扬州大学线性代数练习册A卷详解

1、第四章矩阵相似对比角（A卷）,填空题（36,=,18，）1,已知1是矩阵A的特征值，则B=22A+3E有一个特征值为解答:B(A2-2A+3E)=A2-2A+3E=(223).B的特征值是（223).B有12-2322,设B=P1AP,如果A=0则B的关于0的特征向量为BPBPBPBPAPBP1B的关于010P100特征向量为13,矩阵A=()T与B=00相似，则x=解：B的特征值为1,1,-1,当X=1时1E-B=0000-1r(A)=1<3自由未知量得个数为二，取Xi,X2为未知量10令XlX210-，则1=0,2=10100当X=-1时-E-B1002010=00010001002

2、0-01000000自由未知量的个数为1,取X3为未知量0.1令X3=，则1=0,0102=0(舍)0100所以可逆矩阵U=010001.A与B相似U-1BU=A1001001001001000100100010=0110010001001000=001=001101001X则X=04,设三阶方阵A的三个特征值为1,-2,-3,为A的伴随矩阵,三阶方阵A的三个特征值1,-2,-31(2)(3)6又*为A的伴随矩阵又为三阶方阵262365,设A2=A,则A的特征值可能为A2AAA-E0A0或AE1 A0时E-AE002 AE时E-A-1E0-101特征值可能为0和16,已知向量(0,1,1)T,

3、则与正交的全体向量=解：，T0,1 0k10k21，(k1，k2为任意实数)01二，单项选择题(36=18)1 .不属于矩阵的特征向量是A(0,0)TB(1,1)TC(1,0)TD(0,1)T解：特征向量不可以为0向量，选A2 ,12都是n阶矩阵A的特征值，12,且1与2分别是对应于1与2的特征向量，当时，X=k1X1k2X2必是A的特征向量A,k1k20B,k10且卜20C,k1k20D,k10而k20解：因为特征向量不能为0向量，所以排除A和C,而当k20,ki0时，表示1全体特征向量中的一个，即选D3,设是矩阵A对应特征值的特征向量，则A.A0寸0B.A=O时=0C.与线性相关D.与线性

4、无关解析：(C)A(1)A(-)0故存在ki1,k21使得kiAk20A与线性相关4,设A是n阶矩阵，C是n阶矩阵，且B=CTAC,则下列结论不成立的是A,A与B相似B,A与B等阶C,A与B有相同的D,A与B有相同的特征向量设A是n阶矩阵，C是n阶矩阵，且B=ctac,则下列结论不成立的是DA,A与B相似B,A与B等阶C,A与B有相同的D,A与B有相同的特征向量5,设A为3阶矩阵，且已知32E=0则A必有一特征值为a，2b,-f。，3d,解:Q3A+2E=0-3A-2E=0特征值概念lE-A=0i=-236,若二阶矩阵A相似于矩阵B=°3,E为2阶单位矩阵,则与矩阵E-A相似的矩阵是

5、A14B，1104C,若二阶矩阵A相似于矩阵B=3'E为二阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是(C)A.10B.14C.Q若A相似于BE-A相似于E-B即E-B=00三,计算(58=40)11,的特征值,已知=1是矩阵A=11解:1为矩阵A的特征值2111(1)a0(1)112a2a20a11222设方阵A=010001(1)求A的特征值与特这鞘向量(2)求可逆矩阵P使P1AP为对角矩阵解:(1)(1)(1)22,31时,r(EA)2有1个自由未知量，取X1为自由未知量1同解方程组为X人XX1X3X2令X0X1令X11得基础解系为10X30X10特征向量全体解为Xk11(k10)22

6、2111当2,31时，EA000000000000r(EA)13有2个自有未知量，取X2/3为自由未知量同解方程组为00得基础解系为特征向量全体解为k339k320)2B=0023设A等于00(1)求x,y(2)求P使P1AP=B解：(1)A-BAtr(A)Btr(B)2Y101,B1B为对角形矩阵要使P1AP即p为A特征向量构成的可逆矩阵2)(2,21)(1,1)112时,2EAr(2EA)23有1个自由未知量，取X1为自由未知量同解方程组为X0X0X1令X1得基础解系为当21时，EAr(EA)23有1个自由未知量，取X3为自由未知量同解方程组为X2蓝令X31得基础解系为300当31时，1E

7、A011011r(EA)23有1个自由未知量，取X3为自由未知量同解方程组为£0X：令X31得基础解系为3100P123011011a4,已知A=bc2012的三个特征值为4,1,-2求a,b,c20解.tr(A)a1041(2)3.a2即4c88c0EA0将1代入即42b0b211的逆矩阵A12的特征215,已知向量=(1,R,1)T是矩阵A=12向量，试求常数取的值0-1-310-200-411-3AE12101-1-101-101-10010101001000100010-1113一444131-444311-44444419-444113-444-1

8、49k41k4-1)解:T,(1,-1,0)T,(1,0,1)1试求矩阵A6,已知三阶矩阵A的特征值为2,1,-1,对应的特征向量为（1,0,a11a12a13由题意设=a21a22a23a31a32a33由知11ana132020即a21a23011a31a33211a11a12111即a21a22100a31a32011a11a13100即a21a23011a31a3311a11一21a122ana132a133a21a2302a210a31a332a221a11a121a230a21a2213a31a31a32023a11a131a329a21a23021a33a31a331211322

9、20103312221017,已知实对称矩阵A=020101(1)找一正角矩阵Q使Q1AQ=(2)求A1000解：(1)EA00(-2)200(-1)2(-2)-(-2)(2-2)(-2)10232当10时1A01r(A)23取一个自由未知量X3同解方程组x1x3x20x3X3令11101101当232时2EA000101r2EA13取两个自由未知量X2,X3同解方程组X10X2X310X301令01213001X2代数的重数等于几何的维数可对角化1一1120121,201212012000有Q1AQ02000210120202004010120210140402008010140429029

10、1的特8,设三阶实对称矩阵A的特征值为11,23=1,对应取征向量1=(0,1,1)T,求AXi解：设对应231的特征向量为X2X3XiX2X312X2X30艮口X20X1X3令X1X301012012令矩阵P1231011201c1110101022AP1P110111001101101-22四，证明题(2725=24)1,试证(1)若是正交矩阵A的特征值，则工也是A的特征值(3)正交矩阵如果有实特征值，则该特征值是1或-1证明:(1)是正交矩阵的特征值是的特征值，1是-1的特征值又是正交矩阵-11是的特征值1也是的特征值(2)由(1)证明课可得：J都是正交矩阵的特征值1即1正交矩阵的实特征值为1或-1.2、若A可逆，证明AB与BA相似可逆矩阵a使得阿a1(ab)a=Eba=baab与ba相似3、设交该n阶方阵A的第i,j行，同时交第i,j列得矩阵B,证明A与B相似解:设U是单位矩阵交换了i,j行的矩阵也是单位矩阵交换了i,j列的矩阵U左乘A得交换A的第i,j行的矩阵U右乘A得交换A的第i,j列的矩阵初等变换单位矩阵U=U-1即U左乘A得交换A的第i,j行的矩阵U-1AU得一矩阵即B4、设A为n阶方阵，A的每行元素之和为2,证明A3的每