平行线的证明教学设计

1、第七章平行线的证明7. 1为什么要证明出示目标1 .体会观察、猜测得到的结论不一定正确.2 .初步了解数学中推理的重要性，了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.(重点)预习导学阅读课本P162163的内容，完成预习内容.(一)知识探究实验、观察、归纳得到的结论不一定正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.(二)自学反馈观察右图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？请你先观察，再用直尺验证一下.解：一样大.合作探究活动1小组讨论例1有人认为，对于所有自然数n,代数式n2-n+11的值都是质数.你怎么看待这个结论？同学们

2、试着做一做：(1)当n=0,1,2,3,4,5时，代数式n2n+11的值是质数还是合数？(2)是否说明：对于所有自然数n,代数式n2-n+11的值都是质数呢？与同伴讨论交流.解：(1)当n=0时，n2n+11=11;当n=1时，n2n+11=11;当n=2时，n2n+11=13;当n=3时，n2n+11=17;当n=4时，n2n+11=23;当n=5时，n2-n+11=31.由此可知：当n=0,1,2,3,4,5时，代数式n2n+11的值都是质数.(2)由(1)我们可以得到：当n=0,1,2,3,4,5时，代数式n2-n+11的值都是质数.但当我们继续往后计算，计算到n=11时，n2-n+11

3、=121,此时为合数.所以“对于所有自然数n,代数式n2n+11的值都是质数”这种说法是错误的.例2如图，在ABC中，点D,E分别是ARAC的中点，连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有的ABCTB成立吗？“一1解：通过测量猜想DE/BCDE=BC.通过改变三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证，因而较为相信这个结论的正确性；但毕竟是测量结果，测量难免有误差，因此难以令人信服，还需要寻找更为可信的证明.活动2跟踪训练1.我们知道：2X2=4,2+2=4.试问：对于任意数a与b,是否一定有结论axb=a+b?解：3X2=6,而

4、3+2=5,因为6W5,所以不是任意数a与b,都有结论axb=a+b.3 .已知n是正整数，你能肯定2n+42n一定是30的倍数吗？为什么？解：2n+4-2n=2n(24-1)=15X2n,第1页共15页由n为正整数，得到2n为2的倍数，则15*2”为30的倍数，即2n+42n一定是30的倍数.4 .如图，AB/CD,且AB=CDDFLAC于F,BHAC于E,试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗?请说明理由.解：DF/BEDF=BE.理由：由DF,AC,BEXAC,可知/DFC=ZBEA=90°.故DF/BE.因为AB/CD所以/A=/C.又因为AB=CD所以DCMBA

5、E.所以DF=BE.活动3课堂小结1.体会观察、猜测得到的结论不一定正确.2,初步了解数学中推理的重要性.3.初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.第2页共15页7. 2定义与命题第1课时定义与命题出示目标1 .知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题，能把简单的命题写成“如果那么”的形式，能找到命题的条件和结论.(重点)2 .会判断一个命题的真假，并且知道要判定一个命题是假命题，只需举反例.(重点)预习铮学阅读课本P165166,完成预习内容.(一)知识探究1 .对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.2 .判断一件事情的句子，叫做命

6、题.3 .一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成,条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成：“如果那么”的形式，其中“如果”引出的是条件；“那么”引出的是结论.4 .正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论种例子称为反例.(二)自学反馈1 .下列语句中，属于定义的是(D)A.两点确定一条直线B.平行线的同位角相等C.两点之间线段最短D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离2 .下列命题中，真命题是(D)A.若ab>0,贝Ua>0,b>08 .若ab&

7、lt;0,则a<0,b<0C.若a,b=0,贝Ua=0,且b=0D.若a,b=0,贝Ua=0,或b=03.把下列命题改写成“如果那么”的形式.(1)对顶角相等；(2)同位角相等.解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.(2)如果两个角是同位角，那么这两个角相等.合作探究活动1小组讨论例1说出下列概念的定义：方程；解：含有未知数的等式叫方程.(2)角平分线；解：从角的顶点出发，把这个角分成相等的角的射线，叫作角平分线.(3)一元一次方程；解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的方程叫一元一次方程.例2判断下列语句哪些是命题？哪些不是？(1)画一个角等于已知角；(2)两直

8、线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x-5=0,求x的值.解：(2)(4)是命题；(3)(5)不是命题.例3指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式.(1)两直线平行，同位角相等；解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”(2)垂直于同一直线的两条直线平行；第3页共15页解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.可以改写成“如果两条直线垂直于同一直线，那么这两条直线平行”(3)对顶角相等.解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.可以改写成“如果两个角是对顶

9、角，那么这两个角相等”例4判断下列命题的真假，举出反例.大于锐角的角是钝角；如果一个实数有算术平方根，那么它的算术平方根是整数；如果AC=BC,那么点C是线段AB的中点.解：假命题.的反例：90°的角大于锐角，但不是钝角.的反例：5有算术平方根，但算术平方根不是整数.的反例：如果AC=BC,而点A,B,C三点不在同一直线上，那么点C就不是AB的中点.活动2跟踪训练1 .下列语句中，是命题的是(D)A.在同一平面内的两条直线不平行就相交B.邻补角的角平分线互相垂直C.过直线l外一点P,作直线a/lD.在同一平面内，若a/b,a与c相交，则b与c也相交2 .把下列命题改写成“如果那么”的

10、形式.(1)能被2整除的数必能被4整除；(2)异号两数相加得零.解：(1)如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.(2)如果两个数异号，那么这两个数相加得零.3 .下列命题是真命题吗？若不是，请举出反例.(1)只有锐角才有余角；(2)若x2=4,则x=2;(3)a2+1>1;(4)右|a|=a,则a<0.解：(1)真命题.(2)假命题，如：x=-2.真命题.(4)假命题，如：a=0.活动3课堂小结本课时主要学习了哪些知识与方法？有何收获和感悟？还有哪些疑惑？第4页共15页第2课时定理与证明出示目标1 .理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别.2.理解证明命题的思路、

11、书写的格式，使学生对几何的重要内容之一一一推理论证，有初步的认识，从而培养思维的条理性和逻辑性.（重点）预习导学阅读课本P168170,完成预习内容.（一）知识探究公理：它是公认的真命题，作为证明的出发点和依据.证明：演绎推理的过程称为证明.定理：经过证明的真命题称为定理.公理公认的真命题称为公理.公理是不需推理论证的真命题；公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据.常用的几个公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；三边对应相等的两个三角形全等；全

12、等三角形的对应边相等、对应角相等.其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理.（2）定理有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理.定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理.定理可以作为推理论证其他命题的依据.证明推理的过程叫证明.推理必须做到步步有据，条条有理.（二）自学反馈下列说法正确的是（B）A.真命题都可以作为定理B.公理不需要证明C.定理必须要证明D.证明只能根据定义、公理进行教师点拨掌握真命题、公理、定理之间的联系与区别.合作探究活动1小组讨论例已知，如图，直线AB与直线CD相交于点O,/AOC与/BOD对顶角.求证：/AOG=ZBOD.c

13、证明：.直线AB与直线CD相交于点O,/AO*口/COCO是平角（平角的定义）.丁/AOC/BODO是/AOD勺补角（补角的定义）.丁./AOC-/BOD何角的补角相等）.活动2跟踪训练1 .请你完成定理“等角的补角相等”.解：已知：/1=/2,/3是/1的余角，/4是/2的余角.第5页共15页求证：/3=Z4.证明：.一/3是/1的余角，/4是/2的余角，.Z3=90°-Z1,Z4=90°-Z2.又,一/1=72,3=74.2 .请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”解：已知：ABC中，BC=a,AC=b,AB=c.求证：a+b>c,a+c>b,b+c

14、>a.证明：假设a+bwc,a+cwb,b+cwa,则有a+b+a+c+b+cwa+b+c,整理可得a+b+c<0,显然与已知矛盾，假设不成立，三角形的任意两边之和大于第三边.活动3课堂小结培养思维的条理性和逻辑性.第6页共15页7. 3平行线的判定出示目标1 .会用“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两直线平行”及“同旁内角互补，两直线平行”的正确性.2 .学会用平行线的三个判定定理解决问题.（重点）3 .经历证明的基本步骤，熟悉几何题的正确的书写格式.（难点）预习导学阅读课本P172173,完成预习内容.（一）知识探究1 .归纳：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等

15、，那么这两条直线平行.简述为:内错角相等，两直线平迂2 .阅读课本P172内错角相等，两直线平行的这个定理的证明过程，完成下面的填空：在内错角相等，两直线平行的这个定理的证明过程中关键是用到了：“对顶角相等;同位角相等，两直线平行”这两个知识.3 .归纳：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简述为:同旁内角互补，两直线平行.4 .阅读课本P172"同旁内角互补，两直线平行”定理的证明过程，完成下面的填空：在同旁内角互补，两直线平行的这个定理的证明过程中关键是用到了：“平角的定义;等式的性质;同位鱼相等,两直线平行”这三个知识.（二）自学反馈1 .请运用内错

16、角相等，两直线平行这个定理完成以下证明：已知：如图，/1=/2,且BD平分/ABC.求证：AB/CD.证明：B叶分/ABCABD=/2.-Z1=/2,./ABD=/1.AB/CD.已知：如图，AD是1+ZDB打180°,Z1=65°,2 .请运用同旁内角互补，两直线平行这个定理完成以下证明:证明：方法DB已115°又/2=115°, ./2=ZDBE.BE/CF.方法二：/1+/DBE=180°,/2+/BCE=180°,Z1=65°,/2=115 /DB曰/BCF=180°BE/CF.教师点拨同位角相等、内错角相

17、等、同旁内角互补是判断两直线平行的基本方法.合作探究活动1小组讨论第7页共15页例1工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量/EGBm/GFD勺度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了.请问：/样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断.题中/AB和直线CD（墙的上下边缘）被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”和/GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行.EGB/GFD荫足怎EGB和/GFD是直线,可知只有/EGB解：/

18、EGBm/GFDt目等时，墙壁的上下边缘才会平行.其依据是同位角相等，两直线平行.例2如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD这是根据内错角相等，两直线平行.解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的.例3如图，一个零件ABCDH要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角/ABC=120°,/BCD=60°,这个零件合格吗？合格（填“合格”或“不合格”）.C解析：./ABO/BCD=180°,AB/CD.活动2跟踪训练1 .如图

19、，直线a,b与直线c相交，形成/1,72,，/8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：答案丕唯一，如：/1=/5或/4=/5或/3+/5=180°,使a/b.2 .已知：如图，在ABC中，/B=/C,点D在线段BA的延长线上，射线AE平分/DAC求证：AE/BC.证明：DAC=/B+/C,/B=/C,/DAC=2/B.又AE平分/DAC/DAC=2/DAE.第8页共15页DAE三/B.AE/BC.3.已知：如图，在四边形ABCM,/A=/D,/B=/C,试判断AD与BC的位置关系，并说明理由.解：AD与BC的位置关系是平行.理由：.四边形ABC曲内角和是360°,./A+

20、/B+/C+/D=360°./A=/D,/B=/C,./A+/B=180°.AD/BC.活动3课堂小结学会用平行线的三个判定定理解决问题.第9页共15页7.4平行线的性质出示目标1 .认识平行线的三条性质定理，能熟练运用这三条定理进行几何证明.（重点）2 .进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法.3 .了解判定定理和性质定理在条件和结构上的区别，体会正逆的思维过程.预习导学阅读课本P175177,完成预习内容.（一）知识探究1 .定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简述为:两直线平行，同位角相等.2 .定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简述为:两直

21、线平行，内错角相等.3 .定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简述为:两直线平行，同旁内角互补.4 .定理：平行于同一条直线的两条直线平行.（二）自学反馈1 .某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB/CD/EAB=45°,则/FDC的度数是（B）A.30°B,45°C.60°D.75°2 .如图所示，直线AB,CD相交于点E,DF/AR若/AEG=100°,则/D等于(B)A.70°B,80°C.90°D,100°。F3.如图，AB/CDCE平分/ACD若/1=25&#

22、176;,则/2的度数是50合作探究活动1小组讨论/2,/3是直线a,b,c被直线d截出的同位角.例已知：如图，b/a,c/a,/1,求证：b“c.证明：b/a（已知）,.Z2=71（两直线平行，同位角相等c/a（已知）,3=Z1（两直线平行，同位角相等2=73（等量代换）.b/c（同位角相等，两直线平行）.第10页共15页活动2跟踪训练1,已知AB/DE/B=60°,且CM平分/NCE勺度数.解：AB/DEZB=60°,./BCD=120°. .CM¥分/DCB，一1一。 ./DCM=2/DCB=60.CMLCN ./MCN=90°. ./D

23、CIM-/NCm90°. /NCm90°-ZDCIM=30°2.如图，已知/1=Z2,/C=/D,求证：/A=/F.证明：.一/1=/2,BD/CE./C+/CBD=180°./C=/D,./D+/CBD=180°AC/DF.A=/F.活动3课堂小结熟练运用平行线的三条性质定理进行几何证明.第11页共15页7. 5三角形内角和定理第1课时三角形内角和定理的证明出示目标1 .会证明三角形的内角和定理.2 .会运用三角形内角和定理解题.（重点）预习导学阅读课本P178179,完成预习内容.（一）知识探究三角形内角和定理：三角形内角和等于180

24、76;.（二）自学反馈阅读课本P178,课本中给了我们证明三角形内角和定理的方法，下面给出另外几种方法:证法1:如图1,过点A作EF/BC,则/1=/§Z2=ZC./1+ZBAO/2=180°,/B+/BAO/0=180°.证法2:如图2,在BC边上任取一点D,过D作DE/AB交AC于E,彳DF/AC交AB于F.DE/AB,1 =/B，Z2=74. DF/AC/3=ZC,/A=/4. ./2=ZA.又/1+Z2+Z3=180°,.A+/B+/0=180°.证法3:如图3,过点A作AD/BC. AD/BC,./1=/C,/DA拼ZB=180

25、76;. /BAO/B+/0=/BAO/B+/=/BAED-/B=180°.合作探究一活动1小组讨论例如图，在ABC中，/B=38°,ZC=62°.AD是ABC勺角平分线.求/ADB的度数.解：在ABC中，/B+/C+/BAC=180°（三角形内角和定理）. ./B=38°,/C=62°（已知）， ./BAC=180°38°62°=80°（等式的性质）.AD平分/BAC（已知）.,一1,一1./BAD=/CAD=万/BAC=QX80=40（角平分线的定义）.在ADB中，/B+/BAAZADB=1

26、80°（三角形内角和定理）./B=38°（已知），ZBAD=40°（已证），/ADB=180°38°40°=102°（等式的性质）.第12页共15页活动2跟踪训练1.在一个三角形中，下列说法错误的是（D）A.可以有一个锐角和一个钝角B.可以有两个锐角C.可以有一个锐角和一个直角D.可以有两个钝角2.已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6,则其最大内角的度数为（C）A.60°B.75ADE的度数是60求/DAE的度数.3.如图，ABC中，点D>E分别在ARAC边上，DE/BC/A=50°,ZC=7

27、0°,那么/4.如图，已知ABC中，/B=65°,/C=45°,AD是BC边上的高，AE是/BAC的平分线,解：在ABC中，B-/C=70°,AE是/BAC的平分线,./B=65°,/C=45°,/BAC=180°/BAE=/CAE=35°.又AD是BC边上的高，ADB=90°.在ABD中/BAD=90°-ZB=25°,/DAE=/BAE-/BAD=10°.活动3课堂小结会运用三角形内角和定理计算三角形中的角度.第13页共15页第2课时三角形的外角出示目标1 .探究三角形外角定理及其证明.（重点）2 .学会运用三角形外角的定理解题.（难点）预习导学阅读课本P181182,完成预习内容.（一）知识探究问题：请在下图中找出ABC的所有外角，一个三角形有几个外角?思考：以上问题中，三