抛物线与圆综合探究题含答案

1、(3)设M(x1，y)、N(x2,y),所求圆的半径为r,则x2x12r,.(1);对称轴为x1,x2x12.(2)由(1)、(2)得：x2r1.(3)将N(r1,y)代入解析式y2x22x3,得(r1)22(r1)3,.(4)整理得：yr=±y,当y0时,解得,r1.17-21.17212'17(舍去)，当y0时，r2r4.172人，一，一1(舍去).所以圆的半径是一.17.1.17或专题：抛物线与圆综合探究题2例1、抛物线yaxbxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x1,2B(3,0),C(0,3),求二次函数yaxbxc的解析式；在抛物线对称轴上是

2、否存在一点P,使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径.解：(1)将C(0,3)代入yax2bxc,得c3.将c3,B(3,0)代入yax2bxc,b9a3bc0.x1是对称轴，.1.将(2)代入(1)得2a2一一a1,b2.二次函数得解析式是yx2x3.(2)AC与对称轴的交点P即为到BC的距离之差最大的点.二C点的坐标为(0,3),A点的坐标为(1,0),直线AC的解析式是y3x3,又对称轴为x1,，点P的坐标(1,6).圉1例2、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次

3、函数y=kx-4k的图象与x轴交于x22x或y1x22x22/4/POA/OBA603过点P作P已x轴于点EtanZPOE丫tan60xy3xEPOE由y3x解得：2xx1y142春x264.3,V2（舍去）:点P的坐标为42.3,64312当点P在抛物线yx22x上时（如图3）2同理可得，yJ3x由y3x【解得:12y-x2x2x142.3x20人,1一（舍去）y164.3V20:点P的坐标为42，3,6点综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为42百,64向或42V3,64春点A,抛物线yax2bxc经过OA两点。试用含a的代数式表示b；设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分

4、为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在。D内，它所在的圆恰与OD相切，求。D半径的长及抛物线的解析式；设点B是满足中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得/POA4/OBA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请3说明理由。（1）解法一：:一次函数ykx4k的图象与x轴交于点A:点A的坐标为（4,0），.,抛物线yax2bxc经过。a两点c0,16a4b0b4a解法二：:一次函数ykx4k的图象与x轴交于点a：点a的b坐标为（4,0）丁抛物线yax2bxc经过QA两点：抛物线的对称轴为直线x2x22a（2）解：由抛物线的对称性可知，D6DA点O

5、在OD±,且/DO"/DAO又由（1）知抛物线的解析式为2人.一Cyax4ax：点d的坐标为（2,4a）当a0时，如图1,设。d被x轴分得的劣弧为OmA,匕沿x轴翻折后所得劣弧为OnA,显然OnA所在的圆与。D关于x轴对称，设它的圆心为D'D,与点D也关于x轴对称点O在OD'±,且OMCDD'相切：点O为切点：D'OXOD：/DOA=/D'OA=45°4a2ADg等腰直角三角形OD2应：点口的纵坐标为21a,b4a221o抛物线的解析式为y-x22x当a0时，同理可得：OD2J22线的解析式为y1x22x综上，QD

6、半径的长为2氏,抛物线的解析式为y24设点P的坐标为（x,y）,且y>0（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得/POA4/OBA312当点P在抛物线y-x2x上时（如图2）,点B是。D的优弧上的一点2例3、如图，在直角坐标系中，OC过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,2/3)。求圆心的坐标；抛物线y=ax2+bx+c过OA两点，且顶点在正比例函数Vfx的图象上'求抛物线的解析式；过圆心。作平行于x轴的直线DE交OC于D>E两点，试判断D、E两点是否在中的抛物线上；若中的抛物线上存在点P(X0,y0),满足/APB为钝角，求X0的取值范围。解：(1

7、)OC经过原点O,，AB为。C的直径。，C为AB的中点。过点C作CH直x轴于点H,则有Ck1oB=J3,O+10上1。圆心C的坐标为(1,J3)。22(2)二,抛物线过QA两点，抛物线的对称轴为x=1。二,抛物线的顶点在直线y=-y-x±,顶点坐标为(1,，)把这三点的坐标代入抛物线抛物线y=ax2+bx+c,得，口a一北-，c0解得T，抛物线的解析式为4a2bc0b23abc2c0下3,322、,3yxx。33(3).。上2,0B=273,ABq2(2V3)24.即。C的半3223径r=2。D(3,J3),E(1,J3)代入yx2x检验，知点DE均在抛物线上(4)33AB为直径，当

8、抛物线上的点P在OC的内部时，满足/APB为钝角。一IvxoVO,或2vx0<3。例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点Co求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D,试证明四边形CDAN>平行四边形；点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)由抛物线的顶点是M(1,4),设解析式为y=a(x12+4(a<0)

9、又抛物线经过点N(2,3),所以3=a(2-12+4解得a=1所以所求抛物线的解析式为y=-(x-)2+4=-x2+2x+3.令y=2o,信一x+2x+3=0,解得：x1=1,x2=3.得A(1,0)B(3,0)；令x=0,得y=3,所以C(0,3).t=3(2)直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k=1,t=3直线解析式为y=x+3.令y=0,k+t=4得x=-3,故D(3,0)CD=3J2连接AN,过N做x轴的垂线，垂足为F.设过A、N两点的直线m+n=0的解析式为y=mx+n,则解得m=1,n=1所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1所2m+n=3以DC/AN.在RtAANF中，A

10、N=3,NF=3,所以AN=372所以DC=AM因此四边形CDAN>平行四边形.(3)假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P(1,222u)其中u>0,则PA是圆的半径且PA=u+2过P做直线CD的垂线，垂足为Q,则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。由第(2)小题易得：AMDE为等腰直角三角形，故PQM也是等腰直角三角形，由P(1,u)得PE=u,PM=|4-u|PM|4-u|由pq2=pa2得方程:2(4u)21c2曰=u+2,解得2m与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，/ACB=90°,u=-42J6,舍去负值

11、u=-4-2J6,符合题意的u=4+2J6,所以，满足题意的点P存在，其坐标为(1,4+276)，一，_.，一12例5、已知：如图，抛物线y-x23求m的值及抛物线顶点坐标；过A、B、C的三点的。M交y轴于另一点D,连结DM并延长交。M于点E,过E点的。M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式；在条件下，设P为而上的动点(P不与C、D重合)，连结PA交y轴于点H,问是否存在一个常数k,始终满足AHAP=k,如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.解：由抛物线可知，点C的坐标为（0,m）,且m<0.设A(xi,0),B(X2,0).则有xiX2=3m又OC是ABC的

12、斜边上的高,OA.AO6COB.OCOCOb1,即xiX2=m2m2=3m解彳导m=0或01=3而01<0,故只能取m=mx2122312-3这时，y-x2-x3-(x4故抛物线的顶点坐标为(J3,4)333解法一：由已知可得：M(J3,0),A(<3,0),B(373,0),C(0,3),D(0,3):抛物线的对称轴是x=<3，也是。M的对称轴，连结CE:DE是。M的直径，DC290°,.,.直线x=J3,垂直平分CE，E点的坐标为(2j3,3)OA9M,/AOC=/DOM=90°,./ACO=OCOD3/MDO=30°,AC/DE.ACLCB

13、,CB±DE又FGLDE,.FG/CB由B(3通，0)、C(0,3)FG的解析式为y=*3x+n,3两点的坐标易求直线CB的解析式为：y=、3x3可设直线i3x-5333）代入求得n=5故直线FG的解析式为y=122.3斛法一：令y=0,斛-xx3=0得x1=-73,x2=3<3,即A(43,0),B(33,330)根据圆的对称性，易知：OM半径为2后,M(V3,0)在RtBOC中，ZBOC=90°,OB=373,OC=3.,.ZCBO=30°,同理，/OD璃30°。而/BME=/DM。/DOM=90°,.DE!BCDELFG,.BC/F

14、G.-./EFM=ZCBO=30°在RtEFM中，ZMEF=90°,ME=2<3,/FE阵30°,.MF=4<3,.OF3.=OMFMF=5t'3,.F点的坐标为(5<3,0)在RtOFG中，OG=OF-tan30=5j3x=5，G点3一.3的坐标为(0,5).直线FG的解析式为y=x-5(解法二的评分标准参照解法一酌定)3解法一：存在常数k=12,满足AH-A已12连结CP由垂径定理可知ADAC,，/P=/ACHAC(J3)(或利用/P=/ABC=/ACO又CAH=/PAC.ACHTAPC处即AC2=AH-AP在RtAOC中，AC2=a

15、O+oC=AC2+32=12(或利用AC=AOAB=<3X4V3=12,AH-AP=12解法二：存在常数k=12,满足AH-AP12设A+x,APy由相交弦定理得HD-HC=AH-HP即(3Jx23)(3&3)x(yx)化简彳导:xy=12即AH-AP12例6、抛物线yax2bxc(a0)交x轴于点a(-1,0)、b(3,0),交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的。M恰好过点C.(1)求顶点D的坐标(用a的代数式表示)；(2)求抛物线的解析式；(3)抛物线上是否存在点P使PBD为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)(方法一)由题意：设抛物线的解析式

16、为ya(x1)(x3)一22.一yax2ax3aa(x1)4a.点C(0,3a),D(1,-4a)2a3a.y_2ax2ax3a(下同方法一)DECE1a(2)(方法一)过点D作D已y轴于点E,易证DESCOB'.OCOB3a3a21abc0(方法二)由题意：9a3bC0,解得2Ov。a0.a1故抛物线的解析式为：yx2x3H,交y轴于另(方法二)过点D作D已y轴于点E,过M作MGLy轴于点G,设OM交x轴于另一点点F,可先证四边形OHD助矩形，则OH=DE=1,再证OF=CE=a,由OH-OB=OF-OC导:(a)(3a)131(下同法一)(3)符合条件的点P存在，共3个若/BPD=

17、90°,P点与C点重合，则P1(0,3)(P1表示第一个P点，下同)若/DBP=90°,过点P2作P2RLx轴于点2R,设点P2(P，P2p3)由BP2MDBH得,BRP2Rdh-而"，即P22P32,解得39cP2(一，一)3(舍去)故24若/的延长线交y轴于点N,可证AEDNs匕HDB【<EDN=<HDBW个边相互垂直的角相等或者互补】BDP=90°,设DP31,求得EN=2,7yN(0,2)求得DN的解析式为(7条件的点P为(0,3)、24、2求抛物线与直线DN的交点得P3(2,4),综上所述：符合115J24)例7、已知抛物线y=ax

18、2+bx+c(aw0)与x轴交于不同的两点A和B(4,0),与y轴交于点C(0,8),其对称轴为x=1.求此抛物线的解析式;过A、B、C三点作。O'与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直(垂足为E)的直线OE的方程；设。O'与抛物线的另一个交点为P,直线OE与直线BC的交点为Q,直线x=m与抛物线的交点为R,直线x=m与直线OE的交点为S。是否存在整数m,使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。1,2aa1解：由已知，有a42b4c0,解得b2:抛物线c8.c8.的解析式是y=-x2+2x+8.(2)令y=0,得

19、方程-x2+2x+8=0,解得xi=-2,X2=4.，点A的坐标为(-2,0).在OO'中，由相交弦定理，得OA|OB|=|OC|OD|,即2X4=8X|OD|,|OD|=1.,点D在y轴的负半轴上，.,点D的坐标为(0,-1).在RtAAOD中，:|OA|=2,|OD|=1,OHAD,由勾股定理，有AD=%，2F=5又:1|OA|-|OD|=1|AD|OE|,/.|OE|=25.v|OA|2=|AE|AD|,即22=75|AE|,225IA曰-45一|ae|=一5.同理，由|OD|2=|DE|-|AD|,彳#|DE|=.设点E(x,y)，且x<0,y<0.在RtAAOE中

20、，1|AE|-|OE|=l|y|-|OA|,522|y|=y=-.在RtADOE中，1|DE|-|OE|=1|x|OD|,|x|=2,.x=-2.,点E的坐标是(,5522555-4).设直线OE的方程为y=kx(kw0).直线OE经过点E(-2,-4),-&=-2k,K=2.直线OE的55555方程为y=2x.(3)在OO'中，:又t称轴x=1垂直平分弦AB,.由垂径定理的推论知直线x=1经过圆心O'.C(0,8)，:由对称当得点P的坐标为(2,8).设直线BC的方程为y=kx+b(kw0).则有4kb°解得b8.k2直线BC的万程为y=-2x+8.联立万程

21、组y2xK/nx2y解得y-2x8,y4.，点Q的坐标为(2,4).点P(2,8),点Q(2,4),PQ/RS.设点R的坐标为(m,-m2+2m+8),点S的坐标的(m,2m).要使四边形PQR助平行四边形，已知PQ/RS,尚需条件|RS|=|PQ|.由|(-m2+2m+8)-2m|=|8-4|=4,彳#|-m2+8|=4,解得m=±2,或m=±2<13.而m=2,士2<3不合题意，应舍去存在整数m=-2,使得以P、。R、S为顶点的四边b8.形为平行四边形例8、如图3已知抛物线yax2bxC,经过点A(0,5)和点B(3,2)(1)求抛物线的解析式：03(2)现

22、有一半径为I,圆心P在抛物线上运动白动圆，问。P在运动过程中，是否存在。P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标：若不存在，请说明理由;(3)若。Q的半径为r,点Q在抛物线上、OQ与两坐轴都相切时求半径r的值解析(1)由题意，得；b=-4c=5c5c5解得3bc92抛物线的解析式为yx24x5(2)当。P在运动过程中，存在。P与坐标轴相切的情况.设点P坐标为(X。,y0),则则当。P与y轴相切时，有|xo|=i,xo=小由X。1,得yo1241510P(1,10),由x。1,得yo124152,(1,2).当。P与x轴相切时有1yo|1抛物线开口向上，且顶点在x轴的上方.yo12由yo

23、1,得xo4xo51,解得yo=2,B(2,1)综上所述，符合要求的圆心P有三个，其坐标分别为：国1,1o),P2(1,2)，巳(2,1)设点Q坐标为(x,y),则当。Q与两条坐标轴都相切时，有y=x22.5,5由y=x得x4x5x,即x5x5o,解得x22 2_、一.由yx,得x4x5x,即x3x5o,此方程无解5'5OO的半径为r2例9、已知：如图，抛物线yx2xV3的图象与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于C点,3 3eM经过原点O及点AC,点D是劣弧OA上一动点(D点与A,O不重合).(1)求抛物线的顶点E的坐标；(2)求eM的面积；D运动到何处时，直线GA与eM(3)连CD交

24、AO于点F,延长CD至G,使FG2,试探究当点相切，并请说明理由.解(1)抛物线yx232.3x3、,32x,33EDGOB、334_33l,一4.3E的坐标为1,-3(说明：用公式求E点的坐标亦可).(2)连AC;QeM过A,O,C,/AOC90oAC为eO的直径.而OA3,OC3SeMr23(3)当点D运动到Oa的中点时，直线GA与eM相切理由：在RtACO中，OA3,OC用一，一一3Qtan/ACO/ACO600,/CAO30oq点d是Oa的中点AdDoo30OFOCgtan30°在AGAF中，AF2,FG2/AFG/CFO60oAGF为等边三角形/GAF60o/CAG/GAF

25、/CAO90o又AC为直径，当D为Oa的中点时，GA为eM的切线例10、如图，在平面直角坐标系中，已知点B(2-42,0),A(m,0)(五m0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点，连结BE与AD相交于点F.(1)求证：BFDO;(2)设直线l是ABDO的边BO的垂直平分线，且与BE相交于点G.若G是ABDO的外心，试求经过B,F,O三点的抛物线的解析表达式；(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线BE的对称点在x轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)在4ABF和AADO中，Q

26、四边形ABCD是正方形，ABAD,/BAFZDAO90°.又Q/ABF/ADO,ABFADO,BFDO.(2)由(1),有AABFwADO,QAOAFm.点Fm,mQG是BDO的外心，点G在DO的垂直平分线上.点B也在DO的垂直平分线上.DBO为等腰三角形，BOBDJ2AB.而BO2&AB272m272m,2桓拒2夜m,m22无.设经过B,F,O三点的抛物线的解析表达式为yax2bxca0F22亚2221a一,解得2b2.抛物线的解析表达式为(3)假定在抛物线上存在一点12-x2P,使点P关于直线BE的对称点P在x轴上.Q抛物线过点O0,0,c0.yax2bx.把点B2拒0，

27、点F2272,22V2的坐标代入中，得02x22a2.2b,22222.22a22,2b.2、.5ab0,22.2ab1.QBE是/OBD的平分线,x轴上的点P关于直线BE的对称点P必在直线BD上,即点P是抛物线与直线BD的交点.设直线BD的解析表达式为ykxb,并设直线BD与y轴交于点Q,则由BOQ是等腰直角三角形.OQOB.Q0,2拒.把点B2处0，点Q0,272代入ykxb中，得02、,2kb,k1,2、.2b.b2、.2.直线BD的解析表达式为yx2金.设点PXo,yo,则有v。X2金.把代入，得1x0拒X。xo2亚,21x2版1X。2屈0,即x22721x04720.2x02&

28、;x020.解得x02二或x02.当x02应时，yx02夜2夜2720;当x02时，y°x2近2272.在抛物线上存在点P2近,0,F22,22亚,它们关于直线BE的对称点都在x轴上.例11、若抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，以OA、OB为直径分别作。01、002。(1)试证：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；(2)当两圆相等时，求m的值；(3)如果两圆外切，求m的范围；(4)点B能否在原点的左侧？请说明理由；(5)两圆内切时，求m的范围；(6)若两圆内切时，当M点的坐标为(1,0),试证：OA<OM<OB;(7)如果两圆

29、外切，且。Oi、。2的周长之比为2:1,求m的值；(8)若两圆面积之和为7冗，求m的值；(9)若两圆外切时，外公切线长为3,求m之值。分析若设y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交于A(xi,0)、B(x2,0),显然xi<x2。(1)因为抛物线y=x2-(m+3)x+m+1与x轴交点的横坐标，即为所对应的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0的两根。所以，要证明抛物线与x轴总有两个交点，就是要证明方程x2-(m+3)x+m+1=0的根的判别式>0=-(m+3)2-4(m+1)=m2+2m+52=(m+1)+4>0显然，问题可证。(2)由(1)可知，点A、点B是两个不同的点，若两圆相等，则