山东龙口兰高镇兰高学校鲁教版2018中考数学专题复习中点问题专项指导

1、鲁教版2018中考数学专题复习中点问题专项指导几何证明题中，经常会出现中点的条件，而与中点有关的性质定理包括：三角形的中线、三角形的中位线、等腰三角形三线合一、直角三角形斜边的中线。掌握这些性质定理的特征，结合已知条件选择适当的辅助线，有助于我们打开思路。1 .三角形的中线技巧：作倍长中线，得全等三角形。例AD为4ABC的中线，求证：AB+AC2AD6TFD2 .中位线定理技巧：直接找线段的中点，连接中点，得线段之间的数量及位置关系。例在ABC中，/B=2/C,AD是三角形ABC的高，点M是边BC的中点，求证:1-DM=ABo2B3 .三线合一技巧：当一条线段是高线、中线、角平分线中的任意两条

2、时，构造三角形，得等腰三角形。例在三角形ABC中，AD是ABC的角平分线，BDLAD,点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=10,则DE的长为。4 .直角三角形斜边的中线技巧：连接直角顶点和斜边中点，得线段的数量关系及角的等量关系。例在ABC中，AB=AC,BD平分角ABC,过点D作DE垂直于BD交BC于点E,求证：CD=BEo2例题如图，在四边形ABCD中，对角线ACBD相交于O且AC=BD,M、N分别为AD、BC的中点，连接MN交ACBD于点EF。求证：OE=OF。解析：取AB的中点G,连接MG、NG,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的1 1.一一半可得MG/BD

3、,MG=-BD,NG/AC,NG=AC,然后求出MG=NG,根据等边对等角2 2可得/GMN=ZGNM,再根据两直线平行，内错角相等可得/GMN=ZOFE,/GNM=ZOEF,从而得到/OEF=/OFE,再根据等角对等边即可得证。答案：如图，取AB的中点G,连接MG、NG,M、N分别为AD、BC的中点,八1-NG=AC21一 .MG/BD,MG=BD,NG/AC,2/GMN=/OFE,/GNM=/OEF,又AC=BD,MG=NG, ./GMN=/GNM, ./OEF=/OFE,OE=OF。平行线的性质，等角点拨：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,对等边的性质，作出辅助线

4、并利用好条件AC=BD”是解题的关键。在复杂的几何图形中，遇到中点条件，就要联想与中点有关的性质定理，结合已知和求证，尝试作出辅助线，构造新的图形，寻找解题思路。例题如图所示，四边形ABCD为正方形，4BEF为等腰直角三角形(/BFE=90,点B、E、F按逆时针顺序)，P为DE的中点，连接PC、PF。(1)如图(1),E点在边BC上，则线段PC、PF的数量关系为,位置关系为。(2)如图(2),将BEF绕B点顺时针旋转a(0Va45),则线段PC、PF有何数量关系和位置关系？请写出你的结论并证明。图(1)E图解析：（1）由/BFE=90,点P为DE的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

5、得至UPF=PD=PE,PC=PD=PE,贝UPC=PF,又/FPE=2/FDP,/CPE=2/PDC,得至U/FPC=2/FDC=90,所以PC=PF,PCXPFoDE(2)延长FP至G使PG=PF,连DG,GC,FC,延长EF交BD于N,易得PDGAPEF,得DG=EF=BF,得/PEF=/PDG,EN/DG,可得/FBC=/GDC,证得BFCDGC,则FC=CG,/BCF=/DCG。得/FCG=/BCD=90。即有PCPF,PF=PC。解答：(1)连接DF,BFE为等腰直角三角形，且E在BC上,.B,F,D在同一直线上,/BFE=90,点P为DE的中点PF=PD=PE,同理可得PC=PD=PE,PC=PF,又./FPE=2/FDP,/CPE=2/PDC, ./FPC=2ZFDC=90,所以PC=PF,PCXPFo(2)PCXPF,PF=PC。理由如下:延长丁点P为DE的中点,34FP至G使PG=PF,连DG,GC,FC,延长EF交BD于N,如图,PDGAPEF,DG=EF=BFoEN/DG, ./BNE=ZBDG=45+/CDG=90-ZNBF=90-(45/FBC) ./FBC=ZGDC, .BFCADGC,FC=CG,/BCF=ZDCGo ./FCG=ZBCD=90 .FCG