fxgxo（6分）31试用曷级数表示fxgxo（6分）32设fxxn|x1,n0gx2nxn,x1n02试用曷级数表示Fxfxgxonn（6分）33设fx4,试确定r,使得fxR,R上可微，并计算f-的值。4n（6分）34设fx确定R,使得fx在R,R上可n1n微，并计算f1的值。2（3分）35设fx5x34x23x2,求fxh关于h的麦克劳林级数。x2（3分）36试求函数fx0etdt关于x的哥级数.=案=答案部分，（卷面共有100题,349.0分，各大题标有题量和总分）一、选择（10小题，共22.0分）（

13、2分）1答案C（2分）2答案B（2分）3答案B（3分）4答案D（2分）5答案（2分）6答案A（2分）7答案（D）（3分）8答案（D）（2分）9答案（B）（2分）10答案（A）二、填空（54小题，共166.0分）（2分）1答案（,）（2分）2答案x1x1（3分）3答案（2分）4答案cos（2分）5答案0（3分）6答案p10p1（2分）7答案1,2（3分）8答案sinx（1分）9答案0,2（2分）10答案1,3（2分）11答案.R（2分）12答案1,32n（5分）13答案n-x1（6分）14答案113，3（4分）15答案114，4（4分）16答案0（4分）17答案R1=R2（3分）18答案,3（2

14、分）19答案1,1,ln1xo（3分）20答案2e3x（3分）21答案1,1.1x（2分）22答案0,1（2分）23答案R,R（2分）24答案minR1,R2或为bnBn（3分）25答案R,Rn1sxnanxn1（3分）26答案xsxdx0R,RanYn1xn0n1（4分）27答案（1）n/2丫no2n!（3分）28答案11nAnn1n!1,1（3分）29答案I2nInaxn!（3分）30答案1,1（3分）31答案1,（5分）32答案1,（6分）33答案1n12n1nXn1n112,2（4分）34答案ln2n1n1n1Xn2n2,2（4分）35答案（nCOS1n02n!2nsinXx2n1!2

15、n2n12-n12n1答案答案（3分）36-fn0n!（2分）37n0n!（2分）38答案2n11n-xn0m1!（2分）39答案n.n1X1n1n1,1（4分）40答案1,1（3分）41答案n2n2n!n八cos0n2k1,kn2k0,1,2（5分）42答案n0n!n1n1,2,（4分）43答案2n1Xn02n1sinhx1n2k10n2kk0,1,2,（4分）44答案2nn02ncoshxn1n2k0n2k1k0,1,（2分）45答案2n2n2n0a0n2k1,fn02k!n2k,2k2ak0,1,（6分）46答案1n122n1x2n,n12n!0n2k1一一2nsinxx01k122kl

16、n2kk1,2,（3分）47答案311,44（3分）48答案对于该邻域内的任意X,有limRnx0n（3分）49答案x3n3n10,6（3分）50答案2n2x2n!（3分）51答案2n1!（3分）52答案23815001000000（注：填2（2分）53弟等也得10分）答案（2分）541答案3840分)(注：答案形式为三、计算(36福也给分)512小题，共161.0(3分)1答案snx<xVx飞x2n1x2n1x2n1xsxlimsnlim2n1xnn(3分)2答案232nn1snxx(xx)(xx)(xx)于是，n0,0x1sxlimsnxlimxnn1,x1(3分)3答案所给级数是以

17、ex为公比的等比级数因此，当x>0,0ex1,级数x2en0nx收敛且和函数sx又x=0时，x2enx且s(x)=0综上所述s(x)=2xx1e(4分)4答案解法s(x)nnXn1nX解法二s(x)nXnn12x3(X2(XIX3x44X5Xn2XnnX（4分）5设Snxsnxfnxsxlimsnxn（4分）6答案Unx2的部分和，则1n1fnk0tdt答案事级数的收敛域是函数所求为2,所以当x2n10nxn01（5分）712x1x答案设Unx.52nn1x2n1因为lim也&x2nUnx所以当|x1时，级数收敛;又当x1,级数发散，故收敛域为1,1。（4分）8答案令1t,原级数

18、化为n2tn,xn1当且仅当|t|1时，级数n2tn收敛，n1所以原级数的收敛域是，11,（3分）9答案令lgxt,级数化为tn,n1当且仅当W1时，tn收敛，n1所以当-x10时，原级数收敛，10收敛域为-,10.10（4分）10答案nn令x5t,级数1的收敛半径是1,n1-n收敛域是1,1,故原级数收敛半径是1,收敛域是4,6.（4分）11答案由于lim-1,所以R1,nan当x1时，级数发散;当x1时，级数收敛;故收敛域为1,1.（5分）12答案令tx1,原级数化为1ntn13n12n此级数的收敛半径是2,收敛域是2,2故原级数的收敛域是（4分）13答案利用两级数之间的关系，可得n当二R

19、o,即xbRo时，级数an-收敛,bn0bn当xbRo时，级数an-发散，n0b所以收敛半径是bRo.（5分）14答案设Unxn12n12x-24n3limnUn1xUnx2x2所以收敛半径R而且x3时，级数收敛2故收敛域为11,2,2（5分）15设Un2nxn8n答案13n一x因为limnUn1xUnx所以R2,2时,级数发散,故收敛域是2,2。（5分）16答案设unx3nxUn1x2n13x所以当当|x1时,33时，级数收敛,级数发散，（5分）17设an答案1n3nInn由于lim43,故R3,nan1且当x3时，级数发散；当x3时，级数收敛。所以收敛域是3,3。（5分）18答案因为lim

20、'1,所以R1,naan1且当x11即x0时，级数收敛;当x11即x2时，级数收敛所以收敛域是2,0。（6分）19答案由于lim曳21,所以R1,nan且当x21时，级数收敛，当x21时，级数发散，故收敛域是1,3。（5分）20答案2因为limu二，nunx4所以当x2时，级数收敛，故收敛半径R2。（6分）21答案因为lim3<x32,nUnx所以当x31时，级数收敛,且当x31时，级数发散,故收敛域是2,4（5分）22答案因为pmUnx所以收敛半径R=2,2x且当冈=2时，级数发散。故收敛域为(-2,2)（4分）23答案事级数的收敛域是所以当x1,1时,xln11x（5分）24答案事级数的收敛域是当x1,1时，有4nxdx1arctanx211