广东东莞高二数学下学期期末考试试题A卷理

1、2013-2014学年广东省东莞市高二（下）期末试卷（A卷）数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题各有四个选项支，仅有一个选项支正确）1. （5分）对两个变量x和y进行回归分析，得到一组样本数据：（xi,yi）,（X2,y2）,（Xn,yn）,则下列说法中不正确的是（）A.由样本数据得到的回归方程1=bx+Z必过样本点的中心（K,V）B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数n一一£（yi-一21TR=1-n_£（%-y）1=1一来刻画回归效果,2R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D.用相关指数E（i=lE（%-v）i=l一来刻

2、画回归效果,2R2的值越大,说明模型的拟合效果越好2. （5分）复数z=±l（i为虚数单位），则z的共轲复数2为（）1+1A.2-iB.2+iC.4-2iD.4+2i3. （5分）随机变量七服从正态分布N（1,b2）,已知P（E<0）=0,4，则P（E<2）=（）A.0.1B,0.2C.0.4D.0.64.（5分）用反证法证明命题：“若是偶数”时，下列假设正确的是（a、b、c是三连续的整数，那么）a、b、c中至少有一个A.假设a、b、c中至多有一个偶数C.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c中至多有两个偶数D.假设a、b、c都不是偶数5. （5分）曲线y=ln（x+1

3、）在x=0处的切线方程是（）A.y=xB.y=-xC.y-xD.y=2x6. （5分）若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）弓，则E（3X+2）和D（3X+2）的值,J分别是（）A.4和2B,4和4C.2和4D.2和27. （5分）（x4/11的展开式中，常数项是（）A.第3项B.第4项C.第7项D.第8项8. (5分)计算：2|1-x2|dx=()JQA.-：B.：C.2D上3339. (5分)7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是()A.60B.120C.240D.36010. (5分)设f(x)=-lx3+Aax2+bx+c

4、,当x=xiC(-1,0)时取得极大值，当x=xzC(0,321)时取得极小值，则2b-a的取值范围为()A.-3,1)B.(-2,1)C.(T,1)D.(-2,T)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11. (5分)某班收集了50位同学的身高数据，每一个学生的性别与其身高是否高于或低于中位数的列联表如下：局十中位数低于中位数总计男20727女101323总计302050为了检验性别是否与身高有关系，根据表中的数据，得到k2的观测值.50乂(20X13-10X7)2k=-=4.84.2i-235二0因为K23.841,所以在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与身高有关12. (5

5、分)若(12x)2014=a0+a1x+a2014x2014,贝UJ%+T=2213. (5分)等比数列an中，a1=1,a2=2,f(x)=x(xa。(xa2)(x-a3)(x-a)，f(x)为函数f(x)的导函数，则f'(0)=.14. (5分)从装有n+1个球(其中n个白毛1,1个黑球)的口袋中取出m个球(0vmcn,mnCN),共有c111，种取法.在这C矶种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出mr1个白球，1个黑球，共有C皿+C：C一二C"i，即有等式：1n1nn+1匚皿+对一LcZ成立试根据上述思想化简下列式子：CC*L,C：7+C：2

6、+，%C：k=.(1<k<m<n,k,m,mCN).、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (12分)已知z是复数，若z+2i为实数(i为虚数单位)，且z(1-2i)为纯虚数.(1)求复数z;(2)若复数(z+mi)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.16. (12分)偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x(单位：分)与物理偏差y(单位：分)之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩

7、偏差数据如下：彳生序号12345678数学偏差x20151332-5-10-18物理偏差y5.53.53.51.50.5-0.5-2.5-3.5(1)若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；(2)若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.参考数据：3£K.y一=20X6.5+15X3.5+13X3.5+3X1.5+2X0.5+(5)X(0.5)+(10)X(一1=1112.5) +(-18)X(-3.5)=324gVx2=202+152+132+32+22+(-5)2+(-10)2+(-18)2

8、=1256.-i1=117. (14分)抽奖游戏规则如下：一个口袋中装有完全一样的8个球，其中4个球上写有数字“5”，另外4个球上写有数字“10”.(1)每次摸出一个球，记下球上的数字后放回，求抽奖者四次摸球数字之和为30的概率；(2)若抽奖者每交2元钱(抽奖成本)获得一次抽奖机会，每次摸出4个球，若4个球数字之和为20或40则中一等奖，奖励价值20元的商品一件；若4个球数字之和为25或35则中二等奖，奖励价值2元的商品一件；若4个球数字之和为30则不中奖.试求抽奖者收益E(奖品价值-抽奖成本)的期望.18. (14分)已知f(x)=alnx,g(x)=f(x)+bx2+cx,且f'(

9、2)=1,g(x)在xJ和2x=2处有极值.(1)求实数a,b,c的值；(2)若k>0,判断g(x)在区间(k,2k)内的单调性.19. (14分)将正整数按如图的规律排列，把第一行数1,2,3,10,17,记为数列an(nCNk),第一数列1,4,9,16,25,记为数列bn(nCN+)(1)写出数列an,bn的通项公式；(2)若数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,用数学归纳法证明：3(M+Tn)=2n3+4n(neN+)；(3)当n4时，证明：百24+彳!-+，1电4-S-?1119IIj613H-”J0+*I1534U11-31一20. (14分)定义：若曲线y=f(x)与y

10、=g(x)都和直线y=kx+b相切，且满足：f(x)<kx+b<g(x)或g(x)wkx+bwf(x)恒成立，则称直线y=kx+b为曲线y=f(x)与y=g(x)的"内公切线”.已知f(x)=-1x2,g(x)=ex.4(1)试探究曲线y=f(x)与y=g(x)是否存在“内公切线”？若存在，请求出内公切线的方程；若不存在，请说明理由；21. g'(x)是函数g(x)的导设函数，P(xi,g(xi),Q(x2,g(x2)是函数y=g(x)g(工)图象上任意两点，xi<x2,且存在实数xs,使得g'(x3)=5,证明：不一打xiVx3Vx2.2013-2

11、014学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（A卷）参考答案11.0.0512-113.6414Cmk三、解答题：本大题共6小题,共80分.15.（本小题满分12分）解：(1)设z=x+yi(x,ywR卜由z+2i=x+(y+2)i为实数，得y+2=0,即y=2.z(12i)=(x2i/12i)=x42(1+x)i,x4=0由z(12i)为纯虚数，得V,21x=04,z=4-2i.(2)(z+mi)2=(m2+4m+12)+8(m-2)i,124m-m20,根据条件，可知8(m-2)<0,10分16.解得2<m<2,，实数（本小题满分11分m的取值范围是（2,2）.12分)1

12、2分解:（1）由题意,一20151332(-5)(-10)(-18)5x=二6.53.53.51.50.5(-0.5)(-2.5)(-3.5)、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.题号12345678910答案CBDDAABCCB每小题5分，共20分.二、填空题：本大题共4小题,所以一59XiYi-nxy324-8-一y_2882252'、.xi2-nx1256-8()2i42a?=y-l3x(2)由题意，设该同学的物理成绩为则物理偏差为：w-91.5.而数学偏差为128-120=8,L1C1w-91.5=8-429分10分11分所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分.1

13、2分解得w=94,17.(本小题满分14分)解：(1)由题意，每次摸球写有数字«5”的概率为1.1分2四次摸球数字之和为30,只能是两次摸到写有数字“5”，另两次写有数字“10”.2分，1、设X为4次摸球中写有数字“5”的次数，则X-B(4,-),3分所以抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为：21214-23P(X=2)=C"(3)2M(13)=羡5分(2)由题意，抽奖者获得的收益;可取18元、0元、-2元.6分从8个球中任取4个球的结果数为C；,其中恰好有k个球写有数字“5”的结果数为C：C：*,所以从8个球中任取4个球，其中恰好k个球写有数字“5”的概率为:P(Y=k)

14、=k4上C：C：C：,k=0,1,2,3,4,C4C4-4所以P(=18)=P(Y=0)P(Y=4)=444C8c0c/c84135P(=0)=P(Y=1)P(Y=3)=c4cc84,cLcHC；163510P(=-2)=P(Y=2)=C：C：'C84183511分因此，随机变量的分布列为180-211618P35353512分E()=18116180(-2)353535183513分所以，(1)抽奖者四次摸球数字之和为30的概率为3;(2)抽奖者收益的期望为-生元.14分3518.(本小题满分14分)aa解：(1)由f(x)=alnx得f(x)=一，.f(2)=1,即a=2,f(x)

15、=2lnx.，x22一一.，、2一g(x)=2lnx+bx+cx,从而g(x)=-+2bx+c=x22bxcx2i一g(x)在x=-和x=2处有极值,21212(-)2b-c22=0,x2.22b2c2-g(2)二二0,解得：b=1,c=3,7分经检验：b=1,c=3满足题意.8分222x-5x2-(2)由(1),g(x)=2lnx+x-5x,g(x)=(x>0).x1 1-令g(x)>0,得0<x<3或x>2；令g(x)<0,得a<x<2.g(x)在看l',(2,十8)上单调递增，在'-,2i上单调递减.9分.22.11-一一.

16、1.右2k<,且k>0,即0<kE时，g(x)在区间(k,2k)内的单倜递增；102 441111右0<k<金<2k<2,即z<k<&时，g(x)在区间(k,?)内的单倜递增，在一一，1.区间(-,2k)内的单倜递减；11分2411若一Wk<2kW2,即一EkW1时，g(x)在区间(k,2k)内的单调递减；12分2241右一<k<2<2k,即1父k<2时，g(x)在区间(k,2)内的单调递减，在区间213分(2,2k)内的单调递增;若k22,g(x)在区间(k,2k)内的单调递增.14分19.(本小题满

17、分14分)解：(1)由an由一an=2n-1,得：an=a+1+3+|+2n-3=n2-2n+2,3分bn=n2.4分(2)当n=1时，=§=1,.3(T1+S)=6,又2n3+4n=6,，n=1时等式成立；5分假设n=k时等式成立，即3(Tk+&)=2k3+4k,则n=k+1时，3223Tk101=3TkSk3bk1a=2k34k3k1k1-2k1232=2k34k66k1-6k12=2kk-16k16kk1-i2k24k6k1=2(k+1j+4(k+1)3=2(k+1)+4(k+1),n=k+1时等式也成立.根据，3(Tn+Sn)=2n3+4n(nwN+)都成立.9分(3

18、)当n之3时，bn=n2>0,/.一+|+>一+=,“b2b3bnb1b2411分°1111111E1又一,一一14一二一一22III-b1b2b3bn123n+川+1nTn1111<-+，一2一一一122334.5-1-11-1JI1-142334n-1n5117=十一一<一42n4511117综上可知：_<一+|+<一成立.14分4bb2b3bn420.(本小题满分14分)可解：(1)假设曲线y=f(x)与y=g(x)存在“内公切线”，记内公切线与曲线g(x)=ex的切点为(%,y°),则切线l方程为：yex0=ex°(x%).2分y-ex0二ex0x-xo1又由«i可得：-x2+ex°x+(1x0)e"=0.3分yy2412由于切线l也和曲线f(x)=x相切，4所以A=e2x°(1x0产=ex°(ex01+x0)=0.'/ex0>0ex0-1+x0=0.4分当x0>0时，ex0>1,ex0-1+x0>0；当乂0=0时，ex0