抛物线及其性质知识点大全新

1、精品文档-可编辑抛物线及其性质2.抛物线四种标准方程的几何性质:图形7参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.开口方向右左上下标准方程2一，一、y2px(p0)y22px(p0)2一，一、X2py(p0)2一，一、X2py(p0)焦点位置X正X负丫正Y负焦点坐标(*0)2(上0)2(0号2(0,卫)2准线方程xE2px2py2py彩范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴X轴X轴Y轴Y轴顶点坐标(0,0)离心率e1通径2p焦半径A(x,y)AFx(2AFx2AFy，与AFy11焦点弦长AB|(xix2)p(Xix2)p(y1y2)p(y1V2)p焦点弦长AB的补充

2、A(Xi，yi)B(X2,y2)以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，1ABi乌-sin2若AB的倾斜角为，则AB2P2cos2p2XiX2y1y2p411AFBFAB2AFBFAF?BFAF?BFp3 .抛物线y22px(p0)的几何性质：(1)范围：因为p>0,由方程可知x>0,所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！1精品文档-可编辑(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.(3)顶点(0,0),离心率：e1,焦点F(旦0),准线x卫，焦准距p.22(4)焦点弦：抛物线

3、y22px(p0)的焦点弦AB,A(xy),B®,y?),则|AB|x1x2p.弦长|AB|=xi+x2+p,当xi=x2时，通径最短为2p。4 .焦点弦的相关性质：焦点弦AB,A(xi，yi),BMr),焦点F(E,0)2(1)若AB是抛物线y22Pxp0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(x),yi),B(x2,yz),则：2p-2xx2一,yy2p。4(2)若AB是抛物线y22Pxp0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a,则AB2Psin2(a*0)0(3)已知直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F11AFBFAB2,AFBFAF?BFAF?BFp(4)焦点弦中通径最短长为2p。

4、通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5 .弦长公式：A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点，则6 .直线与抛物线的位置关系直线/:“依+5,抛物线。“三2四，y二玄+8 L,消y得：1八乂她一加(1)当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2)当k才0时， >0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!精品文档-可编辑 =0,直线l与抛物线相切，一个切点; V0,直线l与抛物线相离，无公共点。(3

5、)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：ykxb抛物线=2尹，(p0)联立方程法：设交点坐标为A(xi,yi),B(x2,y2),则有0,以及x1x2,xx2,还可进一步求出22y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b,y1y2(kx1b)(kx2b)kx1x2kb(x1x2)b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长或abJiJ|yiy2.1±J(yiy2)24yiy2Ji卜2百b.中点M(x0,y°),x0J2,y0正当22点差法：设交点坐标为A(x1，y1

6、)，B(x2,y2),代入抛物线方程，得将两式相减，可得a.在涉及斜率问题时，kAB-yiy2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0),%丫22P2Ppxix2yiy22y°v。放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!精品文档-可编辑同理，对于抛物线x22py(p0),若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(X0,y°)是弦AB的中点，则有kABXiX22x0X02p2pp(注重能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不等于零)【经典例题】(1)抛物线一一二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：

7、到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1】P为抛物线y22Px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴()A.相交确定B.相切C.相离D.位置由P【解析】如图，抛物线的焦点为F卫,0，准2l:x：.作PH,l于H,交y轴于Q那么PFPH:且QH|OF|:作MN,y轴于N则MN是梯形PQOF的，、八1中位线，MNOFPQ2放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!1一PH1PF.故以2精品文档-可编辑PF为直径的圆与y轴相切，选B.【评注】相似的问题对

8、于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的.【例2】过抛物线yk2xP2Px.化简得：k2x22Pxp0的焦点F作直线交抛物线于Ax,%,Bx2,y2两点，求证:(1) ABX1X2P(2)1AF1BF【证明】（1）如图设抛物线的准线为1,作AA1A,BBi1于Bi,则AFAAiBFBB1X2会两式相加即得:(2)当AB±x轴时,AFBFP,1AF1BF2成立;p当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程:k22x2匕k24二方程（1）之

9、二根为Xi,X2,k2X27X1X2XiX2PP2p.42X1X2X1X2P放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!精品文档-可编辑故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有''2成立.|AF|BF|p（3）切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例3】证明：过抛物线y22Px上一点Mw）的切线方程是：wy=p（x+*）【证明】对方程y22Px两边取导数：2yy2p,y2.切线的斜率ykyx,p.由点斜式方程：yy0xxoy0ypxpx°y；1y（）y。；y；2px。,代入（1即得：yoy=p（x+x。

10、）（4）定点与定值一一抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x2。相切，则此动圆必过定点（）显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B2 .抛物线y22Px的通径长为2p；3 .设抛物线y22Px过焦点的弦两端分别为Axi,yi,Bx2,y2，那么：yy2p2以下再举一例【例4】设抛物线y22Px的焦点弦AB在其准线上的射影是AB,证明：以AiBi为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么AB=AB=2p,而ABi与AB的距离为p,

11、可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!精品文档-可编辑焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为Ax,y-Bx2,y2,那么：VW2p2CAi|CBi|yiy2|p2.设抛物线的准线交x轴于C,那么CF|p.，2AFBCFCACB1.故AFB190.这就说明：以ABi为直径的圆必过该抛物线的焦点.通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线y=-x2+3上存在关于直

12、线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于（）A.3B,4C.32D.42【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.【解析】:点A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为：yxm.,yxm2由y2x2xm301yx23设方程（1）之两根为x1，x2,则x,x21.设阳的中点为Mx0,y0）,则x0V1111一.代入x+y=0：y0=.故有M-,2222从而myx1.直线AB的方程为：yx1.方程（1）成为：x2x20.解得:放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!精品文档-可编辑x2,1,从而y1,2,故得：A(-2,-1),B(1

13、,2).（2）几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线y24x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为阴的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK±l足为K,则AAKF的面积（A.4B. 33C. 4.3D.8【解析】如图直线AF的斜率为73时/AFX=60°.AFK为正三角形.设准线l交x轴于M,则FMp2,且/KFM=60°,kKF4,SAKF42

14、473.选C.【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的面积用公式S4a2计算.再计算正三角形的（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，,边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很又t.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!精品文档-可编辑22Ci：)41(a0,b0)的左准线为l,左焦点和右焦点分别为E和F2;抛物ab线C2的线为l,焦点为F2；Ci与C2的一个交点为M,则区等于()MFiMF2A.1B.1C.1D,二22

15、【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的预备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e,作MHl于H,令MFjr1,|MF2r2.丁点M在抛物线上,|MFi|MF1rMHMF22,故11乜e,|MH|MF2|r2这就是说：|MF1|的实质是离心率e.IMF2I其次，3与离心率e有什么关系？注重到:|MF1|F1F22ce2ae口2,1/e1-e1.MF|r1rle这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于叵印皿丑e1e1.选|MF1|MF2|A.(4)三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手

16、段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的.放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷!精品文档-可编辑因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】(09.重庆文科.21题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线y28x的焦点F,且与抛物线交于两点。M(I)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(II)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点F(2,0),准线l(II)直线AB:ytanx21.2设方程(2)之二根为y%

17、V2,则y1yiy28tan16设AB中点为Mxo,y。，则V。x。yi2coty2y。4/14cottan24cot22AB的垂直平分线方程4cotcotx24cot令y=0,贝Ux4cot26,有P4cot26,0故FPOPOF24cot2624cot2124cos于是|FP|-1FP|cos2a=4csc21cos24csc22sin28,故为定值.x上代入(1),整理得：y2tan8y16tan8(5)消去法一一合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.10放弃很简单，但你坚持到

18、底的样子一定很酷!精品文档-可编辑【例9】是否存在同时满足下列两条件的直线l:(1)l与抛物线y28x有两个不同的交点A和B;(2)线段AB被直线li：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程.【解析】假定在抛物线y28x上存在这样的两点Ax1,y1,Bx2,y2则有：二线段AB被直线li：x+5y-5=0垂直平分，且凡，Kab5,即一8一55yiy28yiy25设线段AB的中点为Mx0,y0,则y0$y24.代入x+5y-5=0得x=i.于是：25AB中点为M1,4.故存在符合题设条件的直线，其方程为：5(6)探索法一一奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想一一证明一一再猜想一一再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】(10.安徽卷.14题)如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段CA的n等分