必修五数列求和题型归纳

1、数列求和1.公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和.(1)等差数列的前n项和公式nai+annn1Sn=2=nai+2d.(2)等比数列的前n项和公式nai,q=1,Sn=a1anqa11qn=,qw1.1 -q1-q例1.一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时,经过的路程是()A.100+200(129)B.100+100(129)C.200(1-29)D,100(1-29)【答案】A第10次着地时，经过的路程为100+2(50+25+100X2-9)=100+2X100X(21+2211-292+29)=100+200X1_21=100+

2、200(129),2 .分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解.分组转化法求和的常见类型：(1)若an=bnicn,且bn,Cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和.bn,n为奇数，(2)通项公式为an=，沙山的数列，其中数列bn,cn是等比数列或等差数列，可采用分组Cn,n为偶数求和法求和.3 .并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例2、(2019山东青岛月考)已知数列an的前n项和$=n|”,nCN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2an+(-1)nan,求数列bn的前2

3、n项和.解(1)当n=1时，a1=S1=1；n2+nn12+n1当n>2时，an=SnSn1=-22=1a1也满足an=n,故数列an的通项公式为an=n.(2)由(1)知an=n,故bn=2n+(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+22n)+(1+23+4+2n).记A=21+22+22n,B=1+2-3+4-+2n,一2122n一.则A=22n1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n2.变式探究本例(2)中，求数列bn的前n项和Tn.解由(1)知bn=2n+(1)nn.当n为偶

4、数时，2-2n+1,non+l,noTn=(21+22+2n)+1+23+4_(n1)+n=1_2+2=2n1+2-2;当n为奇数时，Tn=(21+22+2n)+-i+2-3+4-(n-2)+(n-1)-nn-2-1+n2=nI-2n.+2-1+2n练习、(2019四川巴中质检)在等差数列an中，a2+a7=23,a3+as=-29.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an+bn是首项为1,公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d,则a3+as(a2+a7)=2d=6,二d=-3，-a2+a7=2a1+7d=23,解得a1=1,，数列an的通项公式为an=

5、-3n+2.(2)二数列an+bn是首项为1,公比为q的等比数列,an+bn=qn1,即一3n+2+bn=q"1,bn=3n2+qn1,nn-dn3n1qn-d.Sn=1+4+7+T(3n2)+(1+q+q2+q1)=2+(1+q+q2+-+q1).n3n1,3n2+n当q=1时，Sn=2+n=2；当q时，Sn=/14 .裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.裂项法求和在高考中经常考查，多以解答题的形式考查，并且往往出现在第二问，难度属中低档.(1)常见的裂项公式-=1nn+1nn+112n12n122n-1-2n+1；1_不1=7n+1邓,n+n+1(2)

6、利用裂项相消法求和的注意事项1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.3)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若an是等差数列，则1=anan+111工danan+1'anan+22danan+2考点一：形如an=的数列求和n+kn+p例3、(2019山东威海月考)已知等差数列an中，2a2+a3+a5=20,且前10项和So=100.(1)求数列an的通项公式；1(2)若bn=,求数列bn的前n项和.anan+1解(1)设等差

7、数列an的首项为a1,公差为d.由已知得2a2+a3+a5=4a+8d=20,一10X9.10a1+-2d=10a+45d=100,解得a1=1,d=2,所以数列an的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1.，_1-1()b2n-12n+122n-12n+1'11111111所以Tn=113+35+.+为甯=11右的数列求和考点2:形如1.例4、(2019皖北八校联考)已知函数f(x)=x"的图象过点(4,2),令an=fn+1+fn，nN*.记数列an的前n项和为Sn,则S2014=()A,也0131B.720141C.20151D.12015+1【答案】C由f(4)=

8、2可得4。=2,解得“=1则f(x)=x1.=；1=-j=一尸=，"一22fn+1+fnVn+1+Vn.n,S2014=a+a2+a3+a2014=(V2-V1)+(V3-V2)+(V4-V3)+-+(2014-V2013)+N2015&014)=也0151.,一,kn+1一，一一考点3:形如由=；的数列求和例5、（2019山东淄博模拟）正项数列an的前n项和Sn满足：S2（n2+n1）&（n2+n）=0.（1）求数列an的通项公式an；（2）令加=号病数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的MN*,都有Tn备解由Sn-(n2+n-1)Sn(n2+n)=0,得Sn(

9、n2+n)(Sn+1)=0.由于an是正项数列，所以Sn>0,Sn=n2+n.于是a=S1=2,当n>2时，an=SnSn1=n2+n(n1)2(n1)=2n.综上，数列an的通项公式为an=2n.(2)证明由于an=2n,.n+1n+11工_1nn+22a24n2n+2216n2n+22.Tn,1；+；+.T,1n1613222423252n-12n+12+2-122n2n+221_J_J_.1.1_5-161+22n+12n+22<161+2264.练习、(2019山东泰安月考)在数列an中，an=-1,若九的前n项和为l,则项数门为()nn+12020A.2016B.2

10、017C.20181【答案】D因为*111,11,11,1n2019二一，所以Sn=12+53+十二不=1由=母，所以n=2019.2Sn练习、（2019山东东宫模拟）已知数列an中，a=1,其前n项和为Sn,且满足an=一；（n>2）.2311,求证：数列S；是等差数列；1一1一1一3(2)证明：当n"2时,S1+7S2+-S3+-+_Sn<；.23n2.2S2证明(1)当n>2时，Sn-Sn1=7TS-,2Sn-111cSn1Sn=2SnSn1,o-一2,SnSn1又a1=1,S-=1,1,从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.Sn11.由可知，(n-1)x2

11、=2n-1一，16=2，当廿2时，nSn=VSn2n-1n2n-211111,12nn-12n-1n11111.11,11313从而S1+浮+3s3+衿<1+212+23+:<2.5 .倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.利用此法可求得sin210+sin22o+sin230例6、判断对错，推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,+sin288°+sin289°=44.5.()【答案】V6 .错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和.错位相减法求和时的注意点:(1)要善于识别题目类型，特别

12、是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出Sn”与qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.1和不等于1两种情况求解.(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于7.一些常见数列的前n项和公式(1)1+2+3+4+(2)1+3+5+7+2n1=n2.(3)2+4+6+8+2n=n(n+1).(4)12+22+n2=nn+12n+1例7、(2019山东济宁月考)已知an是各项均为正数的等比数列，且a+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前.bn.n项和为Sn.已知浙+1=加加+1

13、,求数列函的刖n项和Tn.解(1)设an的公比为q,a1=2,q=2,由题意知a1(1+q)=6,a2q=a1q2,又an>0,由以上两式联立方程组解得所以an=2n.(2)由题意知S2n+1=2n+1b+b2n+1=(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1W0,所以bn=2n+1.人bnmrr2n+1"Cn=an，则5=2n因止匕Tn=C1+C2+Cn3,5,7,.2n-1.2n+1=2+齐+23+-+_2Fr+_2n-，3572n-12n+1又2%=呼+23+24+2+-2产】，两式相减得2口=2+2+/+十六一竽J，所以Tn=5竽5练习、已知等比数列an

14、的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=口，求bn的前n项和Tn.解(1)设等比数列an的公比为q,因为S2=2a2-2,S3=a42,所以由两式相减得a3=a4-2a2,即q2q-2=0.又因为q>0,所以q=2.又因为S2=2a2-2,所以aI+a2=2a22,所以a+aq=2a1q2,代入q=2,解得a1=2,所以an=2n.n(2)由(1)得bn=/所以Tn=2+|2+宏+2""1+会_1_将式两边同乘;得1123n-1nQTn=”+尹+齐+酒,由两式错位相减得111±12Tn=2+22+23+24+21T上一1二2n+112n2门1,整理得Tn=2n+22n1 c练习、已知数列an的刖n项和Sn=2n2+kn(其中kCN),且Sn的最大值为8.(1)确定常数k,并求an；9 2an(2)设数列的刖n项和为Tn,求证：Tn<4.1C(1)解当n=keN时，Sn=2n2+kn取得最大值，一11CC即8=Sk=-2*