弹簧专题之弹簧振子

1、弹簧专题之弹簧振子【模型构建】定义弹簧振子是一个不考虑摩擦阻力，不考虑空气阻力，不考虑弹簧的质量，不考虑振子（金属小球）的大小和形状的理想化的物理模型。用来研究简谐振动的图IA规律。弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中,弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至

2、到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧劲度系数和振子质量有关，与振幅大小无关。右图为其运动图像。（注意复习受迫振动，阻尼振动等相关知识）在简谐运动中，我们一般对模型甲（图1）比较熟悉，但模型乙（图2）也经常出现在试题中。特别注意：模型甲乙都做简谐运动，甲中回复力（弹力），加速度，速度，位移各量都关于平衡位置O点对称。但是乙是由弹簧弹力

3、和弹簧重力一起提供回复力，弹簧的弹力大小关于平衡位置是不对称的，但是回复力（加速度）仍然是对称的。特征图31:在振动的过程中，振子在任意一点与该点关于平衡位置的对称点上，回复力F与回复加速度a大小相等，方向相反。平衡位置合力为零，加速度为零，速度最大。正负位移最大处回复力最大，加速度最大且方向相反，速度为零。2:如图3所示，O为平衡位置，假设一弹簧振子在A、B两点间来回振动，振动周期为T,C、D两点关于平衡位置O点对称。从振子向左运动到C点开始计时，到向右运动到D点为止，即振子由CfA-8O-D的运动时间为23:弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即在振动过程中，振子在任意位置，弹簧振子的机械能

4、不变，弹簧振子的机械能表现为振子的动能与弹簧储存的弹性势能之和。设弹簧劲度系数为k,振子的振幅为A,弹簧振子的机械能大小为s=4:由于回复力是变力，所以对于该模型系统动量守恒和能量守恒的方法就比较适用。我们先来研究图1类型的水平位置的弹簧问题。请先看右图熟悉一下。【小试牛刀1】如图4所示，在光滑的水平面上，有滑块A和B,A和B的质量均为10g,现有一轻质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为。开始时两滑块均静止，现给A滑块一冲量，使其以10m/s的速度向右滑行，并与B相碰后，与B粘在一起，求弹簧与墙有作用力的时间。已知关于水平弹簧一般较少，所以我们重点以竖直方向的弹簧振子为载体来研究振

5、子更多的特性。【小试牛刀2】如右图所示，质量为3m的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg,求小球运动到最高点时，台秤的示数为，小球的瞬时加速度的大小为。我们把它当做一个例题，所有的弹簧振子问题都围绕其核心来分析。对小球进行受力分析（一定要画实物图），当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg,即框架和小球这一整体对台秤压力的大小为5mg,由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg。由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加速度（超重），设该时刻小球加速度大小为a,此时框架的加速度大小为0,则对框

6、架与小球这一整体应用牛顿第二定律得：%二%一+冲m=4咋=小口十编K0解得：a=g由弹簧振子的对称性可知，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加速度的大小也为g,方向竖直向下，所以该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg。提到对称性，来一个大家熟悉的练练手。【炉火纯青1】如图，一顶角为直角的“服光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长10。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是（弹簧的长度为1时弹性势能为加”切）（）A.左边金属环下滑过程机械能守恒B.弹簧的最大拉力

7、为2mgC.金属环在最高点与最低点加速度大小相等D.金属环的最大速度为aJ对称性是弹簧振子最常考的问题，必须要熟练应用。【炉火纯青2】如图所示，长直杆与水平面成。角固定放置，杆上O点以上部分是粗糙的，而O点以下部分是光滑的.轻弹簧穿过长杆，下端与挡板固连，弹簧原长时上端恰好在O点，质量为m的带孔小球穿过长杆，与弹簧上端连接.现将小球拉到图示a位置由静止释放，一段时间后观察到小球振动时弹簧上端的最低位置始终在b点.Ob=Oa=1.则下列结论正确的是（）A.小球第一次过O点时速度为整个运动过程的最大速度,）B.整个运动过程小球克服摩擦力做功为2mg1sin0QC.小球在b位置受到弹簧弹力大小为mg

8、sin0D.若初始在a位置给小球一个向下速度，则小球最终运动的最低点在b位置下方领射二.一1注意：不是原长是就是速度最大！耳【进阶之路1】如图，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，a咔则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中（）fl产A.升降机的速度不断减小"工一年除B.升降机的加速度不断变大：管1JC.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功：-1D.到最低点时，升降机加速度的值等于重力加速度的值通过此题D选项，大家应该对弹簧的对称性有了更加深刻的认识。下面看看这道题，结合电场，利用特征3【进阶之路

9、2】如图所示，在光滑的水平面上，有一绝缘的弹簧振子，小球带正电，在振动过程中当弹簧压缩到最短时，突然加上一个沿水平向右的恒定的匀强电场，此后（振子的振幅将增大B.振子的振幅不变C.振子的振幅将减小D.与加上恒定的匀强电场前相比，加上恒定的匀强电场后振子的平衡位置不变以上，我们可以发现，在不同类型的题目中平衡位置会发生变化。因此，找准平衡位置是解决此类问题的第一要义压力传感器也是常考问题，对于我们理解对称性有很大帮助。【进阶之路3如图a所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放,小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定

10、高度后再下落，如此反复.通过安装在弹簧下端的压力传感器，得到弹簧弹力度为g,则（）A. t1时刻小球具有最大速度C.可以计算出小球自由下落的高度F随时间t变化的图象如图b所示，若图象中的坐标值都为已知量，重力加速B. t2时刻小球的加速度为零D.小球运动的整个过程中机械能守恒双振子弹簧模型是由两端都连有物体的轻质弹簧的简谐运动理想模型，其涉及到比较宽泛，因此普遍具有难度，我们先用水平面上弹簧双振子模型进行剖析，以进一步探讨其运动规律。特性1.水平面上振子其重力与地面（桌面）的支持力相互平衡，水平面上在不计摩擦时只受到回复力的作用，且振子的形状和大小不加以考虑；2 .双振子各自受到来自弹簧的内力

11、，其大小相等方向相反，是一对相互作用力。3 .在无外力的弹簧双振子理想模型中，振子动能与弹簧的弹性势能之间发生相互转化，但是其总和不变，也就是机械能守恒。【独孤求败1】如图一所示，木块A、B,用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。现用水平恒力F推木块A,则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：A、B速度相同时，二者加速度大小关系如何？A、B加速度相同时，二者速度大小关系如何？最终aA<aB,则中间一定有aA=aB的时候。本题的解答，一般都用v-t图像，作图时依据以下三点作出:开始时A的加速度为aA_L,而B的加速度为0,随着弹mA簧的压缩，A的加速度开始减小，B的加

12、速度增大，当A、B速度相等的时候，弹簧被压缩到最短（这个结论在很多题目中常常隐含出现）。其v-t图像则一般被描绘为图二所示：于是很容易得出结论为：于是很容易得出结论为：A、B速度相同时（t2时刻），aA<aB,A、B加速度相同时（ti时刻），va>vb。得出结论，依据开始时aA>aB,图三需用到多种方法证明，高考只需进行定量分析，定量分析的话，感兴趣的同学可以查阅双弹簧振子问题研究.doc其实双振子问题一般分为三种情况，第一种是无初速度弹簧压缩至一定长度；第二种是弹簧自由伸长，给某一个物体一初速度；第三种是弹簧自由伸长，施加外力。【独孤求败2B施加向右的水平拉力F,稳定后A、

13、F的水平推力向右推A,稳定后A、B物块A、B的质量分别为m和2m,用轻弹簧连接后放在光滑的水平面上。对B一起在水平面上运动，此时弹簧长度为li;若撤去拉力F,换成大小仍为起在水平面上运动，此时弹簧长度为l2o则下列判断正确的是（）A.弹簧的原长为生也B.两种情况下稳定时弹簧的形变量相等2B.C两种情况下稳定时两物块的加速度不相等D.弹簧的劲度系数为所以弹簧与墙存在作用力的时间:/=0.314sh2【小试牛刀1】解析：滑块A向右与滑块B相碰粘合在一起，由动量守恒知，两者以5m/s的速度向右运动，A、B两滑块整体与弹簧作用时间即弹簧与墙存在作用力的时间。两滑块整体与弹簧相互作用时，两者组成了一个弹

14、簧振子，两滑块整体与弹簧的作用时间t为弹簧振子周期T_T_的一半，即一万。丁曜，已知m=耀!且十梢忐=0.02毋*k=2N/m代入周期公式得：工=02力0.62区【炉火纯青1】金属环下降过程中，弹荚对其做负功，金属环机就能减少.故A错谭；金属环下降*达到最低时,速度减小为0.形变革为2川.弹性势能最大，根据机械能守恒定律可得2mgh'=£村2拉,解酬'=等则最大弹力为巴"="助=2mg.故月正确；白、由茴谐运动的对称性可知，金属球在最高点与最低点加速度大小饵寻，故C正确；解当金环的加速度为O时，速度最大。根据平衡条件可得mg由n45)=Feos45

15、”根据胡克定律可得尸-卜解得形变电为也下-华k根据几何知识.荫个小球下降的高度为对系统只有重力和弹力做功，对两个金属环和弹等根据机械能守恒，则有2mghifcAar"+-x2im22解得u=g偿，故力正确y2k故选：BCDa【炉火纯青2】解析：A.对小球受力分析，根据牛顿第二定律可知，小球从a位置由静止释放，先做加速运动，当达到ob之间的某位置时，弹簧的弹力等于小球重力沿杆向下的分量，此时速度最大，故A错误；B.将小球拉到图示a位置由静止释放，小球沿杆做往返运动，由于摩擦力的作用，往返运动的幅度会越来越小，一段时间后观察到小球振动时弹簧上端的最低位置始终在b点，小球在ob之间往返运动

16、，对弹簧和小球系统根据能量守恒，在a、b两个位置，小球速度为0,弹簧的弹性势能相等，由a到b整个运动过程小球克服摩擦力做功等于小球减少的重力势能，即为，故B正确；C.由A选项分析可知，小球在b位置受到弹簧弹力大小大于，故C错误；D.由B选项分析可知，若初始在a位置给小球一个向下速度，只是小球沿杆刚开始往返运动的幅度大，随着往返次数增多，幅度越来越小，小球最终运动的最低点还是在b位置，故D错误。故选Bo【进阶之路1】A、升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中，开始阶段，重力大于弹力，加速度方向向下，向下做加速运动，当重力和弹力相等后，弹力大于重力，加速度方向向上，向下做减速运动，加速

17、度的大小先减小后增大，速度先增大后减小.故A、B错误.C开始阶段，速度增大，根据动能定理，重力做的正功大于弹力做的负功；然后速度减小，根据动能定理得，弹力做的负功大于重力做的正功.故C正确.D、若升降机从弹簧接触地面由静止释放，开始阶段的加速度为g,根据对称性，到达最低点的加速度也为g,方向竖直向上.现从一高度下落，弹簧压缩的最低点比上次还低，根据牛顿第二定律，则加速度大于g.故D正确.故选CD.【进阶之路2】小球带正电，加上一个沿水平向右的恒定的匀强电场后受到水平向右的电场力.在平衡位置时振子所受的电场力与弹簧的弹力平衡，则知此时小球所受的弹力向左，说明弹力处于伸长状态，则知平衡位置相对原来而言向右移动，所以振子的振幅将增大，故A正确，BCD错误.故选：A【进阶之路3A、t1时刻小球刚与弹簧接触；当弹簧弹力与重力平衡时速度最大，故A错误；B、t2时刻小球受到的弹力最大，处于最低点，合力向上，故加速度向上，故B错误；C、t3至ijt4时刻，小球做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动的对称性可以求出小球自由下落的高度，故C正确;D、小球运动的整个过程中球与弹簧系统机械能守恒，故D错误；故选C.【