广州第三中学高三数学十概率与统计变式题

1、十三、概率与统计变式题命题人：广州市第三中学刘窗洲1.(人教A版选修2-3第66页例4)某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在10次射击中，(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率？变式1:某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4,则他能及格的概率为.【解析】：他能及格则要解对4道题中解对3道或4道：解对3道的概率为：P(A)=C：0.430.6,解对4道的概率为：P(B)=C：0.44,且A与B互斥，他能及格的概率为P(A+B)=C：0.43Q6+C：0.44.变式2:设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0

2、.5。(1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；(2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.【解析】(I)设Ak表示第k人命中目标”，k=1,2,3.这里，A1,A2,A3独立，且P(A1)=0.7,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1-p(AA2A3)=1-p(A)p(Qp(A3)=1-0.30.40.5=0.94恰有两人命中目标的概率为p(AAN+Aa2A+KaA)=P(AAN)+P(AA2A)+P(AAA)=P(A)P(ADP(无)P(Ai)P(A2)P(A3)P(A1)P(A2)P(A3)=0.70.

3、60.50.70.40.50.30.60.5=0.44答：至少有一人命中目标的概率为0.94,恰有两人命中目标的概率为0.44.(2)设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件命中目标”发生的概率为0.7,故所求概率为鸟(2)=C*0.7)2(0.3)=0.441.答：他恰好命中两次的概率为0.441.五局三胜”制进行决赛,变式3:在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为-已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局,5求:(1)中国女排在这种情况下取胜的概率;(2)求本场比赛只打四局就结束的概率.(均用分数作答)【解析

4、】(1)中国女排取胜的情况有两种,第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，中国女排取胜的概率为,3323X22（二）C3（二）-5553297c2(|)25562533351一（一）55125变式4:一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为次的概率相同.令既约分数-为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求设正面向上的概率为P依题意：C5P(1Pf=C|P2(1-P)3,1-p=2P,40243解得：P硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为：C；P3(1-pf=C；2.(人教A版选修2-3第77页例4)随机

5、抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差。变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为0.8,现在连续射击4次，求击中目标的次数E的概率分布.【解析】击中目标的次数E可能为0,1,2,3,4。当E=0寸，P«=0）=C00.24,当E=1时，P仁=1）=C40.810.23,当E=2寸，P伐=2）=C：0.820.22,当E=3寸，P代=3）=C；0.830.21,当E=4寸，P伐=4)=C：0.84,所以E的分布列为:01234PC00.24113C40.810.23_2_2_2C；0.820.22C：0.830.21C：0.84变式2:袋中有12个大小规格相同的

6、球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数E的概率分布.【解析】E的所有可能的取值为：0,1,2.C3当E=0寸，p仁=0)=产，C32当E=1时，P仁=1)=C2，C132C2C1当E=2寸，巴亡=2)=也,C；2312评述：C1：+C2C10+aC132C；C；0g21209010=1.220012PC；。C2c120C2C1C2C10C；2c；2C3C12变式3:从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量t表示所选3人中女生的人数.(1)求亡的分布列；(2)求之的数学期望；(3)求所选3人中女生人数1W1”的概率.【解析】(1)之可能取的值为0,1,2。k

7、3-kP(-=k)=3,k=0,1,2.C；所以，的分布列为012P153515131.(2)由(1),巴的数学期望为E：=0M十1M十2M=1555(3)由(1),所选3人中女生人数111”的概率为4P(_1)=P(t=0)+喈=1)=.5变式4:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答又其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答又2题才算合格.(1)求甲答对试题数E的概率分布及数学期望;(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率【解析】(1)依题意，甲答对试题数E的概率分布如下:012313111P301026甲答对试题数E

8、的数学期望EE=0K1+1x+2X-+3X1=-.3010265(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则P(A)213_C6c4c6602023=一如1203P(B)213C8c2c85656143=如12015因为事件A、B相互独立，方法一：，甲、乙两人考试均不合格的概率为P(AB)=P(A)P(B)=1-2)(1-乙)=.31545144.甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(AB)=1-=4545答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445方法二：，甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A

9、)P(B)=2*1+1x14+2J4_44315315315-45.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为44453.(人教A版选修2-3第86页B组2)若XN(5,1),求P(6<X<7)。变式1:随机变量E服从正态分布NI(0,1),如果P(31)=0.8413,求P(1<30).【解析】:EN(0,1),.P(1<<0)=P(0<31)=(1)(0)=0.8413-0.5=0.3413.变式2:一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(6,22),投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他

10、应选择哪一个方案？【解析】对第一个方案，有xN(8,32),于是P(x>5)=1P(x<3=1-F(5)=15-8(58)=1(1)=1-1(1)尸(1)=0.8413.356对第二个万案，有xN(6,22),于是P(x>5)=1-P(xW5)=1-F(5)=1(-56)2=1(一0.5)=(0.5)=0.6915.相比之下，利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案变式3:在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.(1)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(2)若该校计划奖励竞赛

11、成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表,%=Px：二x0Xo01234567891.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.9

12、7560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857【解析】：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.【解答】（1）设参赛学生的分数为J因为UN（70,100）,由条件知，P（亡>90=1P（七<90）=1F（90）=16（90-70）=1610=1-0.9772=0.228.这说明成绩在90分

13、以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,12因此，参赛总人数约为一526（人）.0.0228（2）假定设奖的分数线为x分，则,x70、50P（Usx）=1P（亡<x）=1F（x）=1G（）=0.0951,10526一.x-70x-70一即（）=0.9049,查表得=1.31解得x=83.1.1010故设奖得分数线约为83.1分.4.（人教A版选修2-3第100页例2）一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间的回归方程。温度x/0C21232527293235产卵数y/个711212466115325变式1:为了对2006年佛山市中考

14、成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学（已折算为百分制）、物理、化学分数对应如下表，学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395化学分数z6772768084879092（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率;(2)用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度;(3)求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到0.01),并用相关指数比较所求回归模型的效果.88参考数据：x=77.5,y=85,z=81,£3x)2电1050,&#

15、163;匹_y)2ft456,i1i_18882(Zi-z)：550,(xi-x)(yi-y)：688，(国-x)(4-z)：755，i1i1i188£(y?)2%7,2一?)2x94,105032.4,v/45621.4,V55023.5.i1i1解答：(1)由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是3.3分8(2)变量y与x、z与x的相关系数分别是=688一之0.99、32.421.4755.r=定0.99.5分32.423.5(3)设y与x、z与x的线性回归方程分别是？=bx+a、？=b'x+a'.根据所给的数据，可以计算出b=688=0.65,a=85-0.65*7